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第 1页(共 36页)
八年级(下)期中数学试卷
一、选择题:(共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分)
1.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)多边形的每一个外角都等于 72°,则其边数为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)点 P(﹣1,5)关于 x 轴对称的点的坐标是( )
A.(1,﹣5) B.(﹣1,﹣5) C.(1,5) D.(5,1)
3.(3 分)(2013 春•白云区期末)平行四边形的一边长为 6cm,周长为 28cm,则这条边的
邻边长是( )
A.22cmB.16cmC.11cm D.8cm
4.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)对角线互相平分的四边形一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
5.(3 分)(2014•株洲)已知反比例函数 y= 的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,
也在这个函数图象上的是( )
A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2)
6.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的
交点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一、三象限
7.(3 分)(2009 秋•澄海区期末)一次函数 y=(m+1)x+5 中,y 的值随 x 的增大而减小,
则 m 的取值范围是( )
A.m<﹣1 B.m>﹣1 C.m>0D.m<0
8.(3 分)(2004•哈尔滨)直线 y=x﹣1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点,点 C 在坐标轴上,
若△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点 C 最多有( )
A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个
二、填空题(每题 3 分,共 24 分)
9.(3 分)(2015•郴州)函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 .
10.(3 分)(2007 秋•高淳县期末)若菱形的两条对角线的长是 6cm 和 8cm,那么这个菱形
的周长是 cm.
第 2页(共 36页)
11.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)当 b<0 时,函数 y=﹣x+b 的图象不经过第
象限.
12.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)矩形的对角线相交成的角中,有一个角是 60°,这
个角所对的边长为 20cm,则其对角线长为 cm,矩形的面积为
cm2.
13.(3 分)(2014•新疆)若点 A(1,y1)和点 B(2,y2)在反比例函数 y= 图象上,则
y1 与 y2 的大小关系是:y1 y2(填“>”、“<”或“=”).
14.(3 分)(2014•广安)直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位,则平移后直线与 y 轴的交
点坐标为 .
15.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)一次函数的图象如图所示,当 x>0 时,y .
16.(3 分)(2001•海南)如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 为 AB 的中
点,F 是 AC 上的一动点,则 EF+BF 的最小值为 .
三、解答题(17-22 题每题 5 分,23,24 题每题 7 分,25 题 8 分)
17.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)已知:如图,▱ ABCD 中,DE⊥AC 于 E,BF⊥AC
于 F.求证:DE=BF.
18.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)在平面直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴
上,且线段 OA=6,OB=3,
(1)请你画出过 A、B 两点的一次函数图象并求出表达式.
(2)然后根据图象解答下列问题:
①求方程 y=0 的解;
第 3页(共 36页)
②求不等式 y>0 的解.
19.(5 分)(2009 秋•洛江区期末)如图所示,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点
O,CE∥DB,交 AD 的延长线于点 E,试说明 AC=CE.
20.(5 分)(2012•聊城)如图,直线 AB 与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,﹣
2).
(1)求直线 AB 的解析式;
(2)若直线 AB 上的点 C 在第一象限,且 S△BOC=2,求点 C 的坐标.
21.(5 分)(2012 春•江夏区期末)如图,P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PE⊥DC,
PF⊥BC,E、F 分别为垂足,若 CF=3,CE=4,求 AP 的长.
第 4页(共 36页)
22.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,已知直线 y= x 与双曲线 y= (k>0)交于
A,B 两点,且点 A 的横坐标为 4.
(1)求 k 的值;
(2)若双曲线 y= (k>0)上一点 C 的纵坐标为 8,求△AOC 的面积;
(3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= (k>0)于 P,Q 两点(P 点在第一象限),若
由点 A,B,P,Q 为顶点组成的四边形面积为 24,求点 P 的坐标.
23.(7 分)(2014 春•阳新县期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线与 BC
边相交于点 E,∠ABC 的平分线与 AD 边相交于点 F. 请证明四边形 ABEF 是菱形.
