2020八年级数学上册等腰三角形 5页

‎13.3 等腰三角形 学习目标、重点、难点 ‎【学习目标】‎ 1、 等腰三角形的概念及性质.‎ 2、 等边三角形的概念及性质.‎ 3、 等腰三角线、等边三角形的识别 ‎【重点难点】‎ 1、 等腰三角形、等边三角形的概念及性质.‎ 2、 等腰三角线、等边三角形的识别.‎ 知识概览图 新课导引 如下图所示，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点？（不考虑风浪因素）‎ ‎【问题探究】如果两艘船以同样的速度同时出发，并且同时赶到出事地点，说明两艘船的航程相同，即OA=OB，那么由∠A=∠B，能否直接判断出OA=OB呢？‎ 教材精华 知识点1 等腰三角形的概念及性质 等腰三角形的概念 两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.‎ 如图10-79所示，在等腰三角形中ABC中，AB=AC，则AB和AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角.‎ 5‎ 拓展 ‎ ‎（1）顶角是指两腰的夹角，并不是位置在上面的角，如图10-80所示，在△DEF中，DF=EF，则顶角是∠F，而不是上面的∠D.‎ ‎（2）在定义等腰三角形时，不能说成是“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”.‎ 等腰三角形的性质 等腰三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质可以得出等腰三角形的边、角、三线、对称性这四个方面的性质分别如下：‎ ‎（1）边：等腰三角形的两腰相等.‎ ‎（2）角：等腰三角形的两底角相等，简称为“等边对等角”.‎ ‎（3）三线：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为“三线合一”.‎ ‎（4）对称性：等腰三角形具有轴对称性，底边垂直平分线是它的对称轴.‎ 知识点2 等边三角形的概念及性质 等边三角形的概念 三边都相等的三角形叫做等边三角形.‎ 等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的所有性质外，还具有如下一些特殊的性质：‎ ‎（1）边：等边三角形的三边相等.‎ ‎（2）角：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.‎ ‎（3）三线：等边三角形每个角的平分线都是其对边上的中线和高.‎ ‎（4）对称性：等边三角形具有轴对称性，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线.‎ 知识点3 等腰三角形的识别 识别方法：‎ ‎（1）两边相等的三角形是等腰三角形.‎ ‎（2）两角相等的三角形是等腰三角形，简称为“等角对等边”.‎ ‎（3）如果一个三角形一边上的高、中线和该边所对的角的平分线中的有任意两条互相重合，那么这个三角形的就是等腰三角形.‎ ‎“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中.“等边对等角”是等腰三角形的性质，“等角对等边”是等腰三角形的识别.它们之间的关系是互逆的.‎ 知识点4 等边三角形的识别 识别方法：‎ ‎（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎（3）有两个角都为60°的三角形是等边三角形.‎ ‎（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.‎ 拓展 在判断一个三角形是否是等边三角形时，我们可从边的角度去考虑，也可从角的角度去考虑.在使用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”时应注意其前提条件必须是“等腰三角形”，此时不论60°的角是顶角还是底角，都可说明此三角形为等边三角形.‎ 课堂检测 基础知识应用题 5‎ ‎1、若等腰三角形的一边长为6，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（ ）‎ A．10 B．‎14 C．16 D．14或16‎ ‎2、若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角为（ ）‎ A．40° B．70° C．100° D．40°或100°‎ ‎3、等边三角形有_______条对称轴.‎ 综合应用题 ‎4、如图10-95所示，已知△ABC为等边三角形，BD=AB，交于点E，当E在AC上运动时，∠ADC的度数是否发生变化？如果变化，说明变化范围；如果不变，求出∠ADC的度数.‎ ‎ ‎ 探索创新题 ‎5、图10-106所示，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的一点，DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N.‎ ‎（1）试说明DM+DN=定值（一腰上的高）；‎ ‎（2）若点D在BC的延长线上，其他条件不变，此结论是否仍然成立？说明理由.‎ 体验中考 ‎1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）‎ A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°‎ ‎2、若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为______.‎ 学后反思 ‎ 5‎ 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 ‎1、分析 如果腰长为6，那么三边长分别为6，6，4，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为16；如果腰长为4，那么三边长分别为4，4，6，符合三角形的三边关系，此时三角形的周长为14.故正确答案为D.‎ 解题策略 在没有指明腰和底边时，一定要分类讨论.‎ ‎2、分析 此题主要考查等腰三角形的两底角相等的性质.当140°的角为顶角的外角时，顶角为180°-140°=40°；当140°的角为底角的外角时，底角为40°，顶角为180°-2×40°=100°.故正确答案为D.‎ ‎3、分析 此题考查等边三角形的性质.由等边三角形的性质可得出等边三角形有三条对称轴.故正确答案为三.‎ ‎4、解：∠ADC的度数不变.‎ ‎ 设∠ABD=α，则∠DBC=60°-α.‎ ‎ 在△ABD中，‎ ‎ 由AB=DB，得∠ADB=×（180°-α）=90°-.‎ ‎ 因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC，故BD=BC，‎ 所以在△BDC中，∠BDC= ×（180°-∠DBC）= ×[180°-（60°-α）]=60°+.‎ ‎ 所以∠ADC=∠ADB+∠BDC=（90°- ）+（60°+ ）=150°.‎ ‎ 即当点E在AC上运动时，∠ADC的度数不变，为150°.‎ ‎5、解：（1）如图10-106所示，过点C作CH⊥AB于H，连结AD，则S△ADB +S△ADC= S△ABC.‎ 因为S△ADB=DM·AB，S△ADC=DN·AC，S△ABC=AB·CH，‎ 所以DM·AB+DN·AC=AB·CH.‎ 因为AB=AC，‎ 所以DM+DN=CH.‎ 因为△ABC一定，所以一腰上的高一定，‎ 所以DM+DN=定值.‎ ‎（2）结论不成立.理由如下：‎ 如图10-107所示，过点C作CH⊥AB于H，连接AD，则S△ADB=S△ABC+S△ACD.‎ 所以DM·AB=AB·CH+DN·AC.‎ 5‎ 因为AB=AC，‎ 所以DM=CH+DN.‎ 体验中考 ‎1、分析 本题考查等腰三角形的性质.50°的角可能是顶角，也可能是底角，当50°的角是底角时，顶角为180°-50°×2=80°，所以顶角为50°或80°.故正确答案为D.‎ ‎2、分析 本题考查等腰三角形的性质.因为等腰三角形的一个外角为70°，所以与它相邻的内角为110°.因为110°>90°，因此110°这个角只能是顶角，所以它的底角为=35°.故正确答案为35°.‎ 5‎