数学冀教版八年级上册教案12-3分式的加减（1） 5页

- 1 - 12.3 分式的加减（1） 教学目标 【知识与能力】 1.会利用分式的基本性质对分式进行通分. 2.理解分式的加减法法则,并会运用它进行分式的加减法运算. 【过程与方法】 1.通过同分母、异分母分式的加减法运算,复习整式的加减法运算、多项式去括号的法则, 培养学生分式运算的能力. 2.渗透类比、化归等数学思想方法,培养学生计算的能力. 【情感态度价值观】 在探究分式加减法法则的活动中,培养学生良好的学习习惯,培养学生运用数学的意识. 教学重难点 【教学重点】 运用分式加减法的运算法则进行分式的加减运算. 【教学难点】 异分母分式的加减法运算. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件 1】 大约公元 250 年前后,希腊数学家丢番图研究一个数学问题:如何把 42 写成两个 数 的 平 方 和 的 形 式 , 即 42=x2+y2, 演 算 过 程 中 出 现 了 16 5 2 + 12 5 2 = 256 25 + 144 25 = 256+144 25 = 400 25 =16.由于 16=42,于是他求得了一组解:x= 16 5 ,y= 12 5 .这 个问题还有其他的解吗? 256 25 + 144 25 = 256+144 25 = 400 25 =16,用到了什么法则呢?你能计算 + 吗? [设计意图] 将数学问题融入具体故事情境,根据有趣味性的问题,使学生积极主动地投入 到数学活动中去,从而调动学生学习的积极性. 导入二: 【课件 2】 甲工程队完成一项工程需 n 天,乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程, 两队共同工作一天完成这项工程的几分之几? 【思路点拨】 这是一道实际应用问题,主要是以“模型”的思想建立分式加减的代数式, 首先应找出甲、乙工程队每一天的工作效率,分别是甲队为 1 ,乙队为 1 +3 ,然后用和的运算得 到两队共同工作一天的分式模型: 1 + 1 +3 . 【教师活动】 组织学生小组合作交流,引导学生回顾曾经学过的有关“工效”问题的应用 - 2 - 题的列式方法,并提问个别学生. 【学生活动】 小组合作交流,对问题取得共识有下面两点: (1)明确是“工效”(以前学过)模型; (2)所列代数式是分式加法的形式,这是未学过的运算问题. 【提出问题】 那么,怎样来计算分式的加法呢? [设计意图] 以实际问题引入新课,提高学生学习的兴趣,同时也为探究本节课的内容打下 基础. 导入三: [过渡语] 我们学习过分数的加减法,我们一起来回顾一下: (1)什么叫通分?通分的作用是什么? (2)通分的关键是什么? (3)什么叫最简公分母? 教师提问,学生回忆,引出课题,并板书课题. [设计意图] 复习旧知识,引出新知识,为本节课的学习做铺垫. 二、新知构建： 活动一:一起探究——同分母分式加减法 思路一 [过渡语] 下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则. 【课件 3】 计算: 1 12 + 3 12 , 4 5 - 1 5 . 学生计算,并说出分数的加减法法则.教师根据情况板演: 1 12 + 3 12 = 1 12 + 3 12 = 4 12 = 1 3 , 4 5 - 1 5 = 4 - 1 5 = 3 5 . 【课件 4】 类比同分母分数的加减法运算法则,完成下面同分母分式的加减运算: (1) 1 + 2 = ; (2) + = ; (3) 5 - 2 = ; (4) - = . 答案:(1) 3 (2) + (3) 3 (4) - [过渡语] 同分母分式的加减法的实质与同分母分数的加减法相同,你能说出分式的加 减法法则吗? 学生同桌之间互说,再全班交流.教师板书: 同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减). 用式子表示为: ± = ± . 思路二 师:想一想: - 3 - (1)同分母的分数如何加减?你能举例说明吗? (2)你认为分母相同的分式应该如何加减? 【学生活动】 讨论得出如下内容: 同分母的分数的加减是分母不变,把分子相加减.例如: 4 13 + 3 13 = 4+3 13 = 7 13 . 分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样,应该是分母不变,把分子相加减. 师:现在请你举出几个分母相同的分式的加减法,猜想一下,怎样进行计算? 【学生活动】 小组交流,举例说明. 师:你能将它推广,得出分式的加减法法则吗? 说明:教师提出问题,学生列出算式后,小组讨论,得到同分母分式的加减法法则. 归纳:同分母的分式加减法法则:同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减). 用式子表示为: ± = ± . 