人教版初中数学八年级下册课件17.2 勾股定理的逆定理第2课时 勾股定理的逆定理的应用 27页

17.2 勾股定理的逆定理 第十七章 勾股定理 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 学习目标 1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点） 2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问 题.（难点） 导入新课 问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗? 回顾与思考 a2+b2=c2 (a,b为直角边，c斜边） Rt△ABC,∠C是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 a2+b2=c2 (a,b为较短边，c为最长边） Rt△ABC，且∠C是直角. (2)等腰△ ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则 BC 边上的高是 cm. 8 (1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形 为 三角形， 是最大角. 直角 ∠ A 快速填一填： 思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中 的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际 问题呢？你能举举例吗？ 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需 要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定 理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 讲授新课 12 勾股定理的逆定理的应用一 例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方 向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时 航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方 向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？N EP Q R 问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 问题是什么？ 12 N EP Q R 16×1.5=2412×1.5=18 30 “远航”号的航向、两艘 船的一个半小时后的航程 及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要 求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航 向所成角. 勾股定理逆定理 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N EP Q R 12 解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体 到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数 学知识求解. 归纳 【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以 西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号 艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向 我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇 注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里， AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑 船只最早何时进入我领海？ 东 北P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定 可得△ABC是直角三角形，然 后利用勾股定理的逆定理及直 角三角形的面积公式可求PD， 然后再利用勾股定理便可求CD. 解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三 角形面积公式有 BC·AB= AC·BD， 即6×8=10BD，解得BD= 在Rt△BCD中， 2 2 2 2 248 6.4( ).5CD BC BD         海里 又∵该船只的速度为12.8海里/时， 6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）， ∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入 我领海. 东 北P A B C Q D 24.5 1 2 1 2 例2 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各 边的尺寸如图 所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 图 在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角. D A B C 4 3 5 13 12 图 1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正 东方向，C在B地的什么方向？ AB C 5cm 12cm 13cm 解：∵ BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， ∴BC2+AB2=AC2， 即△ABC是直角三角形， ∠B=90°. 答：C在B地的正北方向． 练一练 2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准 应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC ＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识 帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格． 例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. 解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理 判断△ACD是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 勾股定理及其逆定理的综合应用二 解：连接AC. A D B C 3 4 13 12 在Rt△ABC中， 在△ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形， 且∠ACD=90°. ∴S四边形 ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. 2 2 2 23 4 5,AC AB BC     四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形 问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定 理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常 配套使用. 归纳 【变式题1】 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知 AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边 形ABCD 的面积. 解：连接BD. 在Rt△ABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， ∴BD=5m. 又∵ CD=12cm，BC=13cm, ∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形. ∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－3×4)=24 (cm2)． 1 2 1 21 2 C B A D 【变式题2】 如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC， △ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC ＝4cm，求△ABC的面积. 解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm. ∴ AC=5 cm. 又∵ ∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角. ∴ D C B A 例4 如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点， CD=1，BC＝ 5 ，BD=2． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）求△ABC的面积． （1）证明：∵CD=1，BC＝ 5 ，BD=2， ∴CD2+BD2=BC2， ∴△BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2， ∴x2=(x-1)2+22， 解得 5.2x  1 1 5 52 .2 2 2 2ABCS AC BD      △ 用到了方 程的思想 1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市 在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为 300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距 离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向. 东 医 院 公 园 超市 北 65° 当堂练习 2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25， 现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确 的是 （　　） A. B. C. D. D 3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h 的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h 的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时 A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向 成直角吗？请说明理由. 解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行 了9×2=18(km)， 又∵A，B两组相距30km， 且有242+182=302， ∴A，B两组行进的方向成直角． 4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边 上的中线AD=15，试说明：AB=AC. 解：∵BC=16，AD是BC边上的中线， ∴BD=CD= BC=8. ∵在△ABD中， AD2+BD2=152+82=172=AB2， ∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°． ∴△ADC是直角三角形. 在Rt△ADC中， ∴AB=AC. 1 2 2 2 2 215 8 17AC AD CD     ， 5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息， 在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇 以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40° 的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港 口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小 时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相 距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多 少度？ 解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里), OB=12×1.5=18(海里)， ∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900， ∴OB2+OA2=AB2， ∴∠AOB=90°. ∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如 图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进， ∴∠BOD=50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3. ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得 6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长 为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速 度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移 动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 2 23 9 3 10(cm).PQ    课堂小结 勾股定理的逆 定理的应用 应 用 航海问题 方 法 认真审题,画出符合 题意的图形,熟练运 用勾股定理及其逆 定 理 来 解 决 问 题 与勾股定理结合解决 不规则图形等问题