24.(7 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,在直角坐标系中,A(0,1),B(0,3),P
是 x 轴上一动点,在直线 y=x 上是否存在点 Q,使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行
四边形?若存在,画出所有满足情况的平行四边形,并求出对应的 P、Q 的坐标;若不存在,
请说明理由.
25.(8 分)(2005•中山)如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以正方形 ABCD 的
对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF,再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方
形 AEGH,如此下去….
(1)记正方形 ABCD 的边长为 a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4,…,
an,求出 a2,a3,a4 的值.
(2)根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式.
第 5页(共 36页)
第 6页(共 36页)
2014-2015 学年北京市通州四中八年级(下)期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分)
1.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)多边形的每一个外角都等于 72°,则其边数为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
考点: 多边形内角与
外角. 菁优网版 权所有
分析: 用多边形的外
角和 360°除以
72°即可.
解答: 解:边数
n=360°÷72°=5.
故选:C.
点评: 本题考查了多
边形的外角和
等于 360°,解决
本题的关键是
熟记多边形的
外角和.
2.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)点 P(﹣1,5)关于 x 轴对称的点的坐标是( )
A.(1,﹣5) B.(﹣1,﹣5) C.(1,5) D.(5,1)
考点: 关于 x 轴、y 轴
对称的点的坐
标. 菁优网版 权所有
分析: 根据关于 x 轴对
称点的坐标特
点:横坐标不
变,纵坐标互为
相反数可得答
案.
解答: 解:点 P(﹣1,
5)关于 x 轴对
称的点的坐标
是(﹣1,﹣5),
故选:B.
点评: 此题主要考查
了关于 x 轴对称
点的坐标特点,
第 7页(共 36页)
关键是掌握点
的坐标变化特
点.
3.(3 分)(2013 春•白云区期末)平行四边形的一边长为 6cm,周长为 28cm,则这条边的
邻边长是( )
A.22cmB.16cmC.11cm D.8cm
考点: 平行四边形的
性质. 菁优网版 权所有
专题: 数形结合.
分析: 根据平行四边
形的对边相等,
得平行四边形
的一组邻边的
和等于周长的
一半,即
28÷2=14,已知
一边长可求另
一边长.
解答: 解:∵平行四边
形周长为 28,
∴一边长与另
一边长和为 14,
∴另一边长=14
﹣6=8cm.
故选:D.
点评: 本题考查了平
行四边形的性
质,属于基础
题,其中运用了
平行四边形的
对边相等的性
质.
4.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)对角线互相平分的四边形一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
考点: 平行四边形的
判定. 菁优网版 权所有
分析: 根据平行四边
形的判定可得
对角线互相平
分的四边形一
定是平行四边
形.
第 8页(共 36页)
解答: 解:对角线互相
平分的四边形
一定是平行四
边形,
故选:A.
点评: 此题主要考查
了平行四边形
的判定,关键是
掌握平行四边
形的判定定理.
5.(3 分)(2014•株洲)已知反比例函数 y= 的图象经过点(2,3),那么下列四个点中,
也在这个函数图象上的是( )
A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2)
考点: 反比例函数图
象上点的坐标
特征. 菁优网版 权所有
分析: 先根据点(2,
3),在反比例函
数 y= 的图象
上求出 k 的值,
再根据 k=xy 的
特点对各选项
进行逐一判断.
解答: 解:∵反比例函
数 y= 的图象
经过点(2,3),
∴k=2×3=6,
A、∵(﹣6)×1=
﹣6≠6,∴此点
不在反比例函
数图象上;
B、∵1×6=6,∴
此点在反比例
函数图象上;
C、∵2×(﹣3)
=﹣6≠6,∴此点
不在反比例函
数图象上;
D、∵3×(﹣2)
=﹣6≠6,∴此点
第 9页(共 36页)
不在反比例函
数图象上.
故选:B.
