2020年秋人教版八年级数学上册第12章 全等三角形 测试卷（3） 55页

第 1页（共 55页） 2020 年秋人教版八年级数学上册第 12 章 全等三角形 测试卷 （3） 一、选择题 1．如图，已知等边△ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF， DE⊥BC 于 E，FG⊥BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP ≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1 中，一定正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 2．如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，∠DAE=30°，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q．若 PQ=AE，则 AP 等于 cm． 3．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分 线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G．若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长 是 ． 第 2页（共 55页） 4．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CF⊥BE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 ． 5．如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= ． 6．已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1 在 y 轴上且坐标是（0，2），点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上，C1 的坐 标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点 A2014 到 x 轴的距离是 ． 7．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线 上一点，BE=DG，连接 EG，CF⊥EG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH．若 BH=8，则 FG= ． 8．如图，已知△ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA 的度数为 ． 第 3页（共 55页） 9．如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则 BD 的长为 ． 10．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE．设△ ACD、△BCE、△ABC 的面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： ①S1：S2=AC2：BC2； ②连接 AE，BD，则△BCD≌△ECA； ③若 AC⊥BC，则 S1•S2= S32． 其中结论正确的序号是 ． 三、解答题 11．如图，已知点 E、F 在四边形 ABCD 的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠ 1=∠2． （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若 AD⊥CD，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由． 第 4页（共 55页） 12．如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°．得到△ADE，连接 BD，CE 交于点 F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求∠ACE 的度数； （3）求证：四边形 ABFE 是菱形． 13．如图，已知△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D 是 BC 边上的 一点，连接 AD，线段 AD 绕点 A 顺时针旋转α到 AE，过点 E 作 BC 的平行线，交 AB 于点 F，连接 DE，BE，DF． （1）求证：BE=CD； （2）若 AD⊥BC，试判断四边形 BDFE 的形状，并给出证明． 14．如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 AH 及其 延长线上分别取点 E，F，连结 BE，CF． （1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ，并证明． （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说 明理由． 第 5页（共 55页） 15．如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P． （1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC 的度数． 16．在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN∥ BC，过点 B 为一锐角顶点作 Rt△BDE，∠BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与 点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP．（无需写证明过程） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给 予证明；如果不成立，请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你 的结论，无需证明． 17．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD， BC 上，且 DE=CF，连接 OE，OF．求证：OE=OF． 第 6页（共 55页） 18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线交 BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F， 点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AF＞BF）． （1）求证：△ACE≌△AFE； （2）求 tan∠CAE 的值． 19．探究：如图①，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，AE，求证：△ACE≌△CBD． 应用：如图②，在菱形 ABCF 中，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E， 使 BE=AD，连结 CD，EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求∠CGE 的度数． 20．如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC． 21．如图，已知△ABC 中 AB=AC． （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB， 连 AE，作∠EAC 的平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不 第 7页（共 55页） 写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：∠E=∠ACF． 22．（1）如图 1，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D． （2）如图 2，在边长为 1 个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶 点均在格点上． ①sinB 的值是 ； ②画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1（A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1 相对应），连 接 AA1，BB1，并计算梯形 AA1B1B 的面积． 23．在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置，连 DE，BH，两线交于 M．求 证： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 24．