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- 2021-10-26 发布
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14.2
乘法公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1
平方差公式
学习目标
1.
经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征
.
（重点）
2.
灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题
.
（难点）
导入新课
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
（
x
＋
3)(
x
＋
5
）
=
x
2
＋
5
x
＋
3
x
＋
15
=
x
2
＋
8
x
＋
15.
(
a+b
)(
m+n
)
=am
+an
+bm
+bn
讲授新课
平方差公式
一
探究发现
面积变了吗？
a
米
5
米
5
米
a
米
(
a
-5)
相等吗？
①
（
x
＋
1)(
x
－
1
）；
②（
m
＋
2)(
m
－
2
）；
③（
2
m
＋
1)(2
m
－
1
）；
④（
5
y
＋
z
)(5
y
－
z
）
.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
算一算：
看谁算得又快又准
.
②
（
m
＋
2)(
m
－
2
）
=
m
2
－
2
2
③
（
2
m
＋
1)( 2
m
－
1)=4
m
2
－
1
2
④
（
5
y
＋
z
)(5
y
－
z
)= 25
y
2
－
z
2
①
（
x
＋
1)(
x
－
1
）
=
x
2
－
1
，
想一想：
这些计算结果有什么特点？
x
2
－
1
2
m
2
－
2
2
(2
m
)
2
－
1
2
(5
y
)
2
－
z
2
(
a
+
b
)(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
两数
和
与这两数
差
的积
,
等于
这两数的
平方差
.
公式变形
:
1.
（
a – b
) (
a + b
) =
a
2
-
b
2
2.
（
b + a
)( -
b + a
) =
a
2
-
b
2
知识要点
平方差公式
平方差公式
注：
这里的两数可以是两个
单项式
也可以是两个
多项式
等
．
(
a+b
)(
a-b
)=(
a
)
2
-(
b
)
2
相同为
a
相反为
b
，
-
b
适当交换
合理加括号
(1+
x
)(1-
x
)
(-3+
a
)(-3-
a
)
(0.3
x
-1)(1+0.3
x
)
(1+
a
)(-1+
a
)
填一填：
a
b
a
2
-
b
2
1
x
-3
a
1
2
-
x
2
(-3)
2
-
a
2
a
1
a
2
-1
2
0.3
x
1
( 0.3
x
)
2
-1
2
(
a-b
)(
a+b
)
练一练：
口答下列各题：
(l)(-
a
+
b
)(
a
+
b
)=_________.
(2)(
a
-
b
)(
b
+
a
)= __________.
(3)(-
a
-
b
)(-
a
+
b
)= ________.
(4)(
a
-
b
)(-
a
-
b
)= _________.
a
2
-
b
2
a
2
-
b
2
b
2
-
a
2
b
2
-
a
2
典例精析
例
1
计算
：
(1) (3
x
＋
2 )( 3
x
－
2 )
；
(2)
（
-
x
+2
y
)(-
x
-2
y
).
(2)
原式
＝
(-
x
)
2
- (2
y
)
2
＝
x
2
- 4
y
2
.
解：（
1
）
原式
=
(
3
x
)
2
－
2
2
=9
x
2
－
4
；
方法总结：
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的
a
和
b
可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
利用平方差公式计算：
(1)(3
x
－
5)(3
x
＋
5)
；
(2)(
－
2
a
－
b
)(
b
－
2
a
)
；
(3)(
－
7
m
＋
8
n
)(
－
8
n
－
7
m
)
．
针对训练
解：
(1)
原式
=
(3
x
)
2
－
5
2
＝
9
x
2
－
25
；
(2)
原式
=
(
－
2
a
)
2
－
b
2
＝
4
a
2
－
b
2
；
(3)
原式
=
(
－
7
m
)
2
－
(8
n
)
2
＝
49
m
2
－
64
n
2
；
例
2
计算
:
(1)
102
×98
;
(2)
(
y
+2) (
y
-2) – (
y
-1) (
y
+5) .
解
:
(1)
102
×98
（
2
）
(
y
+2)(
y
-2)- (
y
-1)(
y
+5)
= 100
2
-2
2
=10000 – 4
=
（
100
＋
2
）
(100
－
2)
=9996
；
=
y
2
-2
2
-(
y
2
+4
y
-5)
=
y
2
-4-
y
2
-4
y
+5
= - 4
y
+ 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算
.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算
.
针对训练
计算
:
(1) 51
×49
; (2)
(
3
x
+4
)(
3
x
-4)
-(2
x
+3)(3
x
-2)
.
解
:
(1)
原式
=
（
50
＋
1
）
(50
－
1)
= 50
2
-1
2
=2500 – 1
=2499
；
(2)
原式
=(
3
x
)
2
-4
2
-(6
x
2
+5
x
-6)
= 9
x
2
-16-6
x
2
-5
x
+6
= 3
x
2
-5
x
-10.
例
3
先化简，再求值：
(2
x
－
y
)(
y
＋
2
x
)
－
(2
y
＋
x
)(2
y
－
x
)
，其中
x
＝
1
，
y
＝
2.
