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  • 2021-10-26 发布

北师大-八年级(下)-数学期中

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第 1页(共 36页) 八年级(下)期中数学试卷 一、选择题:(共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分) 1.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)多边形的每一个外角都等于 72°,则其边数为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 2.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)点 P(﹣1,5)关于 x 轴对称的点的坐标是( ) A.(1,﹣5) B.(﹣1,﹣5) C.(1,5) D.(5,1) 3.(3 分)(2013 春•白云区期末)平行四边形的一边长为 6cm,周长为 28cm,则这条边的 邻边长是( ) A.22cmB.16cmC.11cm D.8cm 4.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)对角线互相平分的四边形一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 5.(3 分)(2014•株洲)已知反比例函数 y= 的图象经过点(2,3),那么下列四个点中, 也在这个函数图象上的是( ) A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2) 6.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的 交点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一、三象限 7.(3 分)(2009 秋•澄海区期末)一次函数 y=(m+1)x+5 中,y 的值随 x 的增大而减小, 则 m 的取值范围是( ) A.m<﹣1 B.m>﹣1 C.m>0D.m<0 8.(3 分)(2004•哈尔滨)直线 y=x﹣1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点,点 C 在坐标轴上, 若△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点 C 最多有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 二、填空题(每题 3 分,共 24 分) 9.(3 分)(2015•郴州)函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 . 10.(3 分)(2007 秋•高淳县期末)若菱形的两条对角线的长是 6cm 和 8cm,那么这个菱形 的周长是 cm. 第 2页(共 36页) 11.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)当 b<0 时,函数 y=﹣x+b 的图象不经过第 象限. 12.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)矩形的对角线相交成的角中,有一个角是 60°,这 个角所对的边长为 20cm,则其对角线长为 cm,矩形的面积为 cm2. 13.(3 分)(2014•新疆)若点 A(1,y1)和点 B(2,y2)在反比例函数 y= 图象上,则 y1 与 y2 的大小关系是:y1 y2(填“>”、“<”或“=”). 14.(3 分)(2014•广安)直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位,则平移后直线与 y 轴的交 点坐标为 . 15.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)一次函数的图象如图所示,当 x>0 时,y . 16.(3 分)(2001•海南)如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 为 AB 的中 点,F 是 AC 上的一动点,则 EF+BF 的最小值为 . 三、解答题(17-22 题每题 5 分,23,24 题每题 7 分,25 题 8 分) 17.