如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以点 B，C 为圆心，BC 长为半径画弧， 两弧相交于点 A，连接 AB，AC，AD，点 E 为 AD 上一点，连接 BE，CE． （1）求证：BE=CE； 第 8页（共 55页） （2）以点 E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交 BE，CE 于点 F，G．若 BC=4，∠ EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积． 25．如图，在等边△ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作∠ADN=60°，直线 DN 交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CF∥AB 交直线 DN 于点 F． （1）当点 D 在线段 BC 上，∠NDB 为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD； （提示：过点 F 作 FM∥BC 交射线 AB 于点 M．） （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图②；当点 D 在线段 CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图③，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的 数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，则 BE= ，CD= ． 26．如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：AB=AC． （1）你添加的条件是 ； （2）请写出证明过程． 27．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，在 BC 的同侧作任意 Rt△DBC， 第 9页（共 55页） ∠BDC=90°． （1）若 CD=2BD，M 是 CD 中点（如图 1），求证：△ADB≌△AMC； 下面是小明的证明过程，请你将它补充完整： 证明：设 AB 与 CD 相交于点 O， ∵∠BDC=90°，∠BAC=90°， ∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°． ∵∠DOB=∠AOC， ∴∠DBO=∠① ． ∵M 是 DC 的中点， ∴CM= CD=② ． 又∵AB=AC， ∴△ADB≌△AMC． （2）若 CD＜BD（如图 2），在 BD 上是否存在一点 N，使得△ADN 是以 DN 为斜 边的等腰直角三角形？若存在，请在图 2 中确定点 N 的位置，并加以证明；若 不存在，请说明理由； （3）当 CD≠BD 时，线段 AD，BD 与 CD 满足怎样的数量关系？请直接写出． 28．如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为点 G． 求证：AE=BF． 29．如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G． （1）求证：AE=CF； 第 10页（共 55页） （2）若∠ABE=55°，求∠EGC 的大小． 30．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是 D，AE 平分∠BAD， 交 BC 于点 E．在△ABC 外有一点 F，使 FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME． 求证：①ME⊥BC；②DE=DN． 第 11页（共 55页） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．如图，已知等边△ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF， DE⊥BC 于 E，FG⊥BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP ≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1 中，一定正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出 BE=CG， DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出 PC+BE=PE， 就可以得出 PE=1，从而得出结论． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°． ∵∠ACB=∠GCF， ∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°． 在△DEB 和△FGC 中， ， ∴△DEB≌△FGC（AAS）， ∴BE=CG，DE=FG，故①正确； 在△DEP 和△FGP 中， ， 第 12页（共 55页） ∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确； ∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误； ∵PG=PC+CG， ∴PE=PC+BE． ∵PE+PC+BE=2， ∴PE=1．故④正确． 正确的有①②④， 故选 D． 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用， 解答时证明三角形全等是关键． 二、填空题 2．如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，∠DAE=30°，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q．若 PQ=AE，则 AP 等于 1 或 2 cm． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形． 【专题】分类讨论． 【分析】根据题意画出图形，过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形， 得到 AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长， 进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到 三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ， ∠DAE=∠NPQ=30°，再由 PN 与 DC 平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称性确定出 AP′的长即可． 【解答】解：根据题意画出图形，过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N， 第 13页（共 55页） ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD=DC=PN， 在 Rt△ADE 中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°= ，即 DE= cm， 根据勾股定理得：AE= =2 cm， ∵M 为 AE 的中点， ∴AM= AE= cm， 在 Rt△ADE 和 Rt△PNQ 中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即 PM⊥AF， 在 Rt△AMP 中，∠MAP=30°，cos30°= ， ∴AP= = =2cm； 由对称性得到 AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm． 故答案为：1 或 2． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三 角形的判定与性质是解本题的关键． 第 14页（共 55页） 3．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分 线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G．若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长 是 7 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的 性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据线段中点的定义可得 CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG 和△CFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 DE=CF，EG=FG，设 DE=x，表示出 BF，再 利用勾股定理列式求 EG，然后表示出 EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端 点的距离相等可得 BF=EF，然后列出方程求出 x 的值，从而求出 AD，再根据矩形 的对边相等可得 BC=AD． 