原式＝
5×1
2
－
5×2
2
＝－
15.
解：原式＝
4
x
2
－
y
2
－
(4
y
2
－
x
2
)
＝
4
x
2
－
y
2
－
4
y
2
＋
x
2
＝
5
x
2
－
5
y
2
.
当
x
＝
1
，
y
＝
2
时，
例
4
对于任意的正整数
n
，整式
(3
n
＋
1)(3
n
－
1)
－
(3
－
n
)(3
＋
n
)
的值一定是
10
的整数倍吗？
即
(3
n
＋
1)(3
n
－
1)
－
(3
－
n
)(3
＋
n
)
的值是
10
的倍数．
解：原式＝
9
n
2
－
1
－
(9
－
n
2
)
＝
10
n
2
－
10.
∵(
10
n
2
－
10)
÷
10=
n
2
-1.
n
为正整数，
∴
n
2
-1
为整数
方法总结：
对于平方差中的
a
和
b
可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例
5
王大伯家把一块边长为
a
米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少
4
米，另外一边增加
4
米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
∵
a
2
＞
a
2
－
16
，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为
a
2
，
改变边长后面积为
(
a
＋
4)(
a
－
4)
＝
a
2
－
16
，
∴
李大妈吃亏了．
方法总结：
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
1.
下列运算中，可用平方差公式计算的是
(
)
A
．
(
x
＋
y
)(
x
＋
y
) B
．
(
－
x
＋
y
)(
x
－
y
)
C
．
(
－
x
－
y
)(
y
－
x
) D
．
(
x
＋
y
)(
－
x
－
y
)
当堂练习
C
2.
计算（2
x
+1）（2
x
-1）等于（ ）
A．4
x
2
-1 B．2
x
2
-1 C．4
x
-1 D．4
x
2
+1
A
3.
两个正方形的边长之和为
5
，边长之差为
2
，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是
________
．
10
（
1
）
(
a+
3
b
)(
a
-
3
b
)
；
=4
a
2
－
9
；
=4
x
4
－
y
2
.
原式
=(2
a+
3)(2
a-
3)
=a
2
－
9
b
2
；
=(2
a
)
2
－
3
2
原式
=(
-
2
x
2
)
2
－
y
2
原式
=(
a
)
2
－
(3
b
)
2
（
2
）
(3
+
2
a
)(
－
3
+
2
a
)
；
（
3
）
(
－
2
x
2
－
y
)(
－
2
x
2
+y
).
4.
利用平方差公式计算：
5.
计算：
2015
2
－
2014
×2016
.
解：
2015
2
－
2014
×2016
= 2015
2
－
(2015
－
1)(
2015+1)
=
2015
2
－
（
2015
2
－
1
2
)
=
2015
2
－
2015
2
+
1
2
=1
6.
利用平方差公式计算
:
（
1
）（
a
-2)(
a
+2)(
a
2
+
4)
解
:
原式
=
(
a
2
-4
)(a
2
+4)
=
a
4
-16.
(2) (
x
-
y
)(
x
+
y
)(
x
2
+
y
2
)(
x
4
+
y
4
).
解：原式
=
（
x
2
-
y
2
)(
x
2
+
y
2
)(
x
4
+
y
4
)
=
（
x
4
-
y
4
)(
x
4
+
y
4
)
=
x
8
-
y
8
.
7.
先化简，再求值：
(
x
＋
1)(
x
－
1)
＋
x
2
(1
－
x
)
＋
x
3
，其中
x
＝
2.
解：原式
=
x
2
－
1
＋
x
2
－
x
3
＋
x
3
=2
x
2
－
1.
将
x
＝
2
代入上式，
原式
=2
×
2
2
-1=7.
8.
已知
x
≠1
，计算：
(1
＋
x
)(1
－
x
)
＝
1
－
x
2
，
(1
－
x
)(1
＋
x
＋
x
2
)
＝
1
－
x
3
，
(1
－
x
)(1
＋
x
＋
x
2
＋
x
3
)
＝
(1)
观察以上各式并猜想：
(1
－
x
)(1
＋
x
＋
x
2
＋
…
＋
x
n
)
＝
________
；
(n
为正整数
)
(2)
根据你的猜想计算：
①(1
－
2)(1
＋
2
＋
2
2
＋
2
3
＋
2
4
＋
2
5
)
＝
________
；
②2
＋
2
2
＋
2
3
＋
…
＋
2
n
＝
________(n
为正整数
)
；
③(
x
－
1)(
x
99
＋
x
98
＋
x
97
＋
…
＋
x
2
＋
x
＋
1)
＝
________
；
拓展提升
1
－
x
n+
1
-63
2
n
＋
1
－
2
x
100
－1
(3)
通过以上规律请你进行下面的探索：
①(
a
－
b
)(
a
＋
b
)
＝
________
；
②(
a
－
b
)(
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
＝
________
；
③(
a
－
b
)(
a
3
＋
a
2
b
＋
ab
2
＋
b
3
)
＝
________
．
a
2
－
b
2
a
3
－
b
3
a
4
－
b
4
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.
符号表示
：（
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
2.
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
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