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)已知:如图,▱ ABCD 中,DE⊥AC 于 E,BF⊥AC 于 F.求证:DE=BF. 18.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)在平面直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴 上,且线段 OA=6,OB=3, (1)请你画出过 A、B 两点的一次函数图象并求出表达式. (2)然后根据图象解答下列问题: ①求方程 y=0 的解; 第 3页(共 36页) ②求不等式 y>0 的解. 19.(5 分)(2009 秋•洛江区期末)如图所示,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,CE∥DB,交 AD 的延长线于点 E,试说明 AC=CE. 20.(5 分)(2012•聊城)如图,直线 AB 与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,﹣ 2). (1)求直线 AB 的解析式; (2)若直线 AB 上的点 C 在第一象限,且 S△BOC=2,求点 C 的坐标. 21.(5 分)(2012 春•江夏区期末)如图,P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PE⊥DC, PF⊥BC,E、F 分别为垂足,若 CF=3,CE=4,求 AP 的长. 第 4页(共 36页) 22.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,已知直线 y= x 与双曲线 y= (k>0)交于 A,B 两点,且点 A 的横坐标为 4. (1)求 k 的值; (2)若双曲线 y= (k>0)上一点 C 的纵坐标为 8,求△AOC 的面积; (3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= (k>0)于 P,Q 两点(P 点在第一象限),若 由点 A,B,P,Q 为顶点组成的四边形面积为 24,求点 P 的坐标. 23.(7 分)(2014 春•阳新县期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线与 BC 边相交于点 E,∠ABC 的平分线与 AD 边相交于点 F. 请证明四边形 ABEF 是菱形. 24.(7 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,在直角坐标系中,A(0,1),B(0,3),P 是 x 轴上一动点,在直线 y=x 上是否存在点 Q,使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行 四边形?若存在,画出所有满足情况的平行四边形,并求出对应的 P、Q 的坐标;若不存在, 请说明理由. 25.(8 分)(2005•中山)如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以正方形 ABCD 的 对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF,再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方 形 AEGH,如此下去…. (1)记正方形 ABCD 的边长为 a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4,…, an,求出 a2,a3,a4 的值. (2)根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式. 第 5页(共 36页) 第 6页(共 36页) 2014-2015 学年北京市通州四中八年级(下)期中数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题:(共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分) 1.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)多边形的每一个外角都等于 72°,则其边数为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 考点: 多边形内角与 外角. 