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- 2021-10-26 发布
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第十二章
全等三角形
12.2三角形全等的判定
第1课时
1.探索三角形全等条件.(重点)
2.“边边边”判定方法和应用.(难点)
3.会用尺规作一个角等于已知角,了解图形的作法.
学习目标
导入新课
为了庆祝国庆节,老师要求同学们回家制作三
角形彩旗(如图),那么,老师应提供多少个数据
了,能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢?
一定要知道所有的边长和所有的角度吗?
情境引入
A
B C
D
E F
1. 什么叫全等三角形?
能够重合的两个三角形叫 全等三角形.
3.已知△ABC ≌△DEF,找出其中相等的边与角.
①AB=DE ③ CA=FD② BC=EF
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
2. 全等三角形有什么性质?
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
知识回顾
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证
△ABC≌△DEF吗?
想一想:
即:三条边分别相等,三个角分别相等的两个三角
形全等.
探究活动1:一个条件可以吗?
(1)有一条边相等的两个三角形
不一定全等
(2)有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论:有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
三角形全等的判定(“边边边”定理)
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60o300
不一定全等
探究活动2:两个条件可以吗?
3cm
4cm
不一定全等
300 60o
3cm
4cm
不一定全等
30o
6cm
结论:
(1)有两个角对应相等的两个三角形
(2)有两条边对应相等的两个三角形
(3)有一个角和一条边对应相等的两个三角形
结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.
(1)有三个角对应相等的两个三角形
60o300
300 60o
90
o
90
o
探究活动3:三个条件可以吗?
3cm4cm
6cm
4cm 6cm
3cm
6cm 4cm
3cm
(2)三边对应相等的两个三角形会全等吗?
先任意画出一个△ABC,再画出一个△A′B′C′ ,使
A′B′= AB ,B′C′ =BC, A′ C′ =AC.把画好的△A′B′C′剪下,放到
△ABC上,他们全等吗?
A
B C
A ′
B′ C′
想一想:作图的结果反映了什么规律?你能用文字语言和符
号语言概括吗?
作法:
(1)画B′C′=BC;
(2)分别以B',C'为圆心,
线段AB,AC长为半径画圆,
两弧相交于点A';
(3)连接线段A'B',A 'C '.
u文字语言:三边对应相等的两个三角形全等.
(简写为“边边边”或“SSS”)
知识要点
“边边边”判定方法
A
B CD
E F
在△ABC和△ DEF中,
∴ △ABC ≌△ DEF(SSS).
AB=DE,
BC=EF,
CA=FD,
u几何语言:
例1 如图,有一个三角形钢架,AB =AC ,AD 是
连接点A 与BC 中点D 的支架.求证:(1)△ABD
≌△ACD .
CB D
A
典例精析
解题思路:
先找隐含条件 公共边AD
再找现有条件 AB=AC
最后找准备条件
BD=CD D是BC的中点
证明:∵ D 是BC中点,
∴ BD =DC.
在△ABD 与△ACD 中,
∴ △ABD ≌ △ACD ( SSS ).
CB D
A
AB =AC (已知)
BD =CD (已证)
AD =AD (公共边)
准备条件
指明
范围
摆齐根
据
写出结
论
(2)∠BAD = ∠CAD.
由(1)得△ABD≌△ACD ,∴ ∠BAD= ∠CAD.
(全等三角形对应角相等)
①准备条件:证全等时要用的条件要先证好;
②指明范围:写出在哪两个三角形中;
③摆齐根据:摆出三个条件用大括号括起来;
④写出结论:写出全等结论.
u证明的书写步骤:
如图, C是BF的中点,AB =DC,AC=DF.
求证:△ABC ≌ △DCF.
B
C A
DF
在△ABC 和△DCF中,
AB = DC,
∴ △ABC ≌ △DCF
(已知)
(已证)
AC = DF,
BC = CF,
证明:∵C是BF中点,
∴BC=CF.
(已知)
(SSS).
已知: 如图,点B、E、C、F在同一直线上 , AB = DE ,
AC = DF ,BE = CF .
求证: (1)△ABC ≌ △DEF; (2)∠A=∠D.
证明:
∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS ).
在△ABC 和△DEF中,
AB = DE,
AC = DF,
BC = EF,
(已知)
(已知)
(已证)
∵ BE = CF,
∴ BC = EF.
∴ BE+EC = CF+CE,
(1)
(2)∵ △ABC ≌ △DEF(已证),
∴ ∠A=∠D(全等三角形对应角相等).
B
C A
F D
E
A
C B D
解:∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD与△ACD中,
AB=AC(已知),
BD=CD(已证),
AD=AD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SSS),
例2 如图, △ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A与
BC中点D的支架,试说明:∠B=∠C.
∴∠B=∠C.
典例精析
已知:∠AOB.求作: ∠A′O′B′=∠AOB.
例3 用尺规作一个角等于已知角.
O
D
B
C A O′
C′ A′
B′
D ′
用尺规作一个角等于已知角
作图总结
已知:∠AOB.求作:∠A′O′B′=∠AOB.
用尺规作一个角等于已知角
依据是
什么?
1.如图,D、F是线段BC上的两点,AB=CE,AF=DE,
要使△ABF≌△ECD ,还需要条件 (填一个条件即可). BF=CD
A E
= =× ×
B D F C
当堂练习
2.如图,AB=CD,AD=BC, 则下列结论:
①△ABC≌△CDB;②△ABC≌△CDA;③△ABD ≌△CDB;
④BA∥DC. 正确的个数是 ( )
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
O
A
B C
D
C
= =
×
×
3.已知:如图 ,AB=AE,AC=AD,BD=CE,
求证:△ABC≌△AED.
证明:∵BD=CE,
∴BD-CD=CE-CD .
∴BC=ED .
× ×= =
在△ABC和△ADE中,
AC=AD(已知),
AB=AE(已知),
BC=ED(已证),
∴△ABC≌△AED(SSS).
4.已知:如图 ,AC=FE,AD=FB,BC=DE.
求证:(1)△ABC≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.
证明:(1)∵ AD=FB,
∴AB=FD(等式性质).
在△ABC和△FDE 中,
AC=FE(已知),
BC=DE(已知),
AB=FD(已证),
∴△ABC≌△FDE(SSS);
A C
E
D
B
F
=
=
?
?
。
。
(2)∵ △ABC≌△FDE(已证).
∴ ∠C=∠E(全等三角形的对应角相等).
D C
O
A B
5.如图,AD=BC,AC=BD.求证:∠C=∠D .(提示:
连结AB)
证明:连结AB两点,
∴△ABD≌△BAC(SSS)
AD=BC,
BD=AC,
AB=BA,
在△ABD和△BAC中,
∴∠D=∠C.
思维拓展
6.如图,AB=AC,BD=CD,BH=CH,图中有几组
全等的三角形?它们全等的条件是什么?
H
D
CB
A△ABD≌△ACD(SSS)
AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
△ABH≌△ACH(SSS)
AB=AC,
BH=CH,
AH=AH,
△BDH≌△CDH(SSS)
BH=CH,
BD=CD,
DH=DH,
课堂小结
边
边
边
内 容 有三边对应相等的两个三角形全等
(简写成 “SSS”)
应 用
思路分析
书写步骤
结合图形找隐含条件和现
有条件,证准备条件
注 意
四步骤
1. 说明两三角形全等所需的条件应
按对应边的顺序书写.
2. 结论中所出现的边必须在所证明
的两个三角形中.
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