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  • 2021-10-26 发布

初三数学同步练习题及解析:实际问题与一元二次方程(2)

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22.3 实际问题与一元二次方程(第二课时) ◆随堂检测 1、长方形的长比宽多 4cm,面积为 60cm2,则它的周长为________. 2、有两块木板,第一块长是宽的 2 倍,第二块的长是第一块宽的 3 倍,宽比第一块的长少 2 米,已知第 二块木板的面积比第一块大 108 2米 ,这两块木板的长和宽分别是( ) A、第一块木板长 18 米,宽 9 米,第二块木板长 27 米,宽 16 米 B、第一块木板长 12 米,宽 6 米,第二块木板长 18 米,宽 10 米 C、第一块木板长 9 米,宽 4.5m,第二块木板长 13.5m,宽 7 米 D、以上都不对 3、从正方形铁片,截去 2cm 宽的一条长方形,余下的面积是 48cm2,求原来的正方形铁片的面积是多少? 4、如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点 P、Q 同时由 A,B两点出发分别沿 AC、BC 方向向 点 C 匀速移动,它们的速度都是 1m/s,几秒后△PCQ的面积为 Rt△ACB 面积的一半. (点拨:设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.) ◆典例分析 如图①,要设计一幅宽 20cm,长 30cm 的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 2∶3, 如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度? 20cm 20cm 30cm D C A B 图②图① 30cm 分析:由横、竖彩条的宽度比为 2∶3,可设每个横彩条的宽为 2x ,则每个竖彩条的宽为3x .为更好地寻 找题目中的等量关系,通过平移可将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形 ABCD . 解:设每个横彩条的宽为 2x ,则每个竖彩条的宽为3x . ∴ 20 6AB x  , 30 4AD x  , ∴矩形 ABCD 的面积为 2(20 6 )(30 4 ) 24 260 600x x x x     (cm 2 ). BC A Q P 根据题意,得 2 124 260 600 1 20 303x x          . 整理,得 26 65 50 0x x   . 解方程,得 1 2 5 106x x , , ∵ 2 10x  不合题意,舍去.∴ 5 6x  . 则 5 52 33 2x x , . 答:每个横、竖彩条的宽度分别为 5 3 cm, 5 2 cm. ◆课下作业 ●拓展提高 1、矩形的周长为 8 2 ,面积为 1,则矩形的长和宽分别为________. 2、如图,在 ABCD 中,AE BC 于 E,AE EB EC a   ,且 a 是一元二次方程 2 2 3 0x x   的根, 则 ABCD 的周长为( ) A、 4 2 2 B、12 6 2 C、 2 2 2 D、 2 2 12 6 2 或 A D CE C B 3、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长 25m),另三边用木栏围成,木栏长 40m. (1)鸡场的面积能达到 180m2 吗?能达到 200m2 吗? (2)鸡场的面积能达到 210m2 吗? 4、某林场计划修一条长 750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为 1.6m2,上口宽比渠深多 2m,渠底比 渠深多 0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土 48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? (分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为 x m.) 5、如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 海里处 有一重要目标 C,小岛 D 位于 AC 的中点,岛上有一补给码头:小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南 方向,一艘军舰从 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一般补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行, 欲将一批物品送达军舰. (1)小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,那么相遇时补给船 航行了多少海里?(结果精确到 0.1 海里) B A C E D www.czsx.com.cn F (分析:(1)因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形,△DFC 也是等腰直角三角形,AC 可求,CD 就可求, 因此由勾股定理便可求 DF 的长. (2)要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度,DF 已求,因此,只要在 Rt△DEF 中,由勾股定理即可求.) ●体验中考 1、(2009 年,青海)在一幅长为 80cm,宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成 一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为 x cm,那么 x 满足的 方程是( ) A、 2 130 1400 0x x   B、 2 65 350 0x x   C、 2 130 1400 0x x   D、 2 65 350 0x x   2、(2009 年,甘肃庆阳)如图,在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上 修建两条同 样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要 551 米 2,则修建的 路宽应为 () A、1 米 B、1.5 米 C、2 米 D、2.5 米 3、(2008 年,庆阳)张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁 皮的四个 角各剪去一个边长为 1 米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 立方米的无盖长方体箱子, 且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米,现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元,问张大叔购回这张矩形铁 皮共化了多少元? 