【解答】解：∵矩形 ABCD 中，G 是 CD 的中点，AB=8， ∴CG=DG= ×8=4， 在△DEG 和△CFG 中， ， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE=CF，EG=FG， 设 DE=x， 则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x， 在 Rt△DEG 中，EG= = ， ∴EF=2 ， ∵FH 垂直平分 BE， ∴BF=EF， 第 15页（共 55页） ∴4+2x=2 ， 解得 x=3， ∴AD=AE+DE=4+3=7， ∴BC=AD=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上 的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方 程是解题的关键． 4．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CF⊥BE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质． 【专题】计算题；几何图形问题． 【分析】在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG，证明△OBG≌△OCF，则 OG=OF，∠BOG= ∠COF，得出等腰直角三角形 GOF，在 RT△BCE 中，根据射影定理求得 GF 的长， 即可求得 OF 的长． 【解答】解：如图，在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG， ∵RT△BCE 中，CF⊥BE， ∴∠EBC=∠ECF， ∵∠OBC=∠OCD=45°， ∴∠OBG=∠OCF， 在△OBG 与△OCF 中 第 16页（共 55页） ∴△OBG≌△OCF（SAS） ∴OG=OF，∠BOG=∠COF， ∴OG⊥OF， 在 RT△BCE 中，BC=DC=6，DE=2EC， ∴EC=2， ∴BE= = =2 ， ∵BC2=BF•BE， 则 62=BF ，解得：BF= ， ∴EF=BE﹣BF= ， ∵CF2=BF•EF， ∴CF= ， ∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ， 在等腰直角△OGF 中 OF2= GF2， ∴OF= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、 勾股定理的应用． 5．如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= 6 ． 第 17页（共 55页） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据题中条件由 SAS 可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得 AC=DF=6． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF ∵BE=CF， ∴BC=EF， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC=DF=6． 故答案是：6． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角 形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形 全等时，关键是选择恰当的判定条件． 6．已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1 在 y 轴上且坐标是（0，2），点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上，C1 的坐 标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点 A2014 到 x 轴的距离是 ． 第 18页（共 55页） 【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质；相似三 角形的判定与性质． 【专题】规律型． 【分析】根据勾股定理可得正方形 A1B1C1D1 的边长为 = ，根据相似三 角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的 ，依次得到第 2014 个正方形和第 2014 个正方形的边长，进一步得到点 A2014 到 x 轴的距离． 【解答】解：如图，∵点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…， ∴B2E2=1，B3E4= ，B4E6= ，B5E8= …， ∴B2014E4016= ， 作 A1E⊥x 轴，延长 A1D1 交 x 轴于 F， 则△C1D1F∽△C1D1E1， ∴ = ， 在 Rt△OB1C1 中，OB1=2，OC1=1， 正方形 A1B1C1D1 的边长为为 = ， ∴D1F= ， 第 19页（共 55页） ∴A1F= ， ∵A1E∥D1E1， ∴ = ， ∴A1E=3，∴ = ， ∴点 A2014 到 x 轴的距离是 × = 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各 边长是解题关键． 7．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线 上一点，BE=DG，连接 EG，CF⊥EG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH．若 BH=8，则 FG= 5 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角 形的判定与性质． 【专题】几何图形问题；压轴题． 【分析】如解答图，连接 CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE 是等腰直角 三角形；过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，进而证明△HEM≌△ HCN，得到四边形 MBNH 为正方形，由此求出 CH、HN、CN 的长度；最后利用相 似三角形 Rt△HCN∽Rt△GFH，求出 FG 的长度． 【解答】解：如图所示，连接 CG． 在△CGD 与△CEB 中 第 20页（共 55页） ∴△CGD≌△CEB（SAS）， ∴CG=CE，∠GCD=∠ECB， ∴∠GCE=90°，即△GCE 是等腰直角三角形． 又∵CH⊥GE， ∴CH=EH=GH． 过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，则∠MHN=90°， 又∵∠EHC=90°， ∴∠1=∠2， ∴∠HEM=∠HCN． 在△HEM 与△HCN 中， ∴△HEM≌△HCN（ASA）． ∴HM=HN， ∴四边形 MBNH 为正方形． ∵BH=8， ∴BN=HN=4 ， ∴CN=BC﹣BN=6 ﹣4 =2 ． 在 Rt△HCN 中，由勾股定理得：CH=2 ． ∴GH=CH=2 ． ∵HM∥AG， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3． 又∵∠HNC=∠GHF=90°， ∴Rt△HCN∽Rt△GFH． ∴ ，即 ， ∴FG=5 ． 第 21页（共 55页） 故答案为：5 ． 【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直 角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相 似三角形，是解决本题的关键． 8．如图，已知△ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA 的度数为 60° ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠ BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据 AD=AO，可 得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60° 【解答】解：∵△ABC 三个内角的平分线交于点 O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD 和△COB 中， ， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， 第 22页（共 55页） ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角 形全等是解决此题的关键． 9．