2020八年级数学上册第2章特殊三角形2 4页

‎2.5 逆命题和逆定理 A组 ‎1．下列说法中，正确的是(A)‎ A． 每一个命题都有逆命题 B． 假命题的逆命题一定是假命题 C． 每一个定理都有逆定理 D． 假命题没有逆命题 ‎2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)‎ A． 直角都相等 B． 钝角都小于180°‎ C． 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0‎ D． 同位角相等 ‎3．下列定理中，有逆定理的是(D)‎ A． 对顶角相等 B． 同角的余角相等 C． 全等三角形的对应角相等 D． 在一个三角形中，等边对等角 ‎(第4题)‎ ‎4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)‎ A． AB垂直平分CD B． CD垂直平分AB C． AB与CD互相垂直平分 D． CD平分∠ACB ‎5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．‎ ‎(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0．‎ ‎(2)等腰三角形的两个底角相等．‎ ‎【解】　(1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0．‎ ‎(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．‎ ‎6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．‎ ‎(1)相等的角是内错角．‎ ‎(2)两直线平行， 同旁内角互补．‎ ‎【解】　(1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理．‎ ‎(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和逆命题是互逆定理．‎ 4‎ ‎ (第7题)‎ ‎7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．‎ 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．‎ ‎【解】　连结BC．‎ ‎∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．‎ ‎∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．‎ ‎∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．‎ 又∵点E在AD上，∴EB＝EC．‎ B组 ‎8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．‎ ‎【解】　逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．‎ 原命题是假命题． ‎ 反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD≠∠EBF．‎ ‎(第8题解)‎ 逆命题是假命题．‎ 反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．‎ ‎9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．‎ ‎【解】　逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．‎ 已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．‎ 4‎ ‎　(第9题解)‎ 求证：△ABC为等腰三角形．‎ 证明：连结AD．‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴S△ABD＝S△ACD．‎ ‎∵DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴S△ABD＝AB·DE，‎ S△ACD＝AC·DF．‎ 又∵DE＝DF，∴AB＝AC，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．‎ ‎【解】　逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．‎ 反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，‎ ‎∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．‎ 故该定理没有逆定理．‎ ‎(第10题解)‎ 数学乐园 ‎11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．‎ ‎【解】　逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．‎ ‎ (第11题解)‎ 已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC．‎ 求证：△ABC是等腰三角形．‎ 证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE．‎ ‎∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，‎ 4‎ ‎∴△BDE≌△CDA(SAS)．‎ ‎∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．‎ ‎∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．‎ ‎∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ 4‎