教师根据学生归纳的情况,适当点评,并板书. [设计意图] 从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比分数的加减法运 算,学生很容易得出同分母的分式的加减法法则. 活动二:例题讲解 【课件 5】 计算下列各式: (1) 4 - ; (2) + + + - + ; (3) 2 2 - 2 + 2 2 - 2 + 2 2 - 2 . 〔解析〕 (1)和(2)可直接应用同分母分式的加减法法则进行计算;(3)中的第 2 个分母与其 他两个分母互为相反数,可提取“-”号变成相同的. 说明:让学生独立完成,然后全班讲评. 解:(1) 4 - = 4 - = 3 . (2) + + + - + = ++ - + = 2 + . (3) 2 2 - 2 + 2 2 - 2 + 2 2 - 2 = 2 2 - 2 + - 2 2 - 2 + 2 2 - 2 = 2 - 2+ 2 2 - 2 = - 2 + ( - ) = - + . 教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式或整式.可以向学生简单介绍最简分式 的有关知识,可与最简分数相类比.引导学生总结:(1)分子如果是一个多项式,此时分数线还 具有括号的作用;(2)最后结果应化成最简分式或整式. [设计意图] 通过例题,进一步提高学生对同分母分式加减法的认识,为熟练进行异分母分 式加减打下基础. 活动三:异分母分式相加减 [过渡语] 刚才我们研究了同分母分式的加减法,现在来看一下异分母分式的加减法. 1.观察与思考——法则的探究 【课件 6】 观察与思考: (1)异分母两个分数相加减,是将其化为同分母分数的加减法来进行的.如: 1 2 ± 2 3 = 1×3 2×3 ± 2×2 2×3 = 3±4 6 . - 4 - (2)类比异分母分数的加减,异分母分式的加减应当怎样进行呢? (3)试计算: ± . 小组讨论,选派代表发言. 小组讨论后得出:与异分母分数加减类似,异分母分式相加减也应该先通分,化成同分母的分 式,然后按同分母分式加减法法则进行计算,关键是如何通分. 【课件 7】 教师根据上述内容进行说明,然后交代: 像这样,把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式,叫做分式的通分,这个相同的 分母叫做这几个分式的公分母. 几个分式的公分母不止一个,通分时一般选取最简公分母. [知识拓展] 确定最简公分母的方法:(1)取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数;(2) 取各分母中相同因数的最高次幂作为公分母的因式;(3)各分母中出现的因式都必须出现在 公分母中.如 ac,mac(m 为非 0 整式)都是分式 , 的公分母,但 ac 是最简公分母. 【提出问题】 请你根据异分母分数的加减法法则,总结一下异分母分式的加减法法则? 归纳:异分母的分式加减法法则. 语言表述:异分母的两个分式相加(减),先通分,化为同分母的分式,再相加(减). 字母表示为: ± = ± = ± . 活动四:例题讲解 【课件 8】 计算下列各式: (1) 2 4 2 - ; (2) 1 + 2 . 引导学生独立完成. 解:(1) 2 4 2 - = 2 4 2 - 4 4 2 = 2 - 4 4 2 . (2) 1 + 2 = 2 2 + 2 2 = 2+ 2 2 . [设计意图] 通过讨论并解决分式的通分,使学生掌握把异分母分式转化为同分母分式的方 法,培养学生转化的思想,提高学生解决问题的能力. 三、课堂小结： 1.同分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适 时添上括号. 2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化, 然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式 的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.确定最简公分母的方 - 5 - 法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高 次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;②如果各分母都是多项式,就要先把它们分 解因式,然后把每个因式当成一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从 系数、相同因式和不同因式三个方面去找. 3.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为 1 的代数式,以便 通分. 4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式. [设计意图] 及时反馈学生学习的情况,让学生对自己的学习反思,在交流中与同学分享,体 验到学习数学的快乐.