如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则 BD 的长为 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据 SAS，可得△BAD 与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD′的关系，根据勾股定 理，可得答案． 【解答】解：作 AD′⊥AD，AD′=AD，连接 CD′，DD′，如图： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中， ， ∴△BAD≌△CAD′（SAS）， ∴BD=CD′． 第 23页（共 55页） ∠DAD′=90° 由勾股定理得 DD′= ， ∠D′DA+∠ADC=90° 由勾股定理得 CD′= ， ∴BD=CD′= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质， 勾股定理，作出全等图形是解题关键． 10．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE．设△ ACD、△BCE、△ABC 的面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： ①S1：S2=AC2：BC2； ②连接 AE，BD，则△BCD≌△ECA； ③若 AC⊥BC，则 S1•S2= S32． 其中结论正确的序号是 ①②③ ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断； 第 24页（共 55页） ②根据 SAS 即可求得全等； ③根据面积公式即可判断． 【解答】①S1：S2=AC2：BC2 正确， 解：∵△ADC 与△BCE 是等边三角形， ∴△ADC∽△BCE， ∴S1：S2=AC2：BC2． ②△BCD≌△ECA 正确， 证明：∵△ADC 与△BCE 是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD， 即∠ACE=∠DCB， 在△ACE 与△DCB 中， ， ∴△BCD≌△ECA（SAS）． ③若 AC⊥BC，则 S1•S2= S32 正确， 解：设等边三角形 ADC 的边长=a，等边三角形 BCE 边长=b，则△ADC 的高= a， △BCE 的高= b， ∴S1= a a= a2，S2= b b= b2， ∴S1•S2= a2 b2= a2b2， ∵S3= ab， ∴S32= a2b2， ∴S1•S2= S32． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似 三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键． 三、解答题 第 25页（共 55页） 11．如图，已知点 E、F 在四边形 ABCD 的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠ 1=∠2． （1）求证：△AED≌△CFB； （2）若 AD⊥CD，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F，再利用“角角边”证明 △AED 和△CFB 全等即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得 AD=BC，∠DAE=∠BCF，再求出∠DAC=∠ BCA，然后根据内错角相等，两直线平行可得 AD∥BC，再根据一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形证明四边形 ABCD 是平行四边形，再根据有一个角是 直角的平行四边形是矩形解答． 【解答】（1）证明：∵DE∥BF， ∴∠E=∠F， 在△AED 和△CFB 中， ， ∴△AED≌△CFB（AAS）； （2）解：四边形 ABCD 是矩形． 理由如下：∵△AED≌△CFB， ∴AD=BC，∠DAE=∠BCF， ∴∠DAC=∠BCA， ∴AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵AD⊥CD， 第 26页（共 55页） ∴四边形 ABCD 是矩形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定 以及平行四边形与矩形的联系，熟记各图形的判定方法和性质是解题的关键． 12．如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°．得到△ADE，连接 BD，CE 交于点 F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求∠ACE 的度数； （3）求证：四边形 ABFE 是菱形． 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ ACE 全等． （2）根据全等三角形对应角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得． （3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形 ABFE 是平行四边形， 然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得． 【解答】（1）证明：∵△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°， ∴∠BAC=∠DAE=40°， ∴∠BAD=∠CAE=100°， 又∵AB=AC， ∴AB=AC=AD=AE， 在△ABD 与△ACE 中 第 27页（共 55页） ∴△ABD≌△ACE（SAS）． （2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE， ∴∠ACE= （180°﹣∠CAE）= （180°﹣100°）=40°； （3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE， ∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°． ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°， ∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°， ∴∠BAE=∠BFE， ∴四边形 ABFE 是平行四边形， ∵AB=AE， ∴平行四边形 ABFE 是菱形． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质 以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 13．如图，已知△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D 是 BC 边上的 一点，连接 AD，线段 AD 绕点 A 顺时针旋转α到 AE，过点 E 作 BC 的平行线，交 AB 于点 F，连接 DE，BE，DF． （1）求证：BE=CD； （2）若 AD⊥BC，试判断四边形 BDFE 的形状，并给出证明． 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据旋转可得∠BAE=∠CAD，从而 SAS 证明△ACD≌△ABE，得出 第 28页（共 55页） 答案 BE=CD； （2）由 AD⊥BC，SAS 可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出 BE=BD=CD，∠EBF=∠ DBF，再由 EF∥BC，∠DBF=∠EFB，从而得出∠EBF=∠EFB，则 EB=EF，证明得出 四边形 BDFE 为菱形． 【解答】证明：（1）∵△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段 AD 绕点 A 顺时针旋转α到 AE， ∴AB=AC， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ACD 和△ABE 中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴BE=CD； （2）∵AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴∠BAE=∠BAD， 在△ABD 和△ABE 中， ， ∴△ABD≌△ABE（SAS）， ∴∠EBF=∠DBF， ∵EF∥BC， ∴∠DBF=∠EFB， ∴∠EBF=∠EFB， ∴EB=EF， ∴BD=BE=EF=FD， ∴四边形 BDFE 为菱形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及菱形的判定、旋转的性质． 第 29页（共 55页） 14．如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 AH 及其 延长线上分别取点 E，F，连结 BE，CF． （1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 EH=FH ，并 证明． （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说 明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 【专题】几何综合题；分类讨论． 