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- 2021-10-26 发布
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第十五章 分 式
小结与复习
要点梳理
一、分式
1.
分式的概念:
一般地,如果
A
、
B
都表示整式,且
B
中含有字母,那么称 为分式
.
其中
A
叫做分式的分子,
B
为分式的分母
.
2.
分式有意义的条件:
对于分式 :
当
_______
时分式有意义;
当
_______
时无意义
.
B≠0
B=0
3.
分式值为零的条件:
当
___________
时,分式 的值为零
.
A
=0
且
B
≠
0
4.
分式的基本性质:
5.
分式的约分:
约分的定义
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的
公因式
约去,叫做分式的
约分
.
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子,叫做
最简分式
注意:
分式的约分,一般要约去分子和分母所有的公因式,使所得的结果成为
最简分式或整式
.
约分的基本步骤
(1)
若分子
﹑
分母都是
单项式
,则
约去
系数的最大公约数
,并约去相同字母的
最低次幂
;
(2)
若分子
﹑
分母含有
多项式
,则先将多项式
分解因式
,然后约去分子
﹑
分母所有的
公因式
.
6.
分式的通分:
分式的通分的定义
根据分式的基本性质,使分子、分母同乘
适当的整式(即最简公分母),
把
分母不相同
的分式变成
分母相同
的分式,这种变形叫分式的通分.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母,一般取各分母的
所有因式
的
最高次幂
的积作公分母,叫做最简公分母
.
二、分式的运算
1.
分式的乘除法则:
2.
分式的乘方法则:
3.
分式的加减法则:
(1)
同分母分式的加减法则:
(2)
异分母分式的加减法则:
4.
分式的混合运算:
先算
乘方,
再算
乘除,
最后算
加减,
有括号的
先算括号里面的
.
计算结果要化为
最简
分式或整式.
三、分式方程
1.
分式方程的定义
分母中含未知数的方程
叫做
分式方程
.
2.
分式方程的解法
(1)
在方程的两边都乘以
最简公分母
,约去分母,化成整式方程
.
(2)
解这个整式方程
.
(3)
把整式方程的解代入
最简公分母
,如果最简公分母的值
不为
0
,则整式方程的解是原分式方程的解,否则须舍去
.
3.
分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)
审
:
清题意,并设未知数;
(2)
找
:
相等关系;
(3)
列
:
出方程;
(4)
解
:
这个分式方程;
(5)
验
:
根(包括两方面
:
是否是分式方程的根;
是否符合题意);
写
:
答案
.
考点一 分式的有关概念
例
1
如果分式 的值为
0
,那么
x
的值为
.
【
解析
】
根据分式值为
0
的条件:分子为
0
而分母不为
0
,列出关于
x
的方程,求出
x
的值,并检验当
x
的取值时分式的分母的对应值是否为零
.
由题意可得:
x
2
-1=0
,
解得
x
=±1
.
当
x
=-1
时,
x
+1=0
;
当
x
=1
时,
x
+1 ≠0.
【
答案
】
1
考点讲练
分式有意义的条件是分母不为
0
,
分式无意义的条件是分母的值为
0
;分式的值为
0
的条件是:分子为
0
而分母不为
0
.
归纳总结
针对训练
2.
如果分式 的值为零,则
a
的值为
.
2
1.
若分式 无意义,则
a
的值
.
-3
考点二 分式的性质及有关计算
B
例
2
如果把分式 中的
x
和
y
的值都扩大为原来
的
3
倍,则分式的值( )
A.
扩大为原来的
3
倍
B.
不变
C.
缩小为原来的
D.
缩小为原来的
针对训练
C
3.
下列变形正确的是
( )
例
3
已知
x
= ,
y
=
,
求 的值
.
【
解析
】
本题中给出字母的具体取值,因此要先化简分式再代入求值
.
把
x
= ,
y
=
代入得
解:原式
=
原式
=
对于一个分式,如果给出其中字母的取值,我们可以先将分式进行化简,再把字母取值代入,即可求出分式的值
.