菁优网版 权所有 分析: 用多边形的外 角和 360°除以 72°即可. 解答: 解:边数 n=360°÷72°=5. 故选:C. 点评: 本题考查了多 边形的外角和 等于 360°,解决 本题的关键是 熟记多边形的 外角和. 2.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)点 P(﹣1,5)关于 x 轴对称的点的坐标是( ) A.(1,﹣5) B.(﹣1,﹣5) C.(1,5) D.(5,1) 考点: 关于 x 轴、y 轴 对称的点的坐 标. 菁优网版 权所有 分析: 根据关于 x 轴对 称点的坐标特 点:横坐标不 变,纵坐标互为 相反数可得答 案. 解答: 解:点 P(﹣1, 5)关于 x 轴对 称的点的坐标 是(﹣1,﹣5), 故选:B. 点评: 此题主要考查 了关于 x 轴对称 点的坐标特点, 第 7页(共 36页) 关键是掌握点 的坐标变化特 点. 3.(3 分)(2013 春•白云区期末)平行四边形的一边长为 6cm,周长为 28cm,则这条边的 邻边长是( ) A.22cmB.16cmC.11cm D.8cm 考点: 平行四边形的 性质. 菁优网版 权所有 专题: 数形结合. 分析: 根据平行四边 形的对边相等, 得平行四边形 的一组邻边的 和等于周长的 一半,即 28÷2=14,已知 一边长可求另 一边长. 解答: 解:∵平行四边 形周长为 28, ∴一边长与另 一边长和为 14, ∴另一边长=14 ﹣6=8cm. 故选:D. 点评: 本题考查了平 行四边形的性 质,属于基础 题,其中运用了 平行四边形的 对边相等的性 质. 4.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)对角线互相平分的四边形一定是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 考点: 平行四边形的 判定. 菁优网版 权所有 分析: 根据平行四边 形的判定可得 对角线互相平 分的四边形一 定是平行四边 形. 第 8页(共 36页) 解答: 解:对角线互相 平分的四边形 一定是平行四 边形, 故选:A. 点评: 此题主要考查 了平行四边形 的判定,关键是 掌握平行四边 形的判定定理. 5.(3 分)(2014•株洲)已知反比例函数 y= 的图象经过点(2,3),那么下列四个点中, 也在这个函数图象上的是( ) A.(﹣6,1) B.(1,6) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2) 考点: 反比例函数图 象上点的坐标 特征. 菁优网版 权所有 分析: 先根据点(2, 3),在反比例函 数 y= 的图象 上求出 k 的值, 再根据 k=xy 的 特点对各选项 进行逐一判断. 解答: 解:∵反比例函 数 y= 的图象 经过点(2,3), ∴k=2×3=6, A、∵(﹣6)×1= ﹣6≠6,∴此点 不在反比例函 数图象上; B、∵1×6=6,∴ 此点在反比例 函数图象上; C、∵2×(﹣3) =﹣6≠6,∴此点 不在反比例函 数图象上; D、∵3×(﹣2) =﹣6≠6,∴此点 第 9页(共 36页) 不在反比例函 数图象上. 故选:B. 点评: 本题考查的是 反比例函数图 象上点的坐标 特点,熟知反比 例函数中 k=xy 的特点是解答 此题的关键. 6.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y= 的图象的 交点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一、三象限 考点: 反比例函数与 一次函数的交 点问题. 菁优网版 权所有 分析: 根据两函数解 析式可知两函 数的图象在第 一、三象限,故 可知其交点也 在第一、三象 限. 解答: 解:∵正比例函 数 y=6x 的图象 过一、三象限, 反比例函数 y= 的图象在第 一、三象限, ∴两函数图象 的交点在一、三 象限, 故选 D. 点评: 本题主要考查 函数图象,掌握 正比例函数和 反比例函数当 比例系数大于 0 时图象过第一、 三象限,小于 0 时过第二、四象 第 10页(共 36页) 限是解题的关 键. 7.(3 分)(2009 秋•澄海区期末)一次函数 y=(m+1)x+5 中,y 的值随 x 的增大而减小, 则 m 的取值范围是( ) A.m<﹣1 B.m>﹣1 C.m>0D.m<0 考点: 一次函数图象 与系数的关系.菁 优网版权 所有 专题: 计算题. 