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当 EH=FH，BE∥CF，∠EBH= ∠FCH 时，都可以证明△BEH≌△CFH， （2）由（1）可得出四边形 BFCE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边 形为矩形可得出 BH=EH 时，四边形 BFCE 是矩形． 【解答】（1）答：添加：EH=FH， 证明：∵点 H 是 BC 的中点， ∴BH=CH， 在△BEH 和△CFH 中， ， ∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）， ∵当 BH=EH 时，则 BC=EF， ∴平行四边形 BFCE 为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题， 难度不大． 第 30页（共 55页） 15．如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P． （1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC 的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）欲证明 CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠ PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定 理求得∠BPC=120°． 【解答】（1）证明：如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， ∴在△BCE 与△ABF 中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE=BF； （2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠BPC=180°﹣60°=120°． 即：∠BPC=120°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形 的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全 等时，关键是选择恰当的判定条件． 第 31页（共 55页） 16．在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN∥ BC，过点 B 为一锐角顶点作 Rt△BDE，∠BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与 点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP．（无需写证明过程） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给 予证明；如果不成立，请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你 的结论，无需证明． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）如答图 2，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明 BD=DP； （2）如答图 3，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明 BD=DP． 【解答】题干引论： 证明：如答图 1，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 于点 F， 则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 第 32页（共 55页） 在△BDF 与△PDA 中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． （1）答：BD=DP 成立． 证明：如答图 2，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 的延长线于点 F， 则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 在△BDF 与△PDA 中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． （2）答：BD=DP． 证明：如答图 3，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 的延长线于点 F， 则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF． 第 33页（共 55页） 在△BDF 与△PDA 中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线 的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD， BC 上，且 DE=CF，连接 OE，OF．求证：OE=OF． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 【专题】证明题． 【分析】欲证明 OE=OF，只需证得△ODE≌△OCF 即可． 【解答】证明：如图，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， AC=BD，OD= BD，OC= AC， ∴OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， 第 34页（共 55页） ∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD， 即∠EDO=∠FCO， 在△ODE 与△OCF 中， ， ∴△ODE≌△OCF（SAS）， ∴OE=OF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质．全等三角形的判定 是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时， 关键是选择恰当的判定条件． 18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线交 BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F， 点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AF＞BF）． （1）求证：△ACE≌△AFE； （2）求 tan∠CAE 的值． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数 的定义． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定 定理求得三角形全等． （2）由△ACE≌△AFE，得出 AC=AF，CE=EF，设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m， 根据勾股定理可求得，tan∠B= = ，CE=EF= ，在 RT△ACE 中，tan∠ 第 35页（共 55页） CAE= = = ； 【解答】（1）证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE=EF， 在 Rt△ACE 与 Rt△AFE 中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）； （2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE， ∴AC=AF，CE=EF， 设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m， ∴BC= = = m， 解法一：∵∠C=∠EFB=90°， ∴△EFB∽△ACB， ∴ = ， ∵CE=EF， ∴ = = ； 解法二：∴在 RT△ABC 中，tan∠B= = = ， 在 RT△EFB 中，EF=BF•tan∠B= ， ∴CE=EF= ， 在 RT△ACE 中，tan∠CAE= = = ； ∴tan∠CAE= ． 【点评】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根 据已知条件表示出线段的值是解本题的关键． 19．探究：如图①，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，AE，求证：△ACE≌△CBD． 