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  • 2021-10-26 发布

八年级数学上册第十五章分式小结与复习教学课件新版 人教版

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第十五章 分 式 小结与复习 要点梳理 一、分式 1. 分式的概念: 一般地,如果 A 、 B 都表示整式,且 B 中含有字母,那么称 为分式 . 其中 A 叫做分式的分子, B 为分式的分母 . 2. 分式有意义的条件: 对于分式 : 当 _______ 时分式有意义; 当 _______ 时无意义 . B≠0 B=0 3. 分式值为零的条件: 当 ___________ 时,分式 的值为零 . A =0 且 B ≠ 0 4. 分式的基本性质: 5. 分式的约分: 约分的定义 根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的 公因式 约去,叫做分式的 约分 . 最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子,叫做 最简分式 注意: 分式的约分,一般要约去分子和分母所有的公因式,使所得的结果成为 最简分式或整式 . 约分的基本步骤 (1) 若分子 ﹑ 分母都是 单项式 ,则 约去 系数的最大公约数 ,并约去相同字母的 最低次幂 ; (2) 若分子 ﹑ 分母含有 多项式 ,则先将多项式 分解因式 ,然后约去分子 ﹑ 分母所有的 公因式 . 6. 分式的通分: 分式的通分的定义 根据分式的基本性质,使分子、分母同乘 适当的整式(即最简公分母), 把 分母不相同 的分式变成 分母相同 的分式,这种变形叫分式的通分. 最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母,一般取各分母的 所有因式 的 最高次幂 的积作公分母,叫做最简公分母 . 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则: 2. 分式的乘方法则: 3. 分式的加减法则: (1) 同分母分式的加减法则: (2) 异分母分式的加减法则: 4. 分式的混合运算: 先算 乘方, 再算 乘除, 最后算 加减, 有括号的 先算括号里面的 . 计算结果要化为 最简 分式或整式. 三、分式方程 1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程 叫做 分式方程 . 2. 分式方程的解法 (1) 在方程的两边都乘以 最简公分母 ,约去分母,化成整式方程 . (2) 解这个整式方程 . (3) 把整式方程的解代入 最简公分母 ,如果最简公分母的值 不为 0 ,则整式方程的解是原分式方程的解,否则须舍去 . 3. 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1) 审 : 清题意,并设未知数; (2) 找 : 相等关系; (3) 列 : 出方程; (4) 解 : 这个分式方程; (5) 验 : 根(包括两方面 : 是否是分式方程的根;  是否符合题意); 写 : 答案 . 考点一 分式的有关概念 例 1 如果分式 的值为 0 ,那么 x 的值为 . 【 解析 】 根据分式值为 0 的条件:分子为 0 而分母不为 0 ,列出关于 x 的方程,求出 x 的值,并检验当 x 的取值时分式的分母的对应值是否为零 . 由题意可得: x 2 -1=0 , 解得 x =±1 . 当 x =-1 时, x +1=0 ; 当 x =1 时, x +1 ≠0. 【 答案 】 1 考点讲练 分式有意义的条件是分母不为 0 , 分式无意义的条件是分母的值为 0 ;分式的值为 0 的条件是:分子为 0 而分母不为 0 . 归纳总结 针对训练 2. 如果分式 的值为零,则 a 的值为 . 2 1. 若分式 无意义,则 a 的值 . -3 考点二 分式的性质及有关计算 B 例 2 如果把分式    中的 x 和 y 的值都扩大为原来 的 3 倍,则分式的值(  ) A. 扩大为原来的 3 倍  B. 不变  C. 缩小为原来的  D. 缩小为原来的 针对训练 C 3. 下列变形正确的是 ( ) 例 3 已知 x = , y = , 求 的值 . 【 解析 】 本题中给出字母的具体取值,因此要先化简分式再代入求值 . 把 x = , y = 代入得 解:原式 = 原式 = 对于一个分式,如果给出其中字母的取值,我们可以先将分式进行化简,再把字母取值代入,即可求出分式的值 . 但对于某些分式的求值问题,却没有直接给出字母的取值,而只是给出字母满足的条件,这样的问题较复杂,需要根据具体情况选择适当的方法 . 归纳总结 例 4 解析:本题若先求出 a 的值,再代入求值,显然现在解不出 a 的值,如果将 的分子、分母颠倒过来,即求 的值,再利用公式变形求值就简单多了. 利用 x 和 1/ x 互为倒数的关系,沟通已知条件与所求未知代数式的关系,可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗,使解题过程简洁. 归纳总结 5. 已知 x 2 -5 x +1=0 , 求出 的值 . 解: 因为 x 2 -5 x +1=0, 得 即 所以 针对训练 考点三 分式方程的解法 例 5 解下列分式方程:        【 解析 】 两分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可确定出分式方程的解. 解:( 1 )去分母得 x +1+ x ﹣1=0 ,解得 x =0 , 经检验 x =0 是分式方程的解; ( 2 )去分母得 x ﹣4=2 x +2﹣3 ,解得 x =﹣3 , 经检验 x =﹣3 是分式方程的解. 解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 归纳总结 解:最简公分母为( x +2 )( x ﹣2 ), 去分母得( x ﹣2 ) 2 ﹣ ( x +2 )( x ﹣2 ) =16 , 整理得 ﹣4 x +8=16 ,解得 x =﹣2 , 经检验 x =﹣2 是增根,故原分式方程无解. 针对训练 考点四 分式方程的应用 例 6 从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是 400 千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍. (1) 求普通列车的行驶路程; 解析: (1) 根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍,两数相乘即可; 解: (1) 根据题意得 400×1.3 = 520( 千米 ) . 答:普通列车的行驶路程是 520 千米; (2) 若高铁的平均速度 ( 千米 / 时 ) 是普通列车平均速度 ( 千米 / 时 ) 的 2.5 倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时,求高铁的平均速度. 解析:设普通列车的平均速度是 x 千米 / 时,根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时,列出分式方程,然后求解即可. 解:设普通列车的平均速度是 x 千米 / 时,则高铁的平均速度是 2.5 x 千米 / 时,根据题意得 解得 x = 120 ,经检验 x = 120 是原方程的解,则高铁的平均速度是 120×2.5 = 300( 千米 / 时 ) . 答:高铁的平均速度是 300 千米 / 时. 针对训练 7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道,开工后每天比原计划多挖 1 米,结果 提前 3 天 完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖 x 米,则依题意列出正确的方程为( ) A. B. C. D. D 8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支,第二次又用 600 元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的 倍,购进数量比第一次少了 30 支 . 求第一次每支铅笔的进价是多少元? 解:设第一次每支铅笔进价为 x 元,根据题意列方程,得 解得 x =4. 经检验,故 x =4 原分式方程的解 . 答:第一次每支铅笔的进价为 4 元 . 考点五 本章数学思想和解题方法 主元法 例 7. 已知: ,求 的值 . 【 解析 】 由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式,可得 ,代入约分即可求值 . 解:∵ , ∴ . ∴ 已知字母之间的关系式,求分式的值时,可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母,然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值 . 这种方法即是 主元法 ,此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元,其余视为辅元 . 那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示,这样起到了减元之目的,或者将题中的几个未知数中,正确选择某一字母为主元,剩余的字母视为辅元,达到了化繁入简之目的,甚至将某些数字视为主元,字母变为辅元,起到化难为易的作用 . 归纳总结 解:由 ,得 , 把 代入可得原式 = 9. 已知 ,求 的值 . 本题还可以由已知条件设 x =2 m , y =3 m . 针对训练 分式 分式 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二设三列四解五检六写,尤其不要忘了验根 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法 课堂小结