2020八年级数学上册第11章三角形11 13页

‎11.2.2‎‎ 三角形的外角性质 学校：___________姓名：___________班级：___________‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是（　　）‎ A．50° B．65° C．90° D．130°‎ ‎2．如图，在△ABC中，∠C=80°，D为AC上可移动的点，则x可能是（　　）‎ A．5 B．‎10 ‎C．20 D．25‎ ‎3．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍，且等于与它不相邻的一个内角的2倍，那么这个三角形一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎4．如图，∠x的两边被一直线截得∠α，∠β，则x用α，β表示的式子是（　　）‎ A．β﹣α B．α﹣β C．180°﹣α﹣β D．180°﹣α+β ‎5．如图所示，下列四个判断中，正确的是（　　）‎ 15‎ A．∠ACE是△ABC的外角 B．∠ECD是△ABC的外角 C．∠DCF是△ABC的外角 D．∠ACD是△ABC的外角 ‎6．三角形的三个外角之比为2：2：3，则此三角形为（　　）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 ‎7．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，则∠1+∠2+∠3的大小为（　　）‎ A．90° B．180° C．270° D．360°‎ ‎8．如图，船从A处出发准备开往正北方向M处，由于一开始就偏离航线AM15°（即∠A=15°），航线到B处才发现，立即改变航向，并想在航行相同航程后（BM=BA）到达目的地M处，则应以怎样的角度航行即∠CBM等于（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，点D是AB延长线上的一点．∠CBD的度数是（　　）‎ A．125° B．135° C．145° D．155°‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC=（　　）‎ A．40° B．30° C．25° D．20°‎ 15‎ ‎11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（　　）‎ A．70° B．80° C．90° D．100°‎ ‎12．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（　　）‎ A．75° B．135° C．120° D．105°‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎13．△ABC的三个外角之比为3：4：5，则最大内角为　 　．‎ ‎14．△ABC中，∠A=32°，∠B=76°，则与∠C相邻的外角是　 　°．‎ ‎15．如图，在△ABC中，D是边BC延长线上的一点，∠B=45°，∠A=75°，则∠ACD=　 　．‎ ‎16．在△ABC中，∠C比∠A+∠B还大30°，则∠C的外角为　 　度，这个三角形是　 　三角形．‎ ‎17．如图，x的值是　 　．‎ ‎18．如图，△ABC中，∠C=40°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与D交于点D，那么∠D=　 　°．‎ 15‎ ‎19．如图，△ABC中，∠A=60°，BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，BN、CN是外角的平分线，则∠M﹣∠N=　 　度．‎ ‎20．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎21．如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE．‎ ‎22．感知：如图①，△ABC是锐角三角形，△ABC的外角∠ACD的平分线与边AC上的高BE的延长线交于点F，若∠ABC=45°，∠BAC=65°，求∠F的度数：‎ 15‎ 探究：在图①中，若∠ACB=α，其他条件不变，求∠F的度数（用含α的式子表示）；‎ 应用：如图②，在△ABC中，∠ACB是钝角，△ABC的外角∠BCD的平分线与边AC上的高BE交于点F，若∠ACB=α，则BE与CF相交所成的角的大小是　 　（用含α的式子表示）．‎ ‎23．某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？‎ ‎24．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，若∠BOC=120°，求∠D的度数．‎ 15‎ ‎25．如图，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线． ‎（1）当∠A=40°时，分别求∠D和∠P的度数．‎ ‎（2）当∠A的大小变化时，试探究∠D+∠P的度数是否变化．如果不变化，求出∠D+∠P的值；如果变化，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 15‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．‎ 解：根据题意，∠3﹣∠2=180°﹣∠1，‎ 且∠1=130°，‎ 即得∠3﹣∠2=50°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．‎ 解：根据题意，9x＞∠C=80°，‎ ‎∴x＞（）°，‎ 在△ABD中，9x＜180°，‎ ‎∴x＜20°，‎ 因此（）°＜x＜20°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．‎ 解：设这个外角的度数为x，则与其相邻的内角为180°﹣x．‎ 根据题意得，x=2（180°﹣x），‎ 解得x=120°．‎ 则与其相邻的内角为60°，‎ 等于与它不相邻的一个内角的2倍，‎ 可得这个与其不相邻的内角为60°；‎ 即得该三角形为等边三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．‎ 解：∵∠x+∠1=∠β，∠α=∠1，‎ ‎∴∠x+∠α=∠β，即∠x=∠β﹣∠α．‎ 故选：A．‎ 15‎ ‎　‎ ‎5．‎ 解：A、∠ACE不是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；‎ B、∠ECD是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；‎ C、∠DCF是△ABC的外角，原说法错误，故本选项错误；‎ D、∠ACD是△ABC的外角，原说法正确，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．‎ 解：设一个外角是2x°，那么其他两个外角一定是2x°，3x°．‎ 根据题意列方程，得2x°+2x°+3x°=360°，‎ 解得x=（51）°，‎ 则三个外角分别是：度，度，度．‎ 与这三角相邻的三个内角分别是：度，度，度．‎ 因为都是锐角，所以此三角形是锐角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．‎ 解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3=360°．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．‎ 解：∵BM=BA，‎ ‎∴∠A=∠M=15°，‎ ‎∴∠CBM=∠A+∠M=15°+15°=30°．故选D．‎ ‎　‎ ‎9．‎ 解：∵∠CBD是△ABC的外角，‎ 15‎ ‎∴∠CBD=∠A+∠ACB，‎ ‎∵∠A=55°，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CBD=55°+90°=145°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．