第 36页（共 55页） 应用：如图②，在菱形 ABCF 中，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E， 使 BE=AD，连结 CD，EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求∠CGE 的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】探究：先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=AC， ∠ACB=∠ABC，再求出 CE=BD，然后利用“边角边”证明即可； 应用：连接 AC，易知△ABC 是等边三角形，由探究可知△ACE 和△CBD 全等，根 据全等三角形对应角相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC 即可． 【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=∠ABC， ∵BE=AD， ∴BE+BC=AD+AB， 即 CE=BD， 在△ACE 和△CBD 中， ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）； 应用：如图，连接 AC，易知△ABC 是等边三角形， 由探究可知△ACE≌△CBD， ∴∠E=∠D， ∵∠BAE=∠DAG， ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG， 第 37页（共 55页） ∴∠CGE=∠ABC， ∵∠ABC=60°， ∴∠CGE=60°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形 的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造 出探究的条件是解题的关键． 20．如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 BC=CD，对角线平分一组对角可得∠ BCP=∠DCP，再利用“边角边”证明△BCP 和△DCP 全等，根据全等三角形对应角 相等可得∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC，从而得证． 【解答】证明：在正方形 ABCD 中，BC=CD，∠BCP=∠DCP， 在△BCP 和△DCP 中， ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）， ∴∠PDC=∠PBC， ∵PB=PE， 第 38页（共 55页） ∴∠PBC=∠PEC， ∴∠PDC=∠PEC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性 质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键． 21．如图，已知△ABC 中 AB=AC． （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB， 连 AE，作∠EAC 的平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：∠E=∠ACF． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图． 【专题】作图题；证明题． 【分析】（1）以 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，与 BD 的延长线的交点即为点 E，再以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与 AC、AE 相交，然后以这两 点为圆心，以大于它们 长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点 A 与这一点作 出射线与 BE 的交点即为所求的点 F； （2）求出 AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明 △AEF 和△ACF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF． 【解答】（1）解：如图所示； （2）证明：∵AB=AC，AE=AB， ∴AE=AC， ∵AF 是∠EAC 的平分线， ∴∠EAF=∠CAF， 在△AEF 和△ACF 中， 第 39页（共 55页） ， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴∠E=∠ACF． 【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段 等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键． 22．（1）如图 1，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D． （2）如图 2，在边长为 1 个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶 点均在格点上． ①sinB 的值是 ； ②画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1（A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1 相对应），连 接 AA1，BB1，并计算梯形 AA1B1B 的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；作图-轴对称变换；锐角三角函数的定义． 【专题】网格型． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （2）根据正弦函数的定义，可得答案；根据轴对称性质，可作轴对称图形，根 据梯形的面积公式，可得答案． 第 40页（共 55页） 【解答】（1）证明：BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF． 即 BF=CE． 在△ABF 和△DCE 中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． ∴∠A=∠D； （2）解：①∵AC=3，BC=4， ∴AB=5． sinB= ； ②如图所示： 由轴对称性质得 AA1=2，BB1=8，高是 4， ∴ = =20． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形 的判定与性质． 23．在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置，连 DE，BH，两线交于 M．求 证： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 第 41页（共 55页） 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据正方形的性质可得 BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后 求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH 和△DCE 全等，根据全等三角形 对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和 定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可． 【解答】证明：（1）在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中， BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°， ∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH， 即∠BCH=∠DCE， 在△BCH 和△DCE 中， ， ∴△BCH≌△DCE（SAS）， ∴BH=DE； （2）∵△BCH≌△DCE， ∴∠CBH=∠CDE， 又∵∠CGB=∠MGD， ∴∠DMB=∠BCD=90°， ∴BH⊥DE． 第 42页（共 55页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定 出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 24．如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以点 B，C 为圆心，BC 长为半径画弧， 两弧相交于点 A，连接 AB，AC，AD，点 E 为 AD 上一点，连接 BE，CE． （1）求证：BE=CE； （2）以点 E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交 BE，CE 于点 F，G．