点评: 本题考查的是
反比例函数图
象上点的坐标
特点,熟知反比
例函数中 k=xy
的特点是解答
此题的关键.
6.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的
交点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一、三象限
考点: 反比例函数与
一次函数的交
点问题. 菁优网版 权所有
分析: 根据两函数解
析式可知两函
数的图象在第
一、三象限,故
可知其交点也
在第一、三象
限.
解答: 解:∵正比例函
数 y=6x 的图象
过一、三象限,
反比例函数
y= 的图象在第
一、三象限,
∴两函数图象
的交点在一、三
象限,
故选 D.
点评: 本题主要考查
函数图象,掌握
正比例函数和
反比例函数当
比例系数大于 0
时图象过第一、
三象限,小于 0
时过第二、四象
第 10页(共 36页)
限是解题的关
键.
7.(3 分)(2009 秋•澄海区期末)一次函数 y=(m+1)x+5 中,y 的值随 x 的增大而减小,
则 m 的取值范围是( )
A.m<﹣1 B.m>﹣1 C.m>0D.m<0
考点: 一次函数图象
与系数的关系.菁
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专题: 计算题.
分析: y 的值随 x 的增
大而减小,则
m+1<0,从而
求解.
解答: 解:∵y=(m+1)
x+5,y 的值随 x
的增大而减小,
∴m+1<0,
∴m<﹣1.
故选 A.
点评: 根据一次函数
的增减性,来确
定自变量系数
的取值范围.
一次函数
y=kx+b,
当 k>0 时,y
随 x 的增大而增
大;
当 k<0 时,y
随 x 的增大而减
小.
8.(3 分)(2004•哈尔滨)直线 y=x﹣1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点,点 C 在坐标轴上,
若△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点 C 最多有( )
A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个
考点: 一次函数综合
题. 菁优网版 权所有
专题: 综合题;压轴
题.
分析: 确定 A、B 两点
的位置,分别以
AB 为腰、底讨
论 C 点位置.
第 11页(共 36页)
解答: 解:直线 y=x﹣1
与 y 轴的交点为
A(0,﹣1),直
线 y=x﹣1 与 x
轴的交点为 B
(1,0).
①以 AB 为底,
C 在原点;
②以 AB 为腰,
且 A 为顶点,C
点有 3 种可能位
置;
③以 AB 为腰,
且 B 为顶点,C
点有 3 种可能位
置.
所以满足条件
的点 C 最多有 7
个.
故选 D.
点评: 本题考查了一
次函数的综合
应用,对于底和
腰不等的等腰
三角形,若条件
中没有明确哪
边是底哪边是
腰时,应在符合
三角形三边关
系的前提下分
类讨论.
二、填空题(每题 3 分,共 24 分)
第 12页(共 36页)
9.(3 分)(2015•郴州)函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 x≠2 .
考点: 函数自变量的
取值范围;分式
有意义的条件.菁
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专题: 计算题.
分析: 求函数自变量
的取值范围,就
是求函数解析
式有意义的条
件,分式有意义
的条件是:分母
不为 0.
解答: 解:要使分式有
意义,即:x﹣
2≠0,
解得:x≠2.
故答案为:x≠2.
点评: 本题主要考查
函数自变量的
取值范围,考查
的知识点为:分
式有意义,分母
不为 0.
10.(3 分)(2007 秋•高淳县期末)若菱形的两条对角线的长是 6cm 和 8cm,那么这个菱形
的周长是 20 cm.
考点: 菱形的性质;勾
股定理. 菁优网版 权所有
分析: 根据菱形的对
角线互相垂直
平分求出 OA、
OB 的长,再利
用勾股定理列
式求出边长
AB,然后根据
菱形的周长公
式列式进行计
算即可得解.
解答: 解:如图,∵菱
形的两条对角
第 13页(共 36页)
线的长是 6cm
和 8cm,
∴OA= ×8=4c
m,
OB= ×6=3cm,
又∵菱形的对
角线 AC⊥BD,
∴AB=
=
=5cm,
∴这个菱形的
周长
=5×4=20cm.
