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- 2021-10-26 发布
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第六章 数据的分析
6.4 数据的离散程度
学习目标
1.了解极差的意义,掌握极差的计算方法.(重点)
2.理解方差、标准差的意义,会用样本方差、标准差
估计总体的方差、标准差.(重点、难点)
我们知道,接受检阅的仪仗队必须精挑细选,整齐
划一,所以特注重队员的身高.下面有两组仪仗队,准
备抽取其中一组参与检阅.已知这两组仪仗队队员的身
高(单位:cm)如下:
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179
乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
乙队甲队
你认为哪支仪仗队更为整齐?你是怎么判断的?
极差
【问题】为了提高农副产品的国际竞争力,一些行业
协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿,现有2
个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿品质相近.
1
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了
20只鸡腿,质量(单位:g)如下:
甲厂:75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂:75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的
平均质量吗?
(2)在图中画出表示平均质量的直线.
解:(1)甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量大约是75g.
(2)直线如图所示.
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多
少?最小值又是多少?它们相差几克?乙厂呢?
(4)如果只考虑鸡腿的规格,你认为外贸公司应
购买哪个厂家的鸡腿?
解:甲厂:最大值78g,最小值72g,相差6g.
乙厂:最大值80g,最小值71g,相差9g.
解:平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映
个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
现实生活中,除了关心数据的“平均水平”
外,人们还关注数据的离散程度,即它们相对于
平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程
度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
方差与标准差
如果丙厂也参与了竞争,从该厂也抽查20只鸡腿,
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少?
平均数: 75( )x g丙
极差: 79 72 7( )g
2
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合
要求?为什么?
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差
距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其平均
数的差距.
数学上,数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,
这组数据就越稳定.
2 2 22
1 2
1
ns x x x x x x
n
其中,是x1,,x2,……,xn的平均数,s2是方差,而
标准差就是方差的算术平方根.
x
【例1】(1)分别计算出从甲、丙两厂抽取
的20只鸡腿质量的方差?
(2)根据计算的结果,你认为哪家的产品
更符合规格?
丙厂:
2 21 (75 75) (79 75)
20
4.2
解:(1)甲厂:
2 21 (75 75) (72 75)
20
2.5
(2)甲厂更符合规定.
【例2】小明和小兵两人参加体育项目训练,近期
的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定?为什
么?
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
1 2 3 4 5 求平方和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
(每次成绩-
平均成绩)2
5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩-
平均成绩)2
1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2
计算可得:
小明5次测试成绩的标准差为 1.84,
小兵5次测试成绩的标准差为 3.04.
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
1[( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) ]
5
S x x x x x x x x x x
所以根据结果小明的成绩比较稳定.
1.人数相同的八年级(1)、(2)两班学生在同一次
数学单元测试中,班级平均分和方差如下:
, , ,则成绩较为稳定的班级
是( )
A.甲班 B.乙班
C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2.在样本方差的计算公式
中, 数字10 表示________ ,数字20表示 ______.
80 乙甲 xx2 24s 甲
2 18s 乙
)20( 2...)20( 2
2)20( 1
2
10
12s xnxx
B
样本容量 平均数
3.数据-2,-1,0,1,2的方差是___,标准差
是___ .
4.五个数1,3,a,5,8的平均数是4,则a
=_____,这五个数的方差_____.
2
2
3 5.6
5.比较下列两组数据的方差:
A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
解:
_ _
_ _
1 (1 0 8 5 ) 5
1 0
1 ( 4 6 3 7 2 8 1 9 5 5 ) 5
1 0
A
B
x
x
6.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.
选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心
的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况,农科院
各用10 块自然条件相同的试验田进行试验,得到各试验田每
公顷的产量(单位:t)如下表:
品种 各试验田每公顷产量(单位:吨)
甲
7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙
7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
2 2 2
2 7 65 7 54 7 50 7 54 7 41 7 54
10
0 01
甲
( ) ( ) ( )s . - . + . - . + + . - .
=
. .
2 2 2
2 7 55 7 52 7 56 7 52 7 49 7 52
10
0 002
乙
( ) ( ) ( )s . - . + . - . + + . - .
=
. .
根据这些数据估计,农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?
农科院应该选择甲种甜玉米种子.
7. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣,在5天中两台编织机每
天出的合格品数如下(单位:件):
甲:7 10 8 8 7 ;
乙:8 9 7 9 7 .
计算在这5天中,哪台编织机出合格品的波动较小?
解:
所以是乙台编织机出的产品的波动性较小.
x 甲 =(7+10+8+8+7)÷5=8.
x 乙 =(8+9+7+9+7)÷5=8.
2 21= - + -8 +...+(7-8) 0.8.
5
2 2
乙
(8 8) (9 ) s
2 21= - + -8 +...+(7-8) 1.2.
5
2 2
甲
(7 8) (10 ) s
2 2s s
甲 乙
8.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞
赛,在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验,成
绩(单位:分)如下:
甲的
成绩
76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的
成绩
82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1)填写下表:
同学 平均成绩 中位数 众数 方差
85分以上
的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90 0.5
14.4
(2)利用以上信息,请从不同的角度对甲、乙两名同学的
成绩进行评价.
解:从众数看,甲成绩的众数为84分,乙成绩的众数是
90分,乙的成绩比甲好.
从方差看,s2
甲=14.4, s2
乙=34,甲的成绩比乙相对稳定.
从甲、乙的中位数、平均数看,中位数、平均数都是84
分,两人成绩一样好.
从频率看,甲85分以上的次数比乙少,乙的成绩比甲好.
数据的离散程
度
极差
方差
标准差