若 BC=4，∠ EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）由点 D 是线段 BC 的中点得到 BD=CD，再由 AB=AC=BC 可判断△ABC 为等边三角形，于是得到 AD 为 BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质 得 BE=CE； （2）由 EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角 和定理计算得∠BEC=120°，在 Rt△BDE 中，BD= BC=2，∠EBD=30°，根据含 30° 的直角三角形三边的关系得到 ED= BD= ，然后根据扇形的面积公式求解． 【解答】（1）证明：∵点 D 是线段 BC 的中点， ∴BD=CD， ∵AB=AC=BC， ∴△ABC 为等边三角形， 第 43页（共 55页） ∴AD 为 BC 的垂直平分线， ∴BE=CE； （2）解：∵EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB=30°， ∴∠BEC=120°， 在 Rt△BDE 中，BD= BC=2，∠EBD=30°， ∴ED=BD•tan30°= BD= ， ∴阴影部分（扇形）的面积= = π． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三 角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、 相等垂直平分线的性质以及扇形的面积公式． 25．如图，在等边△ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作∠ADN=60°，直线 DN 交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CF∥AB 交直线 DN 于点 F． （1）当点 D 在线段 BC 上，∠NDB 为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD； （提示：过点 F 作 FM∥BC 交射线 AB 于点 M．） （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图②；当点 D 在线段 CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图③，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的 第 44页（共 55页） 数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，则 BE= 8 ，CD= 4 或 8 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角 形；平行四边形的判定与性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）通过△MEF≌△CDA 即可求得 ME=CD，因为通过证四边形 BCFM 是 平行四边形可以得出 BM=CF，从而证得 CF+BE=CD； （2）作 FM∥BC，得出四边形 BCFM 是平行四边形，然后通过证得△MEF≌△CDA 即可求得， （3）根据△ABC 的面积可求得 AB=BC=AC=4，所以 BD=2AB=8，所以 BE=8，图② CD=4 图③CD=8， 【解答】（1）证明：如图①，过点 F 作 FM∥BC 交射线 AB 于点 M， ∵CF∥AB， ∴四边形 BMFC 是平行四边形， ∴BC=MF，CF=BM， ∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC， ∴∠EMF=∠ACB，AC=MF， ∵∠ADN=60°， ∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°， ∴∠BDE=∠DAC， ∴∠MFE=∠DAC， 第 45页（共 55页） 在△MEF 与△CDA 中， ， ∴△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD=ME=EB+BM， ∴CD=BE+CF． （2）如图②，CF+CD=BE，如图③，CF﹣CD=BE； （3）∵△ABC 是等边三角形，S△ABC=4 ， ∴易得 AB=BC=AC=4， 如图②， ∵∠ADC=30°，∠ACB=60°， ∴CD=AC=4， ∵∠ADN=60°， ∴∠CDF=30°， 又∵CF∥AB， ∴∠BCF=∠ABC=60°， ∴∠CFD=∠CDF=30°， ∴CD=CF， 由（2）知 BE=CF+CD， ∴BE=4+4=8． 如图③， ∵∠ADC=30°，∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠ADC=30°， ∴BD=BA=4， ∴CD=BD+BC=4+4=8， ∵∠ADN=60°，∠ADC=30°， ∴∠BDE=90°， 又∵∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=30°， 第 46页（共 55页） 在 Rt△BDE 中，∠DEB=30°，BD=4， ∴BE=2BD=8， 综上，BE=8，CD=4 或 8． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等 的判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半等． 26．如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：AB=AC． （1）你添加的条件是 ∠B=∠C ； （2）请写出证明过程． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如∠B=∠C 或∠ADB=∠ ADC 等； （2）根据全等三角形的判定定理 AAS 推出△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的 第 47页（共 55页） 性质得出即可． 【解答】解：（1）添加的条件是∠B=∠C， 故答案为：∠B=∠C； （2）证明：在△ABD 和△ACD 中 ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， ∴AB=AC． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定 定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 27．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，在 BC 的同侧作任意 Rt△DBC， ∠BDC=90°． （1）若 CD=2BD，M 是 CD 中点（如图 1），求证：△ADB≌△AMC； 下面是小明的证明过程，请你将它补充完整： 证明：设 AB 与 CD 相交于点 O， ∵∠BDC=90°，∠BAC=90°， ∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°． ∵∠DOB=∠AOC， ∴∠DBO=∠① ∠MCA ． ∵M 是 DC 的中点， ∴CM= CD=② BD ． 又∵AB=AC， ∴△ADB≌△AMC． 第 48页（共 55页） （2）若 CD＜BD（如图 2），在 BD 上是否存在一点 N，使得△ADN 是以 DN 为斜 边的等腰直角三角形？若存在，请在图 2 中确定点 N 的位置，并加以证明；若 不存在，请说明理由； （3）当 CD≠BD 时，线段 AD，BD 与 CD 满足怎样的数量关系？请直接写出． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质和中点的性质就可以的得出结论； （2）存在．在 BD 上截取 BN=CD，由条件可以得出，△ACD≌△ABN，就有 AN=AD， ∠DAC=∠NAB，得出∠NAD=90°而得出结论； （3）当 BD＞CD 时，如图 3，在 BD 上截取 BN=CD，由条件可以得出，△ACD≌ △ABN，就有 AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出△AND 是等腰直角三角形，就可以得 出 ND= AD，就可以得出 BD﹣CD= ．当 BD＜CD 事实，如图 4，在 CD 上取 一点 N，使 CN=BD，由条件可以得出，△ACN≌△ABD，就有 AN=AD，∠DAB=∠ NAC，得出△AND 是等腰直角三角形，就可以得出 ND= AD，就可以得出 CD﹣ BD= ． 【解答】解：（1）由题意，得 ①根据直角三角形的性质就可以得出∴∠DBO=∠MCA（或∠ACO）； ②由等式的性质就可以得出 CM=BD； 故答案为：∠MCA，BD； （2）存在 理由：如图 3，在 BD 上截取 BN=CD， ∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD， ∴∠ABN=∠ACD． 在△ACD 和△ABN 中， ， ∴△ACD≌△ABN（SAS）， ∴AN=AD，∠DAC=∠NAB． ∵∠NAB+∠NAC=90°， ∴∠DAC+∠NAC=90°， 第 49页（共 55页） 即∠NAD=90°， ∴△NAD 为等腰直角三角形； （3）①当 CD＜BD 时， AD=BD﹣CD． 