故答案为:20.
点评: 本题考查了菱
形的性质,勾股
定理的应用,主
要利用了菱形
的对角线互相
垂直平分的性
质.
11.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)当 b<0 时,函数 y=﹣x+b 的图象不经过第 一 象
限.
考点: 一次函数图象
与系数的关系.菁
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分析: 根据比例系数
得到相应的象
限,进而根据常
数得到另一象
限,判断即可.
解答: 解:∵k=﹣1<
0,
∴一次函数经
第 14页(共 36页)
过二四象限;
∵b<0,
∴一次函数又
经过第三象限,
∴一次函数 y=
﹣x+b 的图象不
经过第一象限.
故答案为:一.
点评: 本题考查了一
次函数的图象
与系数的关系,
用到的知识点
为:k<0,函数
图象经过二四
象限,b>0,函
数图象经过第
一象限.
12.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)矩形的对角线相交成的角中,有一个角是 60°,这
个角所对的边长为 20cm,则其对角线长为 40 cm,矩形的面积为 400 cm2.
考点: 矩形的性质. 菁优网版 权所有
专题: 计算题.
分析: 本题首先求证
由两条对角线
的所夹锐角为
60°的角的为等
边三角形,易求
出短边边长.
解答: 解:∵已知矩形
的两条对角线
所夹锐角为
60°,矩形的对
边平行且相等.
∴根据矩形的
性质可求得由
两条对角线所
夹锐角为 60°的
三角形为等边
三角形.
又∵这个角所
对的边长为
20cm,所以矩形
短边的边长为
第 15页(共 36页)
20cm.
∴对角线长
40cm.
根据勾股定理
可得长边的长
为 20 cm.
∴矩形的面积
为
20 ×20=400
cm2.
故答案为
400 .
点评: 本题考查的是
矩形的性质(对
角线相等),先
求出短边边长
后根据勾股定
理可求出长边
边长,最后可求
出矩形的面积.
13.(3 分)(2014•新疆)若点 A(1,y1)和点 B(2,y2)在反比例函数 y= 图象上,则
y1 与 y2 的大小关系是:y1 > y2(填“>”、“<”或“=”).
考点: 反比例函数图
象上点的坐标
特征. 菁优网版 权所有
分析: 直接把点 A(1,
y1)和点 B(2,
y2)代入反比例
函数 y= ,求出
点 y1,y2 的值,
再比较出其大
小即可.
解答: 解:∵点 A(1,
y1)和点 B(2,
y2)在反比例函
数 y= 的图象
上,
∴y1= =1,
第 16页(共 36页)
y2= ,
∵1> ,
∴y1>y2.
故答案为:>.
点评: 本题考查的是
反比例函数图
象上点的坐标
特点,熟知反比
例函数图象上
各点的坐标一
定适合此函数
的解析式是解
答此题的关键.
14.(3 分)(2014•广安)直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位,则平移后直线与 y 轴的交
点坐标为 (0,﹣3) .
考点: 一次函数图象
与几何变换. 菁优网版 权所有
分析: 先由直线直线
y=3x+2 沿 y 轴
向下平移 5 个单
位可得 y=3x﹣
3,再根据一次
函数 y=kx+b 与
y 轴交点为(0,
b)可得答案.
解答: 解:直线直线
y=3x+2 沿 y 轴
向下平移 5 个单
位可得 y=3x+2
﹣5,
即 y=3x﹣3,
则平移后直线
与 y 轴的交点坐
标为:(0,﹣3).
故答案为:(0,
﹣3).
点评: 此题主要考查
了一次函数图
象的几何变换,
关键是掌握直
第 17页(共 36页)
线 y=kx+b 沿 y
轴平移后,函数
解析式的 k 值不
变,b 值上移加、
下移减.
15.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)一次函数的图象如图所示,当 x>0 时,y >﹣
2 .
