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- 2021-10-26 发布
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18.2.1 矩 形
第十八章 平行四边形
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
第1课时 矩形的性质
学习目标
1.理解矩形的概念,知道矩形与平行四边形的区别与
联系.(重点)
2.会证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问
题.(重点、难点)
3.掌握直角三角形斜边中线的性质,并会简单的运用.
(重点)
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
导入新课
情景引入
思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系?
你还能举
出其他的
例子吗?
讲授新课
矩形的性质一
活动1:利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四
边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
平行四边形 矩形有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
也叫做长方形.
归纳总结
平行四边形不一定是矩形.
思考 因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边
形的所有性质,由于它有一个角为直角,它是否具有
一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?
可以从边,角,对角
线等方面来考虑.
活动2:
准备素材:直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形(如书本,
课桌,铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的
长度及夹角度数,并记录测量结果.
A
B C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮
擦
课本
桌子
物体
测量
(实物) (形象图)
(2)根据测量的结果,你有什么猜想?
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗?
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D,∠C=∠A, AB∥DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B = 90°,
∴∠C = 90°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.
求证: ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
A
B C
D
证一证
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌ △DCB.
∴AC=DB.
A
B C
D
O
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与
DB相交于点O.
求证:AC=DB.
矩形除了具有平行四边形所有性质,还具有的性质有:
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
归纳总结
几何语言描述:
在矩形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°,AC=DB.
A
B C
D
O
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于
点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解:∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD,
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=4,
∴AC=BD=2OA=8.
A
B C
D
O
典例精析
矩形的对角线相
等且互相平分
例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一
点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证:DF=DC.A
B C
D
E
F
证明:连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌ △DCE,
∴DF=DC.
例3 如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C
落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,求
△BED的面积.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90°,
∴∠2=∠3.
又由折叠知∠1=∠2,
∴∠1=∠3,∴BE=DE.
设BE=DE=x,则AE=8-x.
∵在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
∴42+(8-x)2=x2,
解得x=5,即DE=5.
∴S△BED= DE·AB= ×5×4=10.
矩形的折叠问
题常与勾股定
理结合考查
思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察
并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴
有几条?
矩形的性质:
对称性: .
对称轴: .
轴对称图形
2条
练一练
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,
下列说法错误的是 ( )
A.AB∥DC B.AC=BD
C.AC⊥BD D.OA=OB
A
B C
D
O
C
2.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别
交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形
ABCD面积的_________.
1
4
3.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE:
∠BAE=3:1,求∠BAE和∠EAO的度数.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
AO= AC,BO= BD,AC=BD,
∴∠BAE+∠DAE=90°,AO=BO.
又∵∠DAE:∠BAE=3:1,
∴∠BAE=22.5°,∠DAE=67.5°.
∵AE⊥BD,
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,
∴∠OAB=∠ABE=67.5°
∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°.
直角三角形斜边上的中线的性质二
A
B C
D
O
活动:如图,一张矩形纸片,画出两条对角线,沿
着对角线AC剪去一半.
B C
O
A
问题 Rt△ABC中,BO是一条怎样的线段?
它的长度与斜边AC有什么关系?
猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出
数学证
明.
O
CB
A D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,
连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BO是AC上
的中线.求证: BO = AC ?1
2
∴BO= BD= AC.1
2
1
2
1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质
证一证
例4 如图,在△ABC中,AD是高,E、F分别
是AB、AC的中点.
(1)若AB=10,AC=8,求四边形AEDF的周长;
解:∵AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中
点,
∴DE=AE= AB= ×10=5,
DF=AF= AC= ×8=4,
∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+
4+4=18;
1
2
1
2
1
2
1
2
典例精析
(2)求证:EF垂直平分AD.
证明:∵DE=AE,DF=AF,
∴E、F在线段AD的垂直平分线上,
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的
条件时,可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行
求解.
归纳
例5 如图,已知BD,CE是△ABC不同边上的高,
点G,F分别是BC,DE的中点,试说明GF⊥DE.
解:连接EG,DG.
∵BD,CE是△ABC的高,
∴∠BDC=∠BEC=90°.
∵点G是BC的中点,
∴EG= BC,DG= BC.
∴EG=DG.
又∵点F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
1
2
1
2
在直角三角形中,遇到斜边中点常作斜边中线,
进而可将问题转化为等腰三角形的问题,然后利用等
腰三角形“三线合一”的性质解题.
归纳
如图,在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上
的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =
_____cm.
A
B C
D
6
10
5
练一练
当堂练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上
的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两
条对角线相交的锐角是 ( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
A
C
C
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于
点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,
BC=8cm,则EF=______cm.2.5
5.如图,△ABC中,E在AC上,且BE⊥AC.D为
AB中点,若DE=5,AE=8,则BE的长为______.6
第4题图 第5题图
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点
O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE,
(2)若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.
A
B C
D
O
E
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)解:∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = .
A
B C
D
O
E
7.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD
上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,求PE+PF的值.
解:连接OP.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,OA=OD=OC=OB,
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
= S矩形ABCD= ×6×8=12.
在Rt△BAD中,由勾股定理得BD=10,
∴AO=OD=5,
∵S△APO+S△DPO=S△AOD,
∴ AO·PE+ DO·PF=12,即5PE+5PF=24,
∴PE+PF= .24
5
1
2
1
2
1
4
1
4
能力提升:
课堂小结
矩形的相
关概念及
性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角,
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形 有两条对称轴
直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
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