分析: y 的值随 x 的增 大而减小,则 m+1<0,从而 求解. 解答: 解:∵y=(m+1) x+5,y 的值随 x 的增大而减小, ∴m+1<0, ∴m<﹣1. 故选 A. 点评: 根据一次函数 的增减性,来确 定自变量系数 的取值范围. 一次函数 y=kx+b, 当 k>0 时,y 随 x 的增大而增 大; 当 k<0 时,y 随 x 的增大而减 小. 8.(3 分)(2004•哈尔滨)直线 y=x﹣1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点,点 C 在坐标轴上, 若△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点 C 最多有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 考点: 一次函数综合 题. 菁优网版 权所有 专题: 综合题;压轴 题. 分析: 确定 A、B 两点 的位置,分别以 AB 为腰、底讨 论 C 点位置. 第 11页(共 36页) 解答: 解:直线 y=x﹣1 与 y 轴的交点为 A(0,﹣1),直 线 y=x﹣1 与 x 轴的交点为 B (1,0). ①以 AB 为底, C 在原点; ②以 AB 为腰, 且 A 为顶点,C 点有 3 种可能位 置; ③以 AB 为腰, 且 B 为顶点,C 点有 3 种可能位 置. 所以满足条件 的点 C 最多有 7 个. 故选 D. 点评: 本题考查了一 次函数的综合 应用,对于底和 腰不等的等腰 三角形,若条件 中没有明确哪 边是底哪边是 腰时,应在符合 三角形三边关 系的前提下分 类讨论. 二、填空题(每题 3 分,共 24 分) 第 12页(共 36页) 9.(3 分)(2015•郴州)函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 x≠2 . 考点: 函数自变量的 取值范围;分式 有意义的条件.菁 优网版权 所有 专题: 计算题. 分析: 求函数自变量 的取值范围,就 是求函数解析 式有意义的条 件,分式有意义 的条件是:分母 不为 0. 解答: 解:要使分式有 意义,即:x﹣ 2≠0, 解得:x≠2. 故答案为:x≠2. 点评: 本题主要考查 函数自变量的 取值范围,考查 的知识点为:分 式有意义,分母 不为 0. 10.(3 分)(2007 秋•高淳县期末)若菱形的两条对角线的长是 6cm 和 8cm,那么这个菱形 的周长是 20 cm. 考点: 菱形的性质;勾 股定理. 菁优网版 权所有 分析: 根据菱形的对 角线互相垂直 平分求出 OA、 OB 的长,再利 用勾股定理列 式求出边长 AB,然后根据 菱形的周长公 式列式进行计 算即可得解. 解答: 解:如图,∵菱 形的两条对角 第 13页(共 36页) 线的长是 6cm 和 8cm, ∴OA= ×8=4c m, OB= ×6=3cm, 又∵菱形的对 角线 AC⊥BD, ∴AB= = =5cm, ∴这个菱形的 周长 =5×4=20cm. 故答案为:20. 点评: 本题考查了菱 形的性质,勾股 定理的应用,主 要利用了菱形 的对角线互相 垂直平分的性 质. 11.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)当 b<0 时,函数 y=﹣x+b 的图象不经过第 一 象 限. 考点: 一次函数图象 与系数的关系.菁 优网版权 所有 分析: 根据比例系数 得到相应的象 限,进而根据常 数得到另一象 限,判断即可. 解答: 解:∵k=﹣1< 0, ∴一次函数经 第 14页(共 36页) 过二四象限; ∵b<0, ∴一次函数又 经过第三象限, ∴一次函数 y= ﹣x+b 的图象不 经过第一象限. 故答案为:一. 点评: 本题考查了一 次函数的图象 与系数的关系, 用到的知识点 为:k<0,函数 图象经过二四 象限,b>0,函 数图象经过第 一象限. 12.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)矩形的对角线相交成的角中,有一个角是 60°,这 个角所对的边长为 20cm,则其对角线长为 40 cm,矩形的面积为 400 cm2. 考点: 矩形的性质. 菁优网版 权所有 专题: 计算题. 分析: 本题首先求证 由两条对角线 的所夹锐角为 60°的角的为等 边三角形,易求 出短边边长. 解答: 解:∵已知矩形 的两条对角线 所夹锐角为 60°,矩形的对 边平行且相等. ∴根据矩形的 性质可求得由 两条对角线所 夹锐角为 60°的 三角形为等边 三角形. 