考点: 一次函数与一
元一次不等式.菁
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专题: 数形结合.
分析: 观察函数图象
得到 x>0 时对
应的函数值的
范围即可.
解答: 解:当 x>0 时,
y>﹣2.
故答案为>﹣
2.
点评: 本题考查了一
次函数与一元
一次不等式:用
画函数图象的
方法解不等式
kx+b>0(或<
0)对应一次函
数 y=kx+b,它
与 x 轴交点为
(﹣ ,0).当
k>0 时,不等式
kx+b>0 的解
为:x>﹣ ,不
等式kx+b<0的
第 18页(共 36页)
解为:x<﹣ .
16.(3 分)(2001•海南)如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 为 AB 的中
点,F 是 AC 上的一动点,则 EF+BF 的最小值为 3 .
考点: 轴对称-最短路
线问题;菱形的
性质;特殊角的
三角函数值. 菁优网版 权所有
专题: 压轴题;动点
型.
分析: 根据菱形的对
角线互相垂直
平分,点 B 关于
AC 的对称点是
点 D,连接 ED,
EF+BF 最小值
=ED,然后解直
角三角形即可
求解.
解答: 解:∵在菱形
ABCD 中,AC
与 BD 互相垂直
平分,
∴点 B、D 关于
AC 对称,
连接 ED,则 ED
就是所求的
EF+BF 的最小
值的线段,
∵E 为 AB 的中
点,
∠DAB=60°,
∴DE⊥AB,
∴ED=
=
=3
第 19页(共 36页)
,
∴EF+BF 的最
小值为 3 .
故答案为:
3 .
点评: 本题主要考查
了三角形中位
线定理和解直
角三角形,关键
是判断出当F是
AC 的中点时,
EF+BF 最小.
三、解答题(17-22 题每题 5 分,23,24 题每题 7 分,25 题 8 分)
17.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)已知:如图,▱ ABCD 中,DE⊥AC 于 E,BF⊥AC
于 F.求证:DE=BF.
考点: 平行四边形的
性质;全等三角
形的判定与性
质. 菁优网版 权所有
专题: 证明题.
分析: 利用平行四边
形的性质得出
AD=BC,
∠DAE=∠BCA
,进而利用全等
三角形的判定
得出即可.
解答: 证明:∵四边形
ABCD 是平行
四边形,
∴AD=BC,
∠DAE=∠BCF
,
∵DE⊥AC,
第 20页(共 36页)
BF⊥AC
∴∠DEA=∠B
FC
在△ADE 和
△CBF 中,
,
∴△ADE≌△C
BF(AAS),
∴DE=BF.
点评: 此题主要考查
了平行四边形
的性质以及全
等三角形的判
定与性质,得出
△ADE≌△CB
F 是解题关键.
18.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)在平面直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴
上,且线段 OA=6,OB=3,
(1)请你画出过 A、B 两点的一次函数图象并求出表达式.
(2)然后根据图象解答下列问题:
①求方程 y=0 的解;
②求不等式 y>0 的解.
考点: 一次函数的图
象;待定系数法
求一次函数解
析式;一次函数
与一元一次方
程;一次函数与
一元一次不等
式. 菁优网版 权所有
第 21页(共 36页)
分析: (1)根据描点
法,可得函数图
象;
(2)根据函数
与方程的关系:
图象与 x 轴交点
的横坐标即为
方程的解;
(3)根据函数
与不等式的关
系:x 轴上方的
部分是不等式
的解集,可得答
案.
解答: 解:(1)如图:
;
(2)①由图象
与 x 轴交点的横
坐标为 6,得方
程 y=0 的解是
x=6;
②由图象位于
x 轴上方的部
分,得不等式 y
>0 的解是 x<
6.
点评: 本题考查了一
次函数图象,利
用了函数与方
程的关系,函数
与不等式的关
系.
