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- 2021-10-26 发布
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22.3 实际问题与一元二次方程(第二课时)
◆随堂检测
1、长方形的长比宽多 4cm,面积为 60cm2,则它的周长为________.
2、有两块木板,第一块长是宽的 2 倍,第二块的长是第一块宽的 3 倍,宽比第一块的长少 2 米,已知第
二块木板的面积比第一块大 108 2米 ,这两块木板的长和宽分别是( )
A、第一块木板长 18 米,宽 9 米,第二块木板长 27 米,宽 16 米
B、第一块木板长 12 米,宽 6 米,第二块木板长 18 米,宽 10 米
C、第一块木板长 9 米,宽 4.5m,第二块木板长 13.5m,宽 7 米
D、以上都不对
3、从正方形铁片,截去 2cm 宽的一条长方形,余下的面积是 48cm2,求原来的正方形铁片的面积是多少?
4、如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点 P、Q 同时由 A,B两点出发分别沿 AC、BC 方向向
点 C 匀速移动,它们的速度都是 1m/s,几秒后△PCQ的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
(点拨:设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半,△PCQ 也是直角三角形.)
◆典例分析
如图①,要设计一幅宽 20cm,长 30cm 的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 2∶3,
如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
20cm 20cm
30cm
D C
A B
图②图①
30cm
分析:由横、竖彩条的宽度比为 2∶3,可设每个横彩条的宽为 2x ,则每个竖彩条的宽为3x .为更好地寻
找题目中的等量关系,通过平移可将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形 ABCD .
解:设每个横彩条的宽为 2x ,则每个竖彩条的宽为3x .
∴ 20 6AB x , 30 4AD x ,
∴矩形 ABCD 的面积为 2(20 6 )(30 4 ) 24 260 600x x x x (cm 2 ).
BC
A
Q
P
根据题意,得 2 124 260 600 1 20 303x x
.
整理,得 26 65 50 0x x .
解方程,得 1 2
5 106x x , ,
∵ 2 10x 不合题意,舍去.∴ 5
6x .
则 5 52 33 2x x , .
答:每个横、竖彩条的宽度分别为 5
3
cm, 5
2
cm.
◆课下作业
●拓展提高
1、矩形的周长为 8 2 ,面积为 1,则矩形的长和宽分别为________.
2、如图,在 ABCD 中,AE BC 于 E,AE EB EC a ,且 a 是一元二次方程 2 2 3 0x x 的根,
则 ABCD 的周长为( )
A、 4 2 2 B、12 6 2 C、 2 2 2 D、 2 2 12 6 2 或
A D
CE
C
B
3、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长 25m),另三边用木栏围成,木栏长 40m.
(1)鸡场的面积能达到 180m2 吗?能达到 200m2 吗?
(2)鸡场的面积能达到 210m2 吗?
4、某林场计划修一条长 750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为 1.6m2,上口宽比渠深多 2m,渠底比
渠深多 0.4m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少?
(2)如果计划每天挖土 48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
(分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为 x m.)
5、如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 海里处
有一重要目标 C,小岛 D 位于 AC 的中点,岛上有一补给码头:小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南
方向,一艘军舰从 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一般补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,
欲将一批物品送达军舰.
(1)小岛 D 和小岛 F 相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,那么相遇时补给船
航行了多少海里?(结果精确到 0.1 海里)
B
A
C
E
D
www.czsx.com.cn
F
(分析:(1)因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形,△DFC 也是等腰直角三角形,AC 可求,CD 就可求,
因此由勾股定理便可求 DF 的长.
(2)要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度,DF 已求,因此,只要在 Rt△DEF 中,由勾股定理即可求.)
●体验中考
1、(2009 年,青海)在一幅长为 80cm,宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成
一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为 x cm,那么 x 满足的
方程是( )
A、 2 130 1400 0x x B、 2 65 350 0x x
C、 2 130 1400 0x x D、 2 65 350 0x x
2、(2009 年,甘肃庆阳)如图,在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上 修建两条同
样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要 551 米 2,则修建的 路宽应为
()
A、1 米 B、1.5 米 C、2 米 D、2.5 米
3、(2008 年,庆阳)张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁 皮的四个
角各剪去一个边长为 1 米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 立方米的无盖长方体箱子,
且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米,现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元,问张大叔购回这张矩形铁
皮共化了多少元?
参考答案:
◆随堂检测
1、32cm. 设长方形铁片的宽是 x cm,则长是 ( 4)x cm.
根据题意,得: ( 4) 60x x ,
解得, 1 26, 10x x .
∵ 2 10x 不合题意,舍去.∴ 6x .∴长方形铁片的长是 10cm,宽是 6cm,则它的周长为 32cm.
2、B. 设第一块木板的宽是 x 米,则长是 2x 米,第二块木板的长是3x 米,宽是 2x (2 )米.
