人教版初中数学八年级下册课件18.2.3 正方形第1课时 正方形的性质 25页

18.2.3 正方形 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 正方形的性质 学习目标 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点） 导入新课 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形， 在生活中无处不在. 情景引入 你还能举 出其他的 例子吗？ 讲授新课 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？ 正方形 邻边相等矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形. 归纳总结 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD 相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观 察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对 称轴有几条? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形. A D CB O 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 典例精析 D A B C E 例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形 ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小． 解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公 共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在 正方形的外部或在正方形的内部． 【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足 AP=AB，PB=PC，连接AC、PD． （1）求证：△APB≌ △DPC； 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°． ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB． ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB， 即∠ABP=∠DCP． 又∵AB=DC，PB=PC， ∴△APB≌ △DPC． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵△APB≌ △DPC， ∴AP=DP． 又∵AP=AB=AD， ∴DP=AP=AD． ∴△APD是等边三角形． ∴∠DAP=60°． ∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°． ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°． ∴∠BAP=2∠PAC． （2）求证：∠BAP=2∠PAC． 例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点， PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC，AC. 又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=PC. ∴AP=EF. 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接 对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质， 角平分线性质，等腰三角形等来说明. 归纳 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 练一练 3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与 BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面 积．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8. 2 2 2 2,AD AO OD   8 2 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且 AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第3题图 第4题图 45° 5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角 线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝ AE， ∴△ABE≌ △AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中， ∴FC＝AC－AF＝( －1)cm， ∴BE＝( －1)cm． 2 2 2cm,AC AB BC   2 2 6. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延 长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？ 请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌ △DCF. ∴BE=DF. A B D C F E 延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌ △DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°, ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形.