又∵这个角所 对的边长为 20cm,所以矩形 短边的边长为 第 15页(共 36页) 20cm. ∴对角线长 40cm. 根据勾股定理 可得长边的长 为 20 cm. ∴矩形的面积 为 20 ×20=400 cm2. 故答案为 400 . 点评: 本题考查的是 矩形的性质(对 角线相等),先 求出短边边长 后根据勾股定 理可求出长边 边长,最后可求 出矩形的面积. 13.(3 分)(2014•新疆)若点 A(1,y1)和点 B(2,y2)在反比例函数 y= 图象上,则 y1 与 y2 的大小关系是:y1 > y2(填“>”、“<”或“=”). 考点: 反比例函数图 象上点的坐标 特征. 菁优网版 权所有 分析: 直接把点 A(1, y1)和点 B(2, y2)代入反比例 函数 y= ,求出 点 y1,y2 的值, 再比较出其大 小即可. 解答: 解:∵点 A(1, y1)和点 B(2, y2)在反比例函 数 y= 的图象 上, ∴y1= =1, 第 16页(共 36页) y2= , ∵1> , ∴y1>y2. 故答案为:>. 点评: 本题考查的是 反比例函数图 象上点的坐标 特点,熟知反比 例函数图象上 各点的坐标一 定适合此函数 的解析式是解 答此题的关键. 14.(3 分)(2014•广安)直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位,则平移后直线与 y 轴的交 点坐标为 (0,﹣3) . 考点: 一次函数图象 与几何变换. 菁优网版 权所有 分析: 先由直线直线 y=3x+2 沿 y 轴 向下平移 5 个单 位可得 y=3x﹣ 3,再根据一次 函数 y=kx+b 与 y 轴交点为(0, b)可得答案. 解答: 解:直线直线 y=3x+2 沿 y 轴 向下平移 5 个单 位可得 y=3x+2 ﹣5, 即 y=3x﹣3, 则平移后直线 与 y 轴的交点坐 标为:(0,﹣3). 故答案为:(0, ﹣3). 点评: 此题主要考查 了一次函数图 象的几何变换, 关键是掌握直 第 17页(共 36页) 线 y=kx+b 沿 y 轴平移后,函数 解析式的 k 值不 变,b 值上移加、 下移减. 15.(3 分)(2015 春•通州区校级期中)一次函数的图象如图所示,当 x>0 时,y >﹣ 2 . 考点: 一次函数与一 元一次不等式.菁 优网版权 所有 专题: 数形结合. 分析: 观察函数图象 得到 x>0 时对 应的函数值的 范围即可. 解答: 解:当 x>0 时, y>﹣2. 故答案为>﹣ 2. 点评: 本题考查了一 次函数与一元 一次不等式:用 画函数图象的 方法解不等式 kx+b>0(或< 0)对应一次函 数 y=kx+b,它 与 x 轴交点为 (﹣ ,0).当 k>0 时,不等式 kx+b>0 的解 为:x>﹣ ,不 等式kx+b<0的 第 18页(共 36页) 解为:x<﹣ . 16.(3 分)(2001•海南)如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 为 AB 的中 点,F 是 AC 上的一动点,则 EF+BF 的最小值为 3 . 考点: 轴对称-最短路 线问题;菱形的 性质;特殊角的 三角函数值. 菁优网版 权所有 专题: 压轴题;动点 型. 分析: 根据菱形的对 角线互相垂直 平分,点 B 关于 AC 的对称点是 点 D,连接 ED, EF+BF 最小值 =ED,然后解直 角三角形即可 求解. 解答: 解:∵在菱形 ABCD 中,AC 与 BD 互相垂直 平分, ∴点 B、D 关于 AC 对称, 连接 ED,则 ED 就是所求的 EF+BF 的最小 值的线段, ∵E 为 AB 的中 点, ∠DAB=60°, ∴DE⊥AB, ∴ED= = =3 第 19页(共 36页) , ∴EF+BF 的最 小值为 3 . 故答案为: 3 . 点评: 本题主要考查 了三角形中位 线定理和解直 角三角形,关键 是判断出当F是 AC 的中点时, EF+BF 最小. 三、解答题(17-22 题每题 5 分,23,24 题每题 7 分,25 题 8 分) 17.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)已知:如图,▱ ABCD 中,DE⊥AC 于 E,BF⊥AC 于 F.求证:DE=BF. 考点: 平行四边形的 性质;全等三角 形的判定与性 质. 菁优网版 权所有 专题: 证明题. 分析: 利用平行四边 形的性质得出 AD=BC, ∠DAE=∠BCA ,进而利用全等 三角形的判定 得出即可. 