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  • 2021-10-27 发布

2021人教版八年级上册数学期末测试卷及答案(三套)

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八年级数学期末质量检测试卷(一) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1.(4 分)已知点 P(0,m)在 y 轴的负半轴上,则点 M(﹣m,1)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(4 分)已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是( ) A.16 B.11 C.3 D.6 3.(4 分)已知 P1(﹣3,y1),P2(2,y2)是一次函数 y=2x+1 的图象上的两个点,则 y1,y2 的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 4.(4 分)函数 的自变量 x 的取值范围是( ) A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3 5.(4 分)下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志,在这四个标志中, 是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 6.(4 分)一次函数 y=kx+k 的图象可能是( ) A. B. C. D. 7.(4 分)“等腰三角形两底角相等”的逆命题是( ) A.等腰三角形“三线合一” B.底边上高和中线重合的三角形等腰 C.两个角互余的三角形是等腰三角形 D.有两个角相等的三角形是等腰三角形 8.(4 分)已知图中的两个三角形全等,则∠1 等于( ) A.50° B.58° C.60° D.72° 9.(4 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,AB=10, S△ABD=15,则 CD 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.(4 分)已知:如图,在△ABC,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD =AE,点 C,D,E 三点在同一条直线上,连接 BD,BE.以下四个结论: ① BD=CE; ② ∠ACE+∠DBC=45°; ③ BD⊥CE; ④ ∠BAE+∠DAC=180°. 其中结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.(5 分)已知点 A(1,﹣2),若 A、B 两点关于 x 轴对称,则 B 的坐标是 . 12.(5 分)把直线 y=﹣ x 向下平移 个单位得到直线 y=﹣ x﹣2. 13.(5 分)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的 度数为 . 14.(5 分)如图所示,第 1 个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成,第 2 个, 第 3 个图案可以看作是第 1 个图案经过平移而得,那么设第 n 个图案中有白色地面 砖 m 块,则 m 与 n 的函数关系式是 . 三、解答题(共 9 小题,满分 60 分) 15.(6 分)如图,在平面网格中每个小正方形边长为 1. (1)线段 CD 是线段 AB 经过怎样的平移后得到的; (2)线段 AC 是线段 BD 经过怎样的平移后得到的. 16.(6 分)正比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=﹣3x+k 的图象交于点 P(1,m), 求: (1)k 的值; (2)两条直线与 x 轴围成的三角形的面积. 17.(6 分)已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE 与 BF 相交于 D,且 BD=CD.求证: ∠BAD=∠CAD. 18.(6 分)如图,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°, 求∠DFB 和∠DGB 的度数. 19.(7 分)如图,在等边△ABC 中,点 D,E 分別在边 BC,AC 上,DE∥AB,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F. (1)求∠F 的度数; (2)若 CD=2,求 DF、EF 的长. 20.(7 分)如图,直线 l1:y1=x 和直线 l2:y2=﹣2x+6 相交于点 A,直线 l2 与 x 轴交 于点 B,动点 P 沿路线 O→A→B 运动. (1)求点 A 的坐标,并回答当 x 取何值时 y1>y2? (2)求△AOB 的面积; (3)当△POB 的面积是△AOB 的面积的一半时,求出这时点 P 的坐标. 21.(7 分)如图所示,在△ABC 中,∠A=40°,∠B=90°,AC 的垂直平分线 MN 分别与 AB、AC 交于点 D、E,求∠BCD 的度数. 22.(7 分)如图,在△ABD 和△ACE 中,有四个等式: ① AB=AC; ② AD=AE; ③ ∠ 1=∠2; ④ BD=CE,请你从其中三个等式作为题设,设另一个作为结论,写出一个 真命题,并给出证明.