但对于某些分式的求值问题,却没有直接给出字母的取值,而只是给出字母满足的条件,这样的问题较复杂,需要根据具体情况选择适当的方法
.
归纳总结
例
4
解析:本题若先求出
a
的值,再代入求值,显然现在解不出
a
的值,如果将 的分子、分母颠倒过来,即求 的值,再利用公式变形求值就简单多了.
利用
x
和
1/
x
互为倒数的关系,沟通已知条件与所求未知代数式的关系,可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗,使解题过程简洁.
归纳总结
5.
已知
x
2
-5
x
+1=0
,
求出
的值
.
解:
因为
x
2
-5
x
+1=0,
得
即
所以
针对训练
考点三 分式方程的解法
例
5
解下列分式方程:
【
解析
】
两分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到
x
的值,经检验即可确定出分式方程的解.
解:(
1
)去分母得
x
+1+
x
﹣1=0
,解得
x
=0
,
经检验
x
=0
是分式方程的解;
(
2
)去分母得
x
﹣4=2
x
+2﹣3
,解得
x
=﹣3
,
经检验
x
=﹣3
是分式方程的解.
解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
归纳总结
解:最简公分母为(
x
+2
)(
x
﹣2
),
去分母得(
x
﹣2
)
2
﹣
(
x
+2
)(
x
﹣2
)
=16
,
整理得
﹣4
x
+8=16
,解得
x
=﹣2
,
经检验
x
=﹣2
是增根,故原分式方程无解.
针对训练
考点四 分式方程的应用
例
6
从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是
400
千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的
1.3
倍.
(1)
求普通列车的行驶路程;
解析:
(1)
根据高铁的行驶路程是
400
千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的
1.3
倍,两数相乘即可;
解:
(1)
根据题意得
400×1.3
=
520(
千米
)
.
答:普通列车的行驶路程是
520
千米;
(2)
若高铁的平均速度
(
千米
/
时
)
是普通列车平均速度
(
千米
/
时
)
的
2.5
倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短
3
小时,求高铁的平均速度.
解析:设普通列车的平均速度是
x
千米
/
时,根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短
3
小时,列出分式方程,然后求解即可.
解:设普通列车的平均速度是
x
千米
/
时,则高铁的平均速度是
2.5
x
千米
/
时,根据题意得
解得
x
=
120
,经检验
x
=
120
是原方程的解,则高铁的平均速度是
120×2.5
=
300(
千米
/
时
)
.
答:高铁的平均速度是
300
千米
/
时.
针对训练
7.
某施工队挖掘一条长
90
米的隧道,开工后每天比原计划多挖
1
米,结果
提前
3
天
完成任务,原计划每天挖多少米?若设原计划每天挖
x
米,则依题意列出正确的方程为( )
A.
B.
C.
D.
D
8.
某商店第一次用
600
元购进
2B
铅笔若干支,第二次又用
600
元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的 倍,购进数量比第一次少了
30
支
.
求第一次每支铅笔的进价是多少元?
解:设第一次每支铅笔进价为
x
元,根据题意列方程,得
解得
x
=4.
经检验,故
x
=4
原分式方程的解
.
答:第一次每支铅笔的进价为
4
元
.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例
7.
已知: ,求 的值
.
【
解析
】
由已知可以变形为用
b
来表示
a
的形式,可得 ,代入约分即可求值
.
解:∵ , ∴
.
∴
已知字母之间的关系式,求分式的值时,可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母,然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值
.
这种方法即是
主元法
,此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元,其余视为辅元
.
那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示,这样起到了减元之目的,或者将题中的几个未知数中,正确选择某一字母为主元,剩余的字母视为辅元,达到了化繁入简之目的,甚至将某些数字视为主元,字母变为辅元,起到化难为易的作用
.
归纳总结
解:由 ,得 ,
把 代入可得原式
=
9.
已知 ,求 的值
.
本题还可以由已知条件设
x
=2
m
,
y
=3
m
.
针对训练
分式
分式
分式的定义及有意义的条件等
分式方程
分式方程的应用
步骤
一审二设三列四解五检六写,尤其不要忘了验根
类型
行程问题、工程问题、销售问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法
课堂小结