解答: 证明:∵四边形 ABCD 是平行 四边形, ∴AD=BC, ∠DAE=∠BCF , ∵DE⊥AC, 第 20页(共 36页) BF⊥AC ∴∠DEA=∠B FC 在△ADE 和 △CBF 中, , ∴△ADE≌△C BF(AAS), ∴DE=BF. 点评: 此题主要考查 了平行四边形 的性质以及全 等三角形的判 定与性质,得出 △ADE≌△CB F 是解题关键. 18.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)在平面直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴 上,且线段 OA=6,OB=3, (1)请你画出过 A、B 两点的一次函数图象并求出表达式. (2)然后根据图象解答下列问题: ①求方程 y=0 的解; ②求不等式 y>0 的解. 考点: 一次函数的图 象;待定系数法 求一次函数解 析式;一次函数 与一元一次方 程;一次函数与 一元一次不等 式. 菁优网版 权所有 第 21页(共 36页) 分析: (1)根据描点 法,可得函数图 象; (2)根据函数 与方程的关系: 图象与 x 轴交点 的横坐标即为 方程的解; (3)根据函数 与不等式的关 系:x 轴上方的 部分是不等式 的解集,可得答 案. 解答: 解:(1)如图: ; (2)①由图象 与 x 轴交点的横 坐标为 6,得方 程 y=0 的解是 x=6; ②由图象位于 x 轴上方的部 分,得不等式 y >0 的解是 x< 6. 点评: 本题考查了一 次函数图象,利 用了函数与方 程的关系,函数 与不等式的关 系. 19.(5 分)(2009 秋•洛江区期末)如图所示,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,CE∥DB,交 AD 的延长线于点 E,试说明 AC=CE. 第 22页(共 36页) 考点: 矩形的性质;平 行四边形的判 定与性质. 菁优网版 权所有 专题: 证明题. 分析: 由矩形的性质, 可得 AC=BD, 欲求 AC=CE, 证 BD=CE 即 可.可通过证四 边形 BDEC 是 平行四边形,从 而得出 BD=CE 的结论. 解答: 解:在矩形 ABCD 中, AC=BD,(2 分) AD∥BC,(4 分) 又∵CE∥DB, ∴四边形 BDEC 是平行四边 形.(6 分) ∴BD=EC.(8 分) ∴AC=CE.(10 分) 点评: 此题主要考查 了矩形的性质 及平行四边形 的判定和性质. 20.(5 分)(2012•聊城)如图,直线 AB 与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,﹣ 2). (1)求直线 AB 的解析式; (2)若直线 AB 上的点 C 在第一象限,且 S△BOC=2,求点 C 的坐标. 第 23页(共 36页) 考点: 待定系数法求 一次函数解析 式. 菁优网版 权所有 专题: 计算题. 分析: (1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,将点 A (1,0)、点 B (0,﹣2)分别 代入解析式即 可组成方程组, 从而得到 AB 的 解析式; (2)设点 C 的 坐标为(x,y), 根据三角形面 积公式以及 S△BOC=2 求出 C 的横坐标,再代 入直线即可求 出 y 的值,从而 得到其坐标. 解答: 解:(1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0), ∵直线 AB 过点 A(1,0)、点 B (0,﹣2), ∴ , 解得 , ∴直线 AB 的解 析式为 y=2x﹣ 2. 第 24页(共 36页) (2)设点 C 的 坐标为(x,y), ∵S△BOC=2, ∴ •2•x=2, 解得 x=2, ∴y=2×2﹣2=2, ∴点 C 的坐标 是(2,2). 点评: 本题考查了待 定系数法求函 数解析式,解答 此题不仅要熟 悉函数图象上 点的坐标特征, 还要熟悉三角 形的面积公式. 21.(5 分)(2012 春•江夏区期末)如图,P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PE⊥DC, PF⊥BC,E、F 分别为垂足,若 CF=3,CE=4,求 AP 的长. 考点: 正方形的性质; 全等三角形的 判定与性质;勾 股定理. 菁优网版 权所有 专题: 计算题. 分析: 要求 AP 的长, 根据已知条件 不能直接求出, 结合已知 CF=3,CE=4 发 现可以求出 EF 的长,也就是求 出了 CP 的长. 