19.(5 分)(2009 秋•洛江区期末)如图所示,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点
O,CE∥DB,交 AD 的延长线于点 E,试说明 AC=CE.
第 22页(共 36页)
考点: 矩形的性质;平
行四边形的判
定与性质. 菁优网版 权所有
专题: 证明题.
分析: 由矩形的性质,
可得 AC=BD,
欲求 AC=CE,
证 BD=CE 即
可.可通过证四
边形 BDEC 是
平行四边形,从
而得出 BD=CE
的结论.
解答: 解:在矩形
ABCD 中,
AC=BD,(2 分)
AD∥BC,(4
分)
又∵CE∥DB,
∴四边形 BDEC
是平行四边
形.(6 分)
∴BD=EC.(8
分)
∴AC=CE.(10
分)
点评: 此题主要考查
了矩形的性质
及平行四边形
的判定和性质.
20.(5 分)(2012•聊城)如图,直线 AB 与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,﹣
2).
(1)求直线 AB 的解析式;
(2)若直线 AB 上的点 C 在第一象限,且 S△BOC=2,求点 C 的坐标.
第 23页(共 36页)
考点: 待定系数法求
一次函数解析
式. 菁优网版 权所有
专题: 计算题.
分析: (1)设直线 AB
的解析式为
y=kx+b,将点 A
(1,0)、点 B
(0,﹣2)分别
代入解析式即
可组成方程组,
从而得到 AB 的
解析式;
(2)设点 C 的
坐标为(x,y),
根据三角形面
积公式以及
S△BOC=2 求出 C
的横坐标,再代
入直线即可求
出 y 的值,从而
得到其坐标.
解答: 解:(1)设直线
AB 的解析式为
y=kx+b(k≠0),
∵直线 AB 过点
A(1,0)、点 B
(0,﹣2),
∴ ,
解得 ,
∴直线 AB 的解
析式为 y=2x﹣
2.
第 24页(共 36页)
(2)设点 C 的
坐标为(x,y),
∵S△BOC=2,
∴ •2•x=2,
解得 x=2,
∴y=2×2﹣2=2,
∴点 C 的坐标
是(2,2).
点评: 本题考查了待
定系数法求函
数解析式,解答
此题不仅要熟
悉函数图象上
点的坐标特征,
还要熟悉三角
形的面积公式.
21.(5 分)(2012 春•江夏区期末)如图,P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PE⊥DC,
PF⊥BC,E、F 分别为垂足,若 CF=3,CE=4,求 AP 的长.
考点: 正方形的性质;
全等三角形的
判定与性质;勾
股定理. 菁优网版 权所有
专题: 计算题.
分析: 要求 AP 的长,
根据已知条件
不能直接求出,
结合已知
CF=3,CE=4 发
现可以求出 EF
的长,也就是求
出了 CP 的长.
当连接 CP 时,
可以证明
第 25页(共 36页)
△APD≌△CP
D,然后根据全
等三角形的性
质可以得到
AP=CP,这样就
求出了 AP 的
长;
解答: 解:连接 PC
∵四边形
ABCD 是正方
形,
∴AD=DC,
∠ADP=∠CDP
,
∵PD=PD,
∴△APD≌△C
PD,(4 分)
∴AP=CP,(5
分)
∵四边形
ABCD 是正方
形,
∴∠DCB=90°,
∵PE⊥DC,
PF⊥BC,
∴四边形 PFCE
是矩形,(8 分)
∴PC=EF,(9
分)
∵∠DCB=90°,
∴在 Rt△CEF
中,
EF2=CE2+CF2=
42+32=25,
∴EF=5,(11分)
∴AP=CP=EF=
5.(12 分)
第 26页(共 36页)
点评: 解答本题要充
分利用正方形
的特殊性质,利
用它们得到全
等三角形,然后
根据全等三角
形的性质把 AP
和 CP 联系起
来.
22.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,已知直线 y= x 与双曲线 y= (k>0)交于
A,B 两点,且点 A 的横坐标为 4.