参考答案: ◆随堂检测 1、32cm. 设长方形铁片的宽是 x cm,则长是 ( 4)x  cm. 根据题意,得: ( 4) 60x x   , 解得, 1 26, 10x x   . ∵ 2 10x   不合题意,舍去.∴ 6x  .∴长方形铁片的长是 10cm,宽是 6cm,则它的周长为 32cm. 2、B. 设第一块木板的宽是 x 米,则长是 2x 米,第二块木板的长是3x 米,宽是 2x (2 )米. 根据题意,得: 3 (2 2) 2 108x x x x    整理,得: 22 3 54 0x x   , 因式分解得, ( 6)(2 9) 0x x   , 解得, 1 2 96, 2x x   . ∵ 2 9 2x   不合题意,舍去.∴ 6x  . ∴第一块木板的宽是 6 米,则长是 12 米,第二块木板的长是 18 米,宽是 10 米.故选 B. 3、解:原来的正方形铁片的边长是 x cm,则面积是 2x cm2. 根据题意,得: ( 2) 48x x   , 整理,得: 2 2 48 0x x   , 因式分解得, ( 8)( 6) 0x x   , 解得, 1 28, 6x x   . ∵ 2 6x   不合题意,舍去.∴ 8x  .∴ 2 64x  . 答:原来的正方形铁片的面积是 64cm2. 4、解:设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半. 根据题意,得: 1 2 (8- x )(6- x )= 1 2 × 1 2 ×8×6 整理,得: 2 14 24 0x x   , 配方得, 2( 7) 25x   , 解得, 1 212, 2x x  . ∵ 1 12x  不合题意,舍去.∴ 2x  . 答:2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半. ◆课下作业 ●拓展提高 1、 2 2 7 , 2 2 7 . 设矩形的长 x ,则宽为 4 2 x . 根据题意,得 (4 2 ) 1x x  . 整理,得 2 4 2 1 0x x   . 用公式法解方程,得 1 22 2 2 2 7x x  + 7, , 当长为 1 2 2x  + 7 时,则宽为 2 2 7 . 当长为 2 2 2 7x   时,则宽为 1 2 2x  + 7 ,不合题意,舍去. ∴矩形的长和宽分别为 2 2 7 和 2 2 7 . 2、A. ∵ a 是一元二次方程 2 2 3 0x x   的根,∴ 1a  ,∴AE=EB=EC=1,∴AB= 2 ,BC=2.∴ ABCD 的周长为 4 2 2 ,故选 A。 3、解:(1)都能达到. 设宽为 x m,则长为(40-2 x )m, 依题意,得: x (40-2 x )=180 整理,得: x 2-20 x +90=0, x 1=10+ 10 , x 2=10- 10 ; 同理 x (40-2 x )=200, x 1= x 2=10. (2)不能达到 210m2.∵依题意, x (40-2 x )=210,整理得, x 2-20 x +105=0, b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到. 4、解:(1)设渠深为 x m,则上口宽为( x +2)m,渠底为( x +0.4)m. 根据梯形的面积公式可得: 1 2 ( x +2+ x +0.4) x =1.6, 整理,得:5 x 2+6 x -8=0, 解得: x 1= 4 5 =0.8, x 2=-2(舍) ∴上口宽为 2.8m,渠底为 1.2m. (2)如果计划每天挖土 48m3,需要1.6 750 48  =25(天)才能把这条渠道挖完. 答:渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m;需要 25 天才能挖完渠道. 5、解:(1)连结 DF,则 DF⊥BC. ∵AB⊥BC,AB=BC=200 海里. ∴AC= 2 AB=200 2 海里,∠C=45°. ∴CD= 1 2 AC=100 2 海里. DF=CF, 2 DF=CD. ∴DF=CF= 2 2 CD= 2 2 ×100 2 =100(海里). ∴小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里. (2)设相遇时补给船航行了 x 海里,那么 DE= x 海里,AB+BE=2 x 海里. EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2 x )海里. 在 Rt△DEF 中,根据勾股定理可得方程 x 2=1002+(300-2 x )2 整理,得 3 x 2-1200 x +100000=0. 解这个方程,得: x 1=200-100 6 3 , x 2=200+100 6 3 . ∵ x 2=200+100 6 3 不合题意,舍去. ∴ x =200-100 6 3 ≈118.4. ∴相遇时补给船大约航行了 118.4 海里. ●体验中考 1、B. 依题意, x 满足的方程是 (50 2 )(80 2 ) 5400x x   , 整理得 2 65 350 0x x   .故选 B. 2、A. 设修建的路宽应为 x 米. 根据题意,得: (30 )(20 ) 551x x   , 整理,得: 2 50 49 0x x   , 因式分解得, ( 1)( 49) 0x x   , 解得, 1 21, 49x x  . ∵ 2 49x  不合题意,舍去.∴ 1x  . ∴则修建的路宽应为 1 米.故选 A. 3、解:设此长方体箱子的底面宽是 x 米,则长是 ( 2)x  米. 根据题意,得: ( 2) 15x x   , 整理,得: 2 2 15 0x x   , 因式分解得, ( 3)( 5) 0x x   , 解得, 1 23, 5x x   . ∵ 2 5x   不合题意,舍去.∴ 3x  . ∴ 此 矩 形 铁 皮 的 面 积 是 ( 2)( 2 2) 5 7 35x x      ( 平 方 米 ), ∴ 购 回 这 张 矩 形 铁 皮 共 化 了 35 20 700  (元). 答:张大叔购回这张矩形铁皮共化了 700 元.