根据题意,得: 3 (2 2) 2 108x x x x
整理,得: 22 3 54 0x x ,
因式分解得, ( 6)(2 9) 0x x ,
解得, 1 2
96, 2x x .
∵ 2
9
2x 不合题意,舍去.∴ 6x .
∴第一块木板的宽是 6 米,则长是 12 米,第二块木板的长是 18 米,宽是 10 米.故选 B.
3、解:原来的正方形铁片的边长是 x cm,则面积是 2x cm2.
根据题意,得: ( 2) 48x x ,
整理,得: 2 2 48 0x x ,
因式分解得, ( 8)( 6) 0x x ,
解得, 1 28, 6x x .
∵ 2 6x 不合题意,舍去.∴ 8x .∴ 2 64x .
答:原来的正方形铁片的面积是 64cm2.
4、解:设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
根据题意,得: 1
2
(8- x )(6- x )= 1
2
× 1
2
×8×6
整理,得: 2 14 24 0x x ,
配方得, 2( 7) 25x ,
解得, 1 212, 2x x .
∵ 1 12x 不合题意,舍去.∴ 2x .
答:2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
◆课下作业
●拓展提高
1、 2 2 7 , 2 2 7 . 设矩形的长 x ,则宽为 4 2 x .
根据题意,得 (4 2 ) 1x x .
整理,得 2 4 2 1 0x x .
用公式法解方程,得 1 22 2 2 2 7x x + 7, ,
当长为 1 2 2x + 7 时,则宽为 2 2 7 .
当长为 2 2 2 7x 时,则宽为 1 2 2x + 7 ,不合题意,舍去.
∴矩形的长和宽分别为 2 2 7 和 2 2 7 .
2、A. ∵ a 是一元二次方程 2 2 3 0x x 的根,∴ 1a ,∴AE=EB=EC=1,∴AB= 2 ,BC=2.∴ ABCD
的周长为 4 2 2 ,故选 A。
3、解:(1)都能达到.
设宽为 x m,则长为(40-2 x )m,
依题意,得: x (40-2 x )=180
整理,得: x 2-20 x +90=0, x 1=10+ 10 , x 2=10- 10 ;
同理 x (40-2 x )=200, x 1= x 2=10.
(2)不能达到 210m2.∵依题意, x (40-2 x )=210,整理得, x 2-20 x +105=0,
b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到.
4、解:(1)设渠深为 x m,则上口宽为( x +2)m,渠底为( x +0.4)m.
根据梯形的面积公式可得: 1
2
( x +2+ x +0.4) x =1.6,
整理,得:5 x 2+6 x -8=0,
解得: x 1= 4
5
=0.8, x 2=-2(舍)
∴上口宽为 2.8m,渠底为 1.2m.
(2)如果计划每天挖土 48m3,需要1.6 750
48
=25(天)才能把这条渠道挖完.
答:渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m;需要 25 天才能挖完渠道.
5、解:(1)连结 DF,则 DF⊥BC.
∵AB⊥BC,AB=BC=200 海里.
∴AC= 2 AB=200 2 海里,∠C=45°.
∴CD= 1
2
AC=100 2 海里.
DF=CF, 2 DF=CD.
∴DF=CF= 2
2
CD= 2
2
×100 2 =100(海里).
∴小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里.
(2)设相遇时补给船航行了 x 海里,那么 DE= x 海里,AB+BE=2 x 海里.
EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2 x )海里.
在 Rt△DEF 中,根据勾股定理可得方程 x 2=1002+(300-2 x )2
整理,得 3 x 2-1200 x +100000=0.
解这个方程,得: x 1=200-100 6
3
, x 2=200+100 6
3
.
∵ x 2=200+100 6
3
不合题意,舍去.
∴ x =200-100 6
3
≈118.4.
∴相遇时补给船大约航行了 118.4 海里.
●体验中考
1、B. 依题意, x 满足的方程是 (50 2 )(80 2 ) 5400x x ,
整理得 2 65 350 0x x .故选 B.
2、A. 设修建的路宽应为 x 米.
根据题意,得: (30 )(20 ) 551x x ,
整理,得: 2 50 49 0x x ,
因式分解得, ( 1)( 49) 0x x ,
解得, 1 21, 49x x .
∵ 2 49x 不合题意,舍去.∴ 1x .
∴则修建的路宽应为 1 米.故选 A.
3、解:设此长方体箱子的底面宽是 x 米,则长是 ( 2)x 米.
根据题意,得: ( 2) 15x x ,
整理,得: 2 2 15 0x x ,
因式分解得, ( 3)( 5) 0x x ,
解得, 1 23, 5x x .
∵ 2 5x 不合题意,舍去.∴ 3x .
∴ 此 矩 形 铁 皮 的 面 积 是 ( 2)( 2 2) 5 7 35x x ( 平 方 米 ), ∴ 购 回 这 张 矩 形 铁 皮 共 化 了
35 20 700 (元).
答:张大叔购回这张矩形铁皮共化了 700 元.