(要求写出已知、求证及证明过程) 23.(8 分)已知:点 O 到△ABC 的两边 AB,AC 所在直线的距离相等,且 OB=OC. (1)如图 1,若点 O 在边 BC 上,求证:AB=AC; (2)如图 2,若点 O 在△ABC 的内部,求证:AB=AC; (3)若点 O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗?请画出图表示. 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1.(4 分)已知点 P(0,m)在 y 轴的负半轴上,则点 M(﹣m,1)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:∵点 P(0,m)在 y 轴的负半轴上, ∴m<0, ∴﹣m>0, ∴点 M(﹣m,1)在第一象限, 故选:A. 2.(4 分)已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是( ) A.16 B.11 C.3 D.6 【解答】解:设第三边的长度为 x, 由题意得:7﹣3<x<7+3, 即:4<x<10, 故选:D. 3.(4 分)已知 P1(﹣3,y1),P2(2,y2)是一次函数 y=2x+1 的图象上的两个点,则 y1,y2 的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定 【解答】解:∵一次函数 y=2x+1 中 k=2>0, ∴此函数是增函数, ∵﹣3<2, ∴y1<y2. 故选:B. 4.(4 分)函数 的自变量 x 的取值范围是( ) A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3 【解答】解:根据题意得:3﹣x≥0, 解得 x≤3. 故选:D. 5.(4 分)下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志,在这四个标志中, 是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,故此选项错误; C、不是轴对称图形,故此选项错误; D、是轴对称图形,故此选项正确; 故选:D. 6.(4 分)一次函数 y=kx+k 的图象可能是( ) A. B. C. D. 【解答】解:当 k>0 时,函数图象经过一、二、三象限; 当 k<0 时,函数图象经过二、三、四象限,故 B 正确. 故选:B. 7.(4 分)“等腰三角形两底角相等”的逆命题是( ) A.等腰三角形“三线合一” B.底边上高和中线重合的三角形等腰 C.两个角互余的三角形是等腰三角形 D.有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解答】解:“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三 角形,故选 D. 8.(4 分)已知图中的两个三角形全等,则∠1 等于( ) A.50° B.58° C.60° D.72° 【解答】解: ∵△ABC 和△DEF 全等,AC=DF=b,DE=AB=a, ∴∠1=∠B,∠A=∠D=50°,∠F=∠C=72°, ∴∠1=180°﹣∠D﹣∠F=58°, 故选:B. 9.(4 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,AB=10, S△ABD=15,则 CD 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 E, ∵∠C=90°,AD 平分∠BAC, ∴DE=CD, ∴S△ABD= AB•DE= ×10•DE=15, 解得 DE=3, ∴CD=3. 故选:A. 10.(4 分)已知:如图,在△ABC,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD =AE,点 C,D,E 三点在同一条直线上,连接 BD,BE.以下四个结论: ① BD=CE; ② ∠ACE+∠DBC=45°; ③ BD⊥CE; ④ ∠BAE+∠DAC=180°. 其中结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解: ① ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ∵在△BAD 和△CAE 中, , ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE,本选项正确; ② ∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ABD+∠DBC=45°, ∵△BAD≌△CAE, ∴∠ABD=∠ACE, ∴∠ACE+∠DBC=45°,本选项正确; ③ ∵∠ABD+∠DBC=45°, ∴∠ACE+∠DBC=45°, ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°, 则 BD⊥CE,本选项正确; ④ ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°,故此选项正确, 故选:D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.(5 分)已知点 A(1,﹣2),若 A、B 两点关于 x 轴对称,则 B 的坐标是 (1,2) . 【解答】解:∵A、B 两点关于 x 轴对称, ∴点 B 的坐标是(1,2). 