理由：如图 3，在 BD 上截取 BN=CD， ∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD， ∴∠ABN=∠ACD． 在△ACD 和△ABN 中， ， ∴△ACD≌△ABN（SAS）， ∴AN=AD，∠DAC=∠NAB． ∵∠NAB+∠NAC=90°， ∴∠DAC+∠NAC=90°， 即∠NAD=90°， ∴△NAD 为等腰直角三角形； ∴ND= AD． ∵ND=BD﹣BN， ∴ND=BD﹣CD， ∴ AD=BD﹣CD ②当 CD＞BD 时， AD=CD﹣BD； 理由：如图 4，在 CD 上取一点 N，使 CN=BD， ∵∠BAC=∠BDC=90°，∠DOB=∠COA， ∴∠ABD=∠ACD． 在△ACN 和△ABD 中， ， ∴△ACN≌△ABD（SAS）， ∴AN=AD，∠DAB=∠NAC． ∵∠NAB+∠NAC=90°， 第 50页（共 55页） ∴∠DAB+∠NAC=90°， 即∠NAD=90°， ∴△NAD 为等腰直角三角形， ∴DN= AD． ∵DN=CD﹣CN， ∴DN=CD﹣BD， ∴ AD=CD﹣BD． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与 性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全 等是关键． 28．如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为点 G． 求证：AE=BF． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 第 51页（共 55页） 【专题】证明题． 【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC 与∠C 的关系，AB 与 BC 的关系，根据 两直线垂直，可得∠AGB 的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG 与∠ BAG 的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG 与∠CBF 的关系，根据 ASA，可 得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案． 【解答】证明：∵正方形 ABCD， ∴∠ABC=∠C，AB=BC． ∵AE⊥BF， ∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°， ∵∠ABG+∠CBF=90°， ∴∠BAG=∠CBF． 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角 形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质． 29．如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G． （1）求证：AE=CF； （2）若∠ABE=55°，求∠EGC 的大小． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质． 第 52页（共 55页） 【专题】几何综合题． 【分析】（1）利用△AEB≌△CFB 来求证 AE=CF． （2）利用角的关系求出∠BEF 和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF 求得结果． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， ∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°， ∴∠ABE=∠CBF， 在△AEB 和△CFB 中， ∴△AEB≌△CFB（SAS）， ∴AE=CF． （2）解：∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， 又∵BE=BF， ∴∠BEF=∠EFB=45°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°， 又∵∠ABE=55°， ∴∠EBG=90°﹣55°=35°， ∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°． 第 53页（共 55页） 【点评】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的 关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段． 30．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是 D，AE 平分∠BAD， 交 BC 于点 E．在△ABC 外有一点 F，使 FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME． 求证：①ME⊥BC；②DE=DN． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题；几何综合题． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°， 从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角” 证明△ABE 和△ACF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）①过点 E 作 EH⊥AB 于 H，求出△BEH 是等腰直角三角形，然后求出 HE=BH， 再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=HE，然后求出 HE=HM，从 而得到△HEM 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可； ②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得 AC=CE，再利用“HL”证明 Rt△ ACM 和 Rt△ECM 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°， 从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得 AD=CD，再利用“角边 角”证明△ADE 和△CDN 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵FC⊥BC， ∴∠BCF=90°， ∴∠ACF=90°﹣45°=45°， 第 54页（共 55页） ∴∠B=∠ACF， ∵∠BAC=90°，FA⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE=90°， ∠CAF+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△ABE 和△ACF 中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF； （2）①如图，过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△BEH 是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE 平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM 是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC； ②由题意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°， ∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠CAE=∠CEA=67.5°， ∴AC=CE， 在 Rt△ACM 和 Rt△ECM 中 ， ， ∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL）， 第 55页（共 55页） ∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°， 又∵∠DAE= ×45°=22.5°， ∴∠DAE=∠ECM， ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC， ∴AD=CD= BC， 在△ADE 和△CDN 中， ， ∴△ADE≌△CDN（ASA）， ∴DE=DN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质， 角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直 角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等 的角．