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- 2021-10-26 发布
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
第5课时
1.理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.
(重点)
2.能够运用多项式与多项式的乘法运算法则进行
计算.(难点)
学习目标
导入新课
复习引入
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算?
② 再把所得的积相加.
① 将单项式分别乘以多项式的各项,
2.进行单项式与多项式乘法运算时,要注意什么?
① 不能漏乘:即单项式要乘遍多项式的每一项
② 去括号时注意符号的确定.
讲授新课
互动探究
问题1 某地区在退耕还林期间,有一块原长m米,宽为a米的
长方形林区增长了n米,加宽了b米,请你计算这块林区现在
的面积.
a
m
b
n
多项式乘多项式
ma na
mb nb
a
m
b
n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗?
这块林区现在长为(m+n)米,宽为(a+b)米
(m+n)(a+b)
m(a+b)+n(a+b)
ma+mb+na+nb
方法一:
方法二:
方法三:
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的
面积,故有:
实际上,把(a+b)看成一个整体,有:
= ma+mb+na+nb
(m+n)(a+b) = m(a+b)+n(a+b)
(m+n)X=mX+nX?
若X=a+b,如何计算?
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘
以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
知识要点
多项式乘以多项式
1
2
3 4
(a+b)(m+n)=am1 2 3 4
+an+bm+bn
u多乘多顺口溜:
多乘多,来计算,多项式各项都见面,
乘后结果要相加,化简、排列才算完.
典例精析
例1 计算:(1)(3x+1)(x+2); (2)(x-8y)(x-y);
(3) (x+y)(x2-xy+y2).
解: (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
(2) 原式=x·x-xy-8xy+8y2
结果中有同类项
的要合并同类项.
=3x2+7x+2;
计算时要注意符
号问题.
=x2-9xy+8y2;
(3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3.
注意
计算时不能漏乘.
例2 先化简,再求值:(a-2b)(a2+2ab+4b2)-
a(a-5b)(a+3b),其中a=-1,b=1.
当a=-1,b=1时,
解:原式=a3-8b3-(a2-5ab)(a+3b)
=a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2
=-8b3+2a2b+15ab2.
原式=-8+2-15=-21.
例3 已知ax2+bx+1(a≠0)与3x-2的积不含x2项,
也不含x项,求系数a、b的值.
解:(ax2+bx+1)(3x-2)
=3ax3-2ax2+3bx2-2bx+3x-2,
∵积不含x2的项,也不含x的项,
2 3 0,
2 3 0,
a b
b
∴
9 ,4
3 .2
a
b
∴
方法总结:解决此类问题首先要利用多项式乘
法法则计算出展开式,合并同类项后,再根据
不含某一项,可得这一项系数等于零,再列出
方程解答.
练一练:计算
(1)(x+2)(x+3)=__________;
(2)(x-4)(x+1)=__________;
(3)(y+4)(y-2)=__________;
(4)(y-5)(y-3)=__________.
x2+5x+6
x2-3x-4
y2+2y-8
y2-8y+15
由上面计算的结果找规律,观察填空:
(x+p)(x+q)=___2+______x+_______.x (p+q) pq
例4 已知等式(x+a)(x+b)= x2+mx+28,其中a、b、m
均为正整数,你认为m可取哪些值?它与a、b的取
值有关吗?请你写出所有满足题意的m的值.
解:由题意可得a+b=m,ab=28.
∵a,b均为正整数,故可分以下情况讨论:
①a=1,b=28或a=28,b=1,此时m=29;
②a=2,b=14或a=14,b=2,此时m=16;
③a=4,b=7或a=7,b=4,此时m=11.
综上所述,m的取值与a,b的取值有关,m的值为
29或16或11.
当堂练习
3.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项,那么a、b满足(
)
A.a=b B.a=0
C.a=-b D.b=0
C
1.计算(x-1)(x-2)的结果为( )
A.x2+3x-2 B.x2-3x-2
C.x2+3x+2 D.x2-3x+2
D
2.下列多项式相乘,结果为x2-4x-12的是( )
A.(x-4)(x+3) B.(x-6)(x+2)
C.(x-4)(x-3) D.(x+6)(x-2)
B
21 (2 3)( 2 ) ( 1) ;x x x ( )
4.判别下列解法是否正确,若错,请说出理由.
解:原式 22 4 6 ( 1)( 1)x x x x
2 22 4 6 ( 2 1)x x x x
2 22 4 6 2 1x x x x
2 2 5;x x
3x
22 ( 2 3)( 2 ) ( 1) ;x x x ( )
解:原式 )1(6342 222 xxxx
1672 22 xxx
2 7 7.x x ( 1)( 1)x x
2( 2 1)x x
5.计算:(1)(x−3y)(x+7y); (2)(2x + 5y)(3x−2y).
解: (1) (x−3y)(x+7y),
+ 7xy −3yx−
= x2 +4xy-21y2;
21y2
(2) (2x +5 y)(3x−2y)
=
=x2
2x•3x −2x• 2y +5 y• 3x−5y•2y
= 6x2 −4xy + 15xy−10y2
= 6x2 +11xy−10y2.
6.化简求值:
(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y),其中x=1,y=-2.
解:原式= 2 2 2 216 12 12 9 6 10 3 5x xy xy y x xy xy y
2 222 7 14x xy y
当x=1,y=-2时,
原式=22×1-7×1×(-2)-14×(-2)2
=22+14 -56
=-20.
7.解方程与不等式:
(1)(x-3)(x-2)+18=(x+9)(x+1);
(2)(3x+6)(3x-6)<9(x-2)(x+3).
解:(1)去括号,得x2-5x+6+18=x2+10x+9,
移项合并,得15x=15,
解得x=1;
(2)去括号,得9x2-36<9x2+9x-54,
移项合并,得9x>18,
解得x>2 .
8.小东找来一张挂历画包
数学课本.已知课本长a厘
米,宽b厘米,厚c厘米,
小东想将课本封面与封底
的每一边都包进去m厘米,
问小东应在挂历画上裁下
一块多大面积的长方形?
八年级(上)
姓名:____________
数学
c
b
a
拓展提升
a
b
c
m
b
m
面积:(2m+2b+c)(2m+a)
解:(2m+2b+c)(2m+a)
= 4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.
答:小东应在挂历画上裁下一块 (4m2+2ma+4bm
+2ab+2cm+ca)平方厘米的长方形.
课堂小结
多项式×
单项式
运 算
法 则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的
每一项分别乘以另一个多项式的每一项,
再把所得的积相加
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注 意
不要漏乘;正确确定各符号;结
果要最简
实质上是转化为单项式×多项式
的运算
(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.
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