(1)求 k 的值;
(2)若双曲线 y= (k>0)上一点 C 的纵坐标为 8,求△AOC 的面积;
(3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= (k>0)于 P,Q 两点(P 点在第一象限),若
由点 A,B,P,Q 为顶点组成的四边形面积为 24,求点 P 的坐标.
考点: 反比例函数与
一次函数的交
点问题. 菁优网版 权所有
专题: 计算题.
分析: (1)先利用直
线 y= x 的解析
第 27页(共 36页)
式确定 A(4,
2),然后根据反
比例函数图象
上点的坐标特
征易得 k=8;
(2)由反比例
函数解析式为
y= 可得到 C
(1,8),作
AD⊥x 轴于 D,
CE⊥x 轴于 E,
如图 1,由于
S△AOC+S△AOD=
S△COD+S 梯形
ADOC,而根据反
比例函数比例
系数 k 的几何意
义得到
S△AOD=S△COD,
于是 S△AOC=S 梯
形 ADOC,然后根
据梯形的面积
公式计算;
(3)如图 2,先
利用反比例函
数与正比例函
数的性质得到
OA=OB,
OP=OQ,则可判
断四边形 AQBP
为平行四边形,
所以 S△APO= S
平行四边形 AQBP=6,
作 AM⊥x 轴于
M,PN⊥x 轴于
N,如图 1,与
(2)一样可得
S△AOC=S 梯形
AMNP,设 P(t,
)(t>0),分
类讨论:当 t>4
第 28页(共 36页)
时,根据梯形面
积得到 •
( +2)•(t﹣4)
=6;当 t<4 时,
根据梯形面积
得到 •
( +2)•(4﹣t)
=6,然后分别解
方程求出满足
条件的 t 的值,
从而得到P 点坐
标.
解答: 解:(1)当 x=4
时,y= x=2,
则 A(4,2),
把 A(4,2)代
入 y= 得
k=4×8;
(2)反比例函
数解析式为
y= ,
当 y=8 时, =1,
解得 x=1,则 C
(1,8),
作 AD⊥x 轴于
D,CE⊥x 轴于
E,如图 1,
∵S△AOC+S△AO
D=S△COD+S 梯形
ADOC,
而
S△AOD=S△COD,
∴S△AOC=S 梯形
ADOC= ×(2+8)
×(4﹣1)=15;
第 29页(共 36页)
(3)如图 2,∵
直线 PQ 和直线
AB 过原点,
∴点 A 与点 B,
点P与点Q 都关
于原点中心对
称,
∴OA=OB,
OP=OQ,
∴四边形 AQBP
为平行四边形,
∴S△APO= S 平行
四边形
AQBP= ×24=6,
作 AM⊥x 轴于
M,PN⊥x 轴于
N,如图 1,
与(2)一样可
得 S△AOC=S 梯形
AMNP,
设 P(t, )(t
>0),
当 t>4 时, •
( +2)•(t﹣4)
=6,
整理得 t2﹣6t﹣
16=0,解得 t=8,
t=﹣2(舍去),
此时P 点坐标为
(8,1),
当 t<4 时, •
( +2)•(4﹣t)
=6,
整理得 t2+6t﹣
16=0,解得 t=
﹣8(舍去),
t=2,此时 P 点
第 30页(共 36页)
坐标为(2,4),
综上所述,P 点
坐标为(2,4)
或(8,1).
点评: 本题考查了反
比例函数与一
次函数的交点
问题:求反比例
函数与一次函
数的交点坐标,
把两个函数关
系式联立成方
程组求解,若方
程组有解则两
者有交点,方程
组无解,则两者
无交点.也考查
了平行四边形
的判定与性质.
23.(7 分)(2014 春•阳新县期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线与 BC
边相交于点 E,∠ABC 的平分线与 AD 边相交于点 F. 请证明四边形 ABEF 是菱形.