当连接 CP 时, 可以证明 第 25页(共 36页) △APD≌△CP D,然后根据全 等三角形的性 质可以得到 AP=CP,这样就 求出了 AP 的 长; 解答: 解:连接 PC ∵四边形 ABCD 是正方 形, ∴AD=DC, ∠ADP=∠CDP , ∵PD=PD, ∴△APD≌△C PD,(4 分) ∴AP=CP,(5 分) ∵四边形 ABCD 是正方 形, ∴∠DCB=90°, ∵PE⊥DC, PF⊥BC, ∴四边形 PFCE 是矩形,(8 分) ∴PC=EF,(9 分) ∵∠DCB=90°, ∴在 Rt△CEF 中, EF2=CE2+CF2= 42+32=25, ∴EF=5,(11分) ∴AP=CP=EF= 5.(12 分) 第 26页(共 36页) 点评: 解答本题要充 分利用正方形 的特殊性质,利 用它们得到全 等三角形,然后 根据全等三角 形的性质把 AP 和 CP 联系起 来. 22.(5 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,已知直线 y= x 与双曲线 y= (k>0)交于 A,B 两点,且点 A 的横坐标为 4. (1)求 k 的值; (2)若双曲线 y= (k>0)上一点 C 的纵坐标为 8,求△AOC 的面积; (3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y= (k>0)于 P,Q 两点(P 点在第一象限),若 由点 A,B,P,Q 为顶点组成的四边形面积为 24,求点 P 的坐标. 考点: 反比例函数与 一次函数的交 点问题. 菁优网版 权所有 专题: 计算题. 分析: (1)先利用直 线 y= x 的解析 第 27页(共 36页) 式确定 A(4, 2),然后根据反 比例函数图象 上点的坐标特 征易得 k=8; (2)由反比例 函数解析式为 y= 可得到 C (1,8),作 AD⊥x 轴于 D, CE⊥x 轴于 E, 如图 1,由于 S△AOC+S△AOD= S△COD+S 梯形 ADOC,而根据反 比例函数比例 系数 k 的几何意 义得到 S△AOD=S△COD, 于是 S△AOC=S 梯 形 ADOC,然后根 据梯形的面积 公式计算; (3)如图 2,先 利用反比例函 数与正比例函 数的性质得到 OA=OB, OP=OQ,则可判 断四边形 AQBP 为平行四边形, 所以 S△APO= S 平行四边形 AQBP=6, 作 AM⊥x 轴于 M,PN⊥x 轴于 N,如图 1,与 (2)一样可得 S△AOC=S 梯形 AMNP,设 P(t, )(t>0),分 类讨论:当 t>4 第 28页(共 36页) 时,根据梯形面 积得到 • ( +2)•(t﹣4) =6;当 t<4 时, 根据梯形面积 得到 • ( +2)•(4﹣t) =6,然后分别解 方程求出满足 条件的 t 的值, 从而得到P 点坐 标. 解答: 解:(1)当 x=4 时,y= x=2, 则 A(4,2), 把 A(4,2)代 入 y= 得 k=4×8; (2)反比例函 数解析式为 y= , 当 y=8 时, =1, 解得 x=1,则 C (1,8), 作 AD⊥x 轴于 D,CE⊥x 轴于 E,如图 1, ∵S△AOC+S△AO D=S△COD+S 梯形 ADOC, 而 S△AOD=S△COD, ∴S△AOC=S 梯形 ADOC= ×(2+8) ×(4﹣1)=15; 第 29页(共 36页) (3)如图 2,∵ 直线 PQ 和直线 AB 过原点, ∴点 A 与点 B, 点P与点Q 都关 于原点中心对 称, ∴OA=OB, OP=OQ, ∴四边形 AQBP 为平行四边形, ∴S△APO= S 平行 四边形 AQBP= ×24=6, 作 AM⊥x 轴于 M,PN⊥x 轴于 N,如图 1, 与(2)一样可 得 S△AOC=S 梯形 AMNP, 设 P(t, )(t >0), 当 t>4 时, • ( +2)•(t﹣4) =6, 整理得 t2﹣6t﹣ 16=0,解得 t=8, t=﹣2(舍去), 此时P 点坐标为 (8,1), 当 t<4 时, • ( +2)•(4﹣t) =6, 整理得 t2+6t﹣ 16=0,解得 t= ﹣8(舍去), t=2,此时 P 点 第 30页(共 36页) 坐标为(2,4), 综上所述,P 点 坐标为(2,4) 或(8,1). 点评: 本题考查了反 比例函数与一 次函数的交点 问题:求反比例 函数与一次函 数的交点坐标, 把两个函数关 系式联立成方 程组求解,若方 程组有解则两 者有交点,方程 组无解,则两者 无交点.也考查 了平行四边形 的判定与性质. 23.