‎ 解：由折叠的性质可知，∠BA′D=∠A=65°，‎ ‎∵∠ABC=90°，∠A=65°，‎ ‎∴∠C=25°，‎ ‎∴∠A′DC=∠BA′D﹣∠C=40°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．‎ 解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，‎ ‎∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，‎ ‎∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，‎ ‎∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，‎ ‎∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，‎ ‎∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，‎ ‎∵∠BPC=20°，‎ ‎∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，‎ ‎∴∠A+∠P=90°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．‎ 解：∵图中是一副直角三角板，‎ ‎∴∠1=45°，∠2=30°，‎ ‎∴∠α=180°﹣45°﹣30°=105°．‎ 故选：D．‎ 15‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎13．‎ 解：∵三角形三个外角度数之比是3：4：5，‎ 设三个外角分别是α，β，γ，则α=360°×=90°，‎ ‎∴此三角形一定是直角三角形，最大内角为90°．‎ 故答案为：90°．‎ ‎　‎ ‎14．‎ 解：如图，∵∠1=∠A+∠B，∠A=32°，∠B=76°，‎ ‎∴∠1=32°+76°=108°，‎ 故答案为：108．‎ ‎　‎ ‎15．‎ 解：∵∠B=45°，∠A=75°，‎ ‎∴∠ACD=∠B+∠A=45°+75°=120°，‎ 故答案为：120°．‎ ‎　‎ ‎16．‎ 解：由题意∠C=∠A+∠B+30°，‎ ‎∵∠A+∠B+∠A+∠B+30°=180°，‎ ‎∴∠A+∠B=75°，‎ ‎∴∠C=105°，‎ 15‎ ‎∴∠C的外角是75°，‎ ‎∵∠C=105°＞90°，‎ ‎∴这个三角形是钝角三角形，‎ 故答案为75，钝角三角形．‎ ‎　‎ ‎17．‎ 解：由三角形的外角的性质可知，x+x+20=x+80，‎ 解得，x=60，‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎18．‎ 解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，‎ ‎∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE，‎ ‎∴∠D=∠DBE﹣∠DAE=（∠CBE﹣∠CAE）=∠C=20°，‎ 故答案为：20．‎ ‎　‎ ‎19．‎ 解：∵BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，‎ ‎∴∠M=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=90°+∠A；‎ ‎∵BN、CN是外角的平分线，‎ ‎∴∠N=90°﹣，‎ ‎∴∠M﹣∠N=∠A=60°，‎ 故答案为：60‎ ‎　‎ ‎20．‎ 解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，‎ 故答案为：15°．‎ ‎　‎ 15‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎21．‎ 证明：∵∠DCB是△DCE的一个外角（外角定义）‎ ‎∴∠DCB＞∠CDE（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）‎ ‎∵∠ADB是△BCD的一个外角（外角定义）‎ ‎∴∠ADB＞∠DCB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）‎ ‎∴∠ADB＞∠CDE（不等式的性质）．‎ ‎　‎ ‎22．‎ 解：感知：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，‎ 由角平分线的性质，得 ‎∠ACF=∠ACD=55°，‎ 由三角形内角和定理，得 ‎∠F=180°﹣90°﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．‎ 探究：∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°，‎ 由角平分线的性质，得 ‎∠ACF=∠ACD=55°，‎ 由外角的性质，得 ‎∠F=∠BEC﹣∠ECF=90°﹣55°=35°．‎ 应用：由补角的性质，得 ‎∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣α，‎ 由角平分线的性质，得 ‎∠ECF=∠BCE=90°﹣α，‎ 由外角的性质，得 ‎∠CFE=90°﹣∠ECF=α，‎ 由补角的性质，得 ‎∠BFC=180°﹣α，‎ 综上所述：BE与CF相交所成的角的大小是 15‎ 故答案为：α或180°﹣α．‎ ‎　‎ ‎23．‎ 解：如图，连接AD并延长，‎ ‎∴∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，‎ ‎∵∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，‎ ‎∴∠BDC=∠BDE+∠CDE，‎ ‎=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，‎ ‎=∠B+∠BAC+∠C，‎ ‎=32°+90°+21°，‎ ‎=143°，‎ ‎∵143°≠145°，‎ ‎∴这个零件不合格．‎ ‎　‎ ‎24．‎ 解：∵∠BOC=120°，‎ ‎∴∠OBC+∠OCB=60°，‎ ‎∵∠B，∠C的平分线交于点O，‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=120°，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∵D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交点，‎ ‎∴∠DCH=∠ACH，∠DBC=∠ABC，‎ ‎∴∠D=∠DCH﹣∠DBC=×（∠ACH﹣∠ABC）=30°．‎ 15‎ ‎　‎ ‎25．‎ 解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，‎ ‎∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，‎ ‎∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，‎ 在△BCD中，‎ ‎∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）‎ ‎=180°﹣（90°﹣∠A）‎ ‎=90°+∠A ‎=90°+20°‎ ‎=110°；‎ ‎∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，‎ ‎∴∠CBP=∠CBE，∠BCP=∠BCF，‎ ‎∴∠CBP+∠BCP ‎=∠CBE+∠BCF ‎=（∠CBE+∠BCF）‎ ‎=（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）‎ ‎=（180°+∠A），‎ ‎∴∠BPC=180°﹣（∠CBP+∠BCP）‎ ‎=180°﹣（180°+∠A）‎ 15‎ ‎=90°﹣∠A ‎=90°﹣×40°‎ ‎=80°．‎ ‎（2）∠D+∠P的值不变．‎ ‎∵由（1）知∠D=90°+∠A，∠P=90°﹣∠A，‎ ‎∴∠D+∠P=180°．‎ ‎　‎ 15‎