第 31页(共 36页)
考点: 菱形的判定;平
行线的性质;平
行四边形的性
质. 菁优网版 权所有
专题: 证明题.
分析: 根据平行四边
形性质和角平
分线性质求出
AF=AB,
BE=AB,推出
AF=BE,
AF∥BE,得出
平行四边形
ABEF,求出
∠AOB=90°,根
据菱形的判定
求出即可.
解答: 证明:∵四边形
ABCD 是平行
四边形,
∴AD∥BC,
∴∠4=∠5,
∵∠ABC 的平
分线 BF,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠5,
∴AF=AB,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠AEB,
∵∠BAC 的平
分线 AE,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠AEB,
∴BE=AB,
∴AF=BE,
第 32页(共 36页)
∵AF∥BE,
∴四边形 ABEF
是平行四边形,
∵AF=AB,
∴平行四边形
ABEF 是菱形.
点评: 本题考查了平
行四边形的性
质和判定,平行
线性质,菱形的
判定的应用,关
键是求出
AF=BE 和
∠AOB=90°,主
要考查学生的
推理能力.
24.(7 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,在直角坐标系中,A(0,1),B(0,3),P
是 x 轴上一动点,在直线 y=x 上是否存在点 Q,使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行
四边形?若存在,画出所有满足情况的平行四边形,并求出对应的 P、Q 的坐标;若不存在,
请说明理由.
考点: 一次函数综合
题. 菁优网版 权所有
分析: 设 P(x,0),Q
(a,a),再分
AB 是平形四边
形的边与对角
戏两种情况进
行讨论即可.
解答: 解:如 1,∵P
是 x 轴上一动
点,点 Q 在直线
y=x 上,
∴设 P(x,0),
Q(a,a),
当 AB 是平形四
第 33页(共 36页)
边形的边时,
∵AB=3﹣1=2,
∴PQ=AB=2,
∴a=±2,
∴P1(﹣2,0),
Q1(﹣2,﹣2)
或 P2(2,0),
Q2(2,2);
如图 2,当 AB
是平形四边形
的对角线时,
BQ=AP 是 a2+
(a﹣3)
2=x2+12,即 2a2
﹣6a=x2﹣8①;
PB=AQ 是 a2+
(a﹣1)
2=32+x2,即 2a2
﹣2a=x2﹣9②.
①﹣②得 a=4,
把 a=4 代入①
得,17=1+x2,
解得 x=±4,
∴P3(﹣4,0),
Q3(4,4)或
P4(4,0),Q4
(4,4)(舍去).
第 34页(共 36页)
点评: 本题考查了一
次函数的性质,
与四边形结合,
使得题目难度
较大,数形结合
与分类讨论思
想的应用,使得
题目妙趣横生.
25.(8 分)(2005•中山)如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以正方形 ABCD 的
对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF,再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方
形 AEGH,如此下去….
(1)记正方形 ABCD 的边长为 a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4,…,
an,求出 a2,a3,a4 的值.
(2)根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式.
考点: 勾股定理. 菁优网版 权所有
专题: 规律型.
分析: (1)求 a2 的长
即 AC 的长,根
据直角△ABC
中
AB2+BC2=AC2
可以计算,同理
计算 a3、a4.
(2)由(1)知,
a2= a1,
a3= a2…,
an= an﹣1 可以
第 35页(共 36页)
找出第 n 个正方
形边长的表达
式.
解答: 解:(1)a2=AC,
且在直角
△ABC 中,
AB2+BC2=AC2
,
∴a2= a1=
,
同理
a3= a2=
a1=2
,
a4= a3=
a1=2
;
(2)由(1)结
论可知:
a2= a1= ,
a3= a2=
a1=2
,
a4= a3=
a1=2
;
…
故找到规律
an=
a1
=
.
点评: 本题考查了勾
股定理在直角
三角形中的运
用,考查了学生
找规律的能力,
第 36页(共 36页)
本题中找到 an
的规律是解题
的关键.
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