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  • 2021-10-26 发布

人教版初中数学八年级下册课件18.2.1 矩 形第1课时 矩形的性质

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18.2.1 矩 形 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 矩形的性质 学习目标 1.理解矩形的概念,知道矩形与平行四边形的区别与 联系.(重点) 2.会证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问 题.(重点、难点) 3.掌握直角三角形斜边中线的性质,并会简单的运用. (重点) 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 导入新课 情景引入 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系? 你还能举 出其他的 例子吗? 讲授新课 矩形的性质一 活动1:利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四 边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形 平行四边形 矩形有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形. 归纳总结 平行四边形不一定是矩形. 思考 因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边 形的所有性质,由于它有一个角为直角,它是否具有 一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢? 可以从边,角,对角 线等方面来考虑. 活动2: 准备素材:直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形(如书本, 课桌,铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的 长度及夹角度数,并记录测量结果. A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮 擦 课本 桌子 物体 测量 (实物) (形象图) (2)根据测量的结果,你有什么猜想? 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗? 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D,∠C=∠A, AB∥DC. ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B = 90°, ∴∠C = 90°. ∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°. 如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°. 求证: ∠B=∠C=∠D=∠A=90°. A B C D 证一证 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌ △DCB. ∴AC=DB. A B C D O 如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与 DB相交于点O. 求证:AC=DB. 矩形除了具有平行四边形所有性质,还具有的性质有: 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 归纳总结 几何语言描述: 在矩形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°,AC=DB. A B C D O 例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于 点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长. 解:∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD, OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=AB=4, ∴AC=BD=2OA=8. A B C D O 典例精析 矩形的对角线相 等且互相平分 例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一 点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证:DF=DC.A B C D E F 证明:连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, ∴△DFE≌ △DCE, ∴DF=DC. 例3 如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C 落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,求 △BED的面积. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠A=90°, ∴∠2=∠3. 又由折叠知∠1=∠2, ∴∠1=∠3,∴BE=DE. 设BE=DE=x,则AE=8-x. ∵在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2, ∴42+(8-x)2=x2, 解得x=5,即DE=5. ∴S△BED= DE·AB= ×5×4=10. 矩形的折叠问 题常与勾股定 理结合考查 思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察 并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴 有几条? 矩形的性质: 对称性: . 对称轴: . 轴对称图形 2条 练一练 1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O, 下列说法错误的是 (  ) A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OB A B C D O C 2.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别 交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形 ABCD面积的_________.               1 4 3.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE: ∠BAE=3:1,求∠BAE和∠EAO的度数. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=90°, AO= AC,BO= BD,AC=BD, ∴∠BAE+∠DAE=90°,AO=BO. 又∵∠DAE:∠BAE=3:1, ∴∠BAE=22.5°,∠DAE=67.5°. ∵AE⊥BD, ∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°, ∴∠OAB=∠ABE=67.5° ∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°. 直角三角形斜边上的中线的性质二 A   B   C   D   O   活动:如图,一张矩形纸片,画出两条对角线,沿 着对角线AC剪去一半. B C O A 问题 Rt△ABC中,BO是一条怎样的线段? 它的长度与斜边AC有什么关系? 猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 试给出 数学证 明. O CB A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD, 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BO是AC上 的中线.求证: BO = AC ?1 2 ∴BO= BD= AC.1 2 1 2 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质 证一证 例4 如图,在△ABC中,AD是高,E、F分别 是AB、AC的中点. (1)若AB=10,AC=8,求四边形AEDF的周长; 解:∵AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中 点, ∴DE=AE= AB= ×10=5, DF=AF= AC= ×8=4, ∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+ 4+4=18; 1 2 1 2 1 2 1 2 典例精析 (2)求证:EF垂直平分AD. 证明:∵DE=AE,DF=AF, ∴E、F在线段AD的垂直平分线上, ∴EF垂直平分AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的 条件时,可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行 求解. 归纳 例5 如图,已知BD,CE是△ABC不同边上的高, 点G,F分别是BC,DE的中点,试说明GF⊥DE. 解:连接EG,DG. ∵BD,CE是△ABC的高, ∴∠BDC=∠BEC=90°. ∵点G是BC的中点, ∴EG= BC,DG= BC. ∴EG=DG. 又∵点F是DE的中点, ∴GF⊥DE. 1 2 1 2 在直角三角形中,遇到斜边中点常作斜边中线, 进而可将问题转化为等腰三角形的问题,然后利用等 腰三角形“三线合一”的性质解题. 归纳 如图,在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上 的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 练一练 当堂练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上 的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两 条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° A C C 4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于 点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm, BC=8cm,则EF=______cm.2.5 5.如图,△ABC中,E在AC上,且BE⊥AC.D为 AB中点,若DE=5,AE=8,则BE的长为______.6 第4题图 第5题图 6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点 O,BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证:BD=BE, (2)若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. A B C D O E (1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC= BD,AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. (2)解:∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD= BD= ×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, BC= ∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = . A B C D O E 7.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD 上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,求PE+PF的值. 解:连接OP. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=90°,OA=OD=OC=OB, ∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC = S矩形ABCD= ×6×8=12. 在Rt△BAD中,由勾股定理得BD=10, ∴AO=OD=5, ∵S△APO+S△DPO=S△AOD, ∴ AO·PE+ DO·PF=12,即5PE+5PF=24, ∴PE+PF= .24 5 1 2 1 2 1 4 1 4 能力提升: 课堂小结 矩形的相 关概念及 性质 具有平行四边行的一切性质 四个内角都是直角, 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形