八年级数学下册第1章直角三角形1-2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时课件（湘教版） 24页

1.2 直角三角形的性质和判定 (Ⅱ) 第 2 课时 1. 能 利用勾股定理解决实际问题 . 2. 理解立体图形中两点距离最短问题 . 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． a b c A B C 如果在 Rt△ ABC 中，∠ C =90°, 那么 c 2 = a 2 + b 2 a b c A B C （ 1 ）求出下列直角三角形中未知的边． 6 10 A C B 8 A 15 C B 练 习 30° 2 2 45° 回答： ① 在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ② 直角三角形哪条边最长？ （ 2 ）在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m ，长 BC 为 2m ，求 AC 长． 1 m 2 m A C B D 【 解析 】 在 Rt△ ABC 中，∠ B =90°, 由勾股定理可知： 一个门框尺寸如图所示． ① 若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？ ② 若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？ ③ 若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？ A B C 1 m 2 m ∵ 木板的宽 2.2 米大于 1 米， ∴ 横着不能从门框通过； ∵木板的宽 2.2 米大于 2 米， ∴竖着也不能从门框通过． ∴ 只能试试斜着能否通过，对角线 AC 的长最大，因此需要求出 AC 的长，怎样求呢？ 【 例 1】 有一个边长为 50 dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数） 50 dm A B C D 解：∵在 Rt△ ABC 中，∠ B =90°, AB = BC =50 dm, ∴ 由勾股定理可知 【 例题 】 ∴ 圆的直径至少为 71dm. 活 动 如图，池塘边有两点 A ， B ，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上的一点，测得 CB = 60 m ， AC = 20 m ，你能求出 A ， B 两点间的距离吗？ （结果保留整数） 【 例 2】 一个 2.5m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时 AC 为 2.4m ．如果梯子顶端 A 沿墙下滑 0.4m ，那么梯子底端 B 也 外移 0.4m 吗？ D E 解：在 Rt△ABC 中， ∵∠ ACB=90° ， ∴ AC 2 + BC 2 ＝ AB 2 ， 2.4 2 + BC 2 ＝ 2.5 2 ， ∴BC ＝ 0.7m. 由题意得： DE ＝ AB ＝ 2.5m ， DC ＝ AC － AD ＝ 2.4 － 0.4 ＝ 2m. 在 Rt△DCE 中， ∵∠DCE=90° ， ∴ DC 2 + CE 2 ＝ DE 2 ， 2 2 + CE 2 ＝ 2.5 2 ， ∴CE ＝ 1.5m, ∴BE ＝ 1.5 － 0.7 ＝ 0.8m≠0.4m. 答；梯子底端 B 不是外移 0.4m. 练习 : 如图，一个 3 米长的梯子 AB ，斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.5 米． ① 求梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？ ② 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米至 C ，请同学们 : 猜一猜，底端也将滑动 0.5 米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值是多少 ? （结果保留两位小数） 【 例 3】 如图，铁路上 A ， B 两点相距 25km ， C ， D 为两庄， DA⊥AB 于 A ， CB⊥AB 于 B ，已知 DA=15km,CB=10km ，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ，使得 C ， D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？ C A E B D 解：设 AE= x km ， 根据勾股定理，得 AD 2 +AE 2 =DE 2 ， BC 2 +BE 2 =CE 2 . 又 ∵ DE=CE ， ∴ AD 2 +AE 2 = BC 2 +BE 2 ， 即 15 2 +x 2 =10 2 + （ 25-x) 2 ， 答： E 站应建在离 A 站 10km 处 . ∴ X=10. 则 BE= （ 25-x ） km. 15 10 【 例 4】 在我国古代数学著作 《 九章算术 》 中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形 , 在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 解 : 设水池的深度 AC 为 X 尺 , 则芦苇高 AD 为 (X+1) 尺 . 根据题意得 : BC 2 +AC 2 =AB 2 ， ∴5 2 +X 2 =(X+1) 2 ， 25+X 2 =X 2 +2X+1 ， X=12 ， ∴X+1=12+1=13( 尺 ). 答 : 水池的深度为 12 尺 , 芦苇高为 13 尺 . 【 例 5】 矩形 ABCD 如图折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB=8 ， BC=10 ，求折痕 AE 的长 . A B C D F E 解 : 设 DE 为 X, X (8- X) 则 CE 为 (8 － X). 由题意可知 :EF=DE=X, X AF=AD=10. 10 10 8 ∵∠B=90° ， ∴ AB 2 + BF 2 ＝ AF 2 ， 8 2 + BF 2 ＝ 10 2 ， ∴BF ＝ 6 ， ∴CF ＝ BC － BF ＝ 10 － 6 ＝ 4. 6 4 ∵∠C=90° ， ∴ CE 2 +CF 2 ＝ EF 2 (8 － X) 2 +4 2 =X 2 64 － 16X+X 2 +16=X 2 80 － 16X=0 16X=80 X=5 【 例 6】 如图，棱长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出 发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是（ 　） . （ A ） 3 （ B ) （ C ） 2 （ D ） 1 A B A B C 2 1 分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图） . B 活 动 如图，分别以 Rt △ ABC 三边为边向外 作三个正方形，其面积分别用 S 1 、 S 2 、 S 3 表示，容易得出 S 1 、 S 2 、 S 3 之间有的 关系式 ． 变式：你还能求出 S 1 、 S 2 、 S 3 之间的关系式吗？ S 1 S 2 S 3 2. 一架 5 米长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距 离墙的底端 3 米，若梯子顶端下滑了 1 米 , 则梯子底端将外移 _____. 3. 如图，要在高 3m, 斜坡 5m 的楼梯表面铺 地毯，地毯的长度至少需 ________ 米 A B C 1 米 7 B 1. 把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的 3 倍，则其斜 边（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的 3 倍 C. 扩大到原来的 9 倍 D. 减小到原来的 1/3 4 ．在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树 20 米处的池塘的 A 处 . 另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高 ___________ 米 . 15 5 ．在 Rt△ ABC 中 , ∠ C =90 ° , ∠A ，∠ B ， ∠ C 的对边分别为 a,b,c. 已知 : a =5, b =12, 求 c . 已知 : b =6, c =10 , 求 a . 已知 : a =7, c =25, 求 b . 已知 : a =7, c =8, 求 b . 6 ．一直角三角形的一直角边长为 7, 另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长． c=12. a=8. b=24. b= 答：周长为 56 7 ．如图，受台风影响，一棵树在离地面 4 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部 3 米处，这棵树折断前有多 高？ 4 米 3 米 答：这棵树折断前有 9 米高 . 8. 小东拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高 1 米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 解 : 设竹竿长 X 米 , 则城门高为 (X － 1) 米 . 根据题意得 : 3 2 + (X － 1) 2 =X 2 ， 9+X 2 － 2X+1=X 2 ， 10 － 2X=0 ， 2X=10 ， X=5 ， 答 : 竹竿长 5 米 . 本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用 , 关键是将实际问题转化为数学问题 , 再用勾股定理等知识来解答 . 将来的你，一定会感谢现在拼命的你