(7 分)(2014 春•阳新县期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线与 BC 边相交于点 E,∠ABC 的平分线与 AD 边相交于点 F. 请证明四边形 ABEF 是菱形. 第 31页(共 36页) 考点: 菱形的判定;平 行线的性质;平 行四边形的性 质. 菁优网版 权所有 专题: 证明题. 分析: 根据平行四边 形性质和角平 分线性质求出 AF=AB, BE=AB,推出 AF=BE, AF∥BE,得出 平行四边形 ABEF,求出 ∠AOB=90°,根 据菱形的判定 求出即可. 解答: 证明:∵四边形 ABCD 是平行 四边形, ∴AD∥BC, ∴∠4=∠5, ∵∠ABC 的平 分线 BF, ∴∠3=∠4, ∴∠3=∠5, ∴AF=AB, ∵AD∥BC, ∴∠1=∠AEB, ∵∠BAC 的平 分线 AE, ∴∠1=∠2, ∴∠2=∠AEB, ∴BE=AB, ∴AF=BE, 第 32页(共 36页) ∵AF∥BE, ∴四边形 ABEF 是平行四边形, ∵AF=AB, ∴平行四边形 ABEF 是菱形. 点评: 本题考查了平 行四边形的性 质和判定,平行 线性质,菱形的 判定的应用,关 键是求出 AF=BE 和 ∠AOB=90°,主 要考查学生的 推理能力. 24.(7 分)(2015 春•通州区校级期中)如图,在直角坐标系中,A(0,1),B(0,3),P 是 x 轴上一动点,在直线 y=x 上是否存在点 Q,使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行 四边形?若存在,画出所有满足情况的平行四边形,并求出对应的 P、Q 的坐标;若不存在, 请说明理由. 考点: 一次函数综合 题. 菁优网版 权所有 分析: 设 P(x,0),Q (a,a),再分 AB 是平形四边 形的边与对角 戏两种情况进 行讨论即可. 解答: 解:如 1,∵P 是 x 轴上一动 点,点 Q 在直线 y=x 上, ∴设 P(x,0), Q(a,a), 当 AB 是平形四 第 33页(共 36页) 边形的边时, ∵AB=3﹣1=2, ∴PQ=AB=2, ∴a=±2, ∴P1(﹣2,0), Q1(﹣2,﹣2) 或 P2(2,0), Q2(2,2); 如图 2,当 AB 是平形四边形 的对角线时, BQ=AP 是 a2+ (a﹣3) 2=x2+12,即 2a2 ﹣6a=x2﹣8①; PB=AQ 是 a2+ (a﹣1) 2=32+x2,即 2a2 ﹣2a=x2﹣9②. ①﹣②得 a=4, 把 a=4 代入① 得,17=1+x2, 解得 x=±4, ∴P3(﹣4,0), Q3(4,4)或 P4(4,0),Q4 (4,4)(舍去). 第 34页(共 36页) 点评: 本题考查了一 次函数的性质, 与四边形结合, 使得题目难度 较大,数形结合 与分类讨论思 想的应用,使得 题目妙趣横生. 25.(8 分)(2005•中山)如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以正方形 ABCD 的 对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF,再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方 形 AEGH,如此下去…. (1)记正方形 ABCD 的边长为 a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4,…, an,求出 a2,a3,a4 的值. (2)根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an 的表达式. 考点: 勾股定理. 菁优网版 权所有 专题: 规律型. 分析: (1)求 a2 的长 即 AC 的长,根 据直角△ABC 中 AB2+BC2=AC2 可以计算,同理 计算 a3、a4. (2)由(1)知, a2= a1, a3= a2…, an= an﹣1 可以 第 35页(共 36页) 找出第 n 个正方 形边长的表达 式. 解答: 解:(1)a2=AC, 且在直角 △ABC 中, AB2+BC2=AC2 , ∴a2= a1= , 同理 a3= a2= a1=2 , a4= a3= a1=2 ; (2)由(1)结 论可知: a2= a1= , a3= a2= a1=2 , a4= a3= a1=2 ; … 故找到规律 an= a1 = . 点评: 本题考查了勾 股定理在直角 三角形中的运 用,考查了学生 找规律的能力, 第 36页(共 36页) 本题中找到 an 的规律是解题 的关键.