故答案为:(1,2). 12.(5 分)把直线 y=﹣ x 向下平移 2 个单位得到直线 y=﹣ x﹣2. 【解答】解:∵0﹣(﹣2)=2, ∴根据“上加下减”的原则可知,把直线 y=﹣ x 向下平移 2 个单位得到直线 y= ﹣ x﹣2. 故答案为:2. 13.(5 分)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的 度数为 120°或 20° . 【解答】解:设两个角分别是 x,4x ① 当 x 是底角时,根据三角形的内角和定理,得 x+x+4x=180°,解得,x=30°, 4x=120°,即底角为 30°,顶角为 120°; ② 当 x 是顶角时,则 x+4x+4x=180°,解得,x=20°,从而得到顶角为 20°,底 角为 80°; 所以该三角形的顶角为 120°或 20°. 故答案为:120°或 20°. 14.(5 分)如图所示,第 1 个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成,第 2 个, 第 3 个图案可以看作是第 1 个图案经过平移而得,那么设第 n 个图案中有白色地面 砖 m 块,则 m 与 n 的函数关系式是 m=4n+2 . 【解答】解:首先发现:第一个图案中,有白色的是 6 个,后边是依次多 4 个. 所以第 n 个图案中,是 6+4(n﹣1)=4n+2. ∴m 与 n 的函数关系式是 m=4n+2. 故答案为:4n+2. 三、解答题(共 9 小题,满分 60 分) 15.(6 分)如图,在平面网格中每个小正方形边长为 1. (1)线段 CD 是线段 AB 经过怎样的平移后得到的; (2)线段 AC 是线段 BD 经过怎样的平移后得到的. 【解答】解:(1)将线段 AB 向右(或下)平移 3 个小格(或 4 个小格),再向下(或 右)平移 4 个小格(或 3 个小格),得线段 CD. (2)将线段 BD 向右平移(或向下平移 1 个小格)3 个小格,再向下平移(可左平 移 3 个小格)1 个小格,得到线段 AC. 16.(6 分)正比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=﹣3x+k 的图象交于点 P(1,m), 求: (1)k 的值; (2)两条直线与 x 轴围成的三角形的面积. 【解答】解:(1)∵正比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=﹣3x+k 的图象交于点 P (1,m), ∴把点 P(1,m)代入得: , 把 ① 代入 ② 得:k=5; (2)根据题意,如图: ∵点 P(1,2), ∴三角形的高就是 2, ∵y=﹣3x+5, ∴A(0, ), ∴OA= , ∴S△AOP= × ×2= 17.(6 分)已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE 与 BF 相交于 D,且 BD=CD.求证: ∠BAD=∠CAD. 【解答】证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 在△BED 和△CFD 中, , ∴△BED≌△CFD(AAS), ∴DE=DF, ∵CE⊥AB,BF⊥AC, ∴∠BAD=∠CAD. 18.(6 分)如图,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°, 求∠DFB 和∠DGB 的度数. 【解答】解:∵△ABC≌△ADE, ∴∠DAE=∠BAC= (∠EAB﹣∠CAD)= . ∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90° ∠DGB=∠DFB﹣∠D=90°﹣25°=65°. 综上所述:∠DFB=90°,∠DGB=65°. 19.(7 分)如图,在等边△ABC 中,点 D,E 分別在边 BC,AC 上,DE∥AB,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F. (1)求∠F 的度数; (2)若 CD=2,求 DF、EF 的长. 【解答】解:(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDC=∠B=60°, ∵EF⊥DE, ∴∠DEF=90°, ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°; (2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°, ∴△EDC 是等边三角形. ∴ED=DC=2, ∵∠DEF=90°,∠F=30°, ∴DF=2DE=4, ∴EF= DE=2 . 20.(7 分)如图,直线 l1:y1=x 和直线 l2:y2=﹣2x+6 相交于点 A,直线 l2 与 x 轴交 于点 B,动点 P 沿路线 O→A→B 运动. (1)求点 A 的坐标,并回答当 x 取何值时 y1>y2? (2)求△AOB 的面积; (3)当△POB 的面积是△AOB 的面积的一半时,求出这时点 P 的坐标. 【解答】解:(1)∵直线 l1 与直线 l2 相交于点 A, ∴y1=y2,即﹣2x+6=x,解得 x=2, ∴y1=y2=2, ∴点 A 的坐标为(2,2); 观察图象可得,当 x>2 时,y1>y2; (2)由直线 l2:y2=﹣2x+6 可知,当 y=0 时,x=3, ∴B(3,0), ∴S△AOB= ×3×2=3; (3)∵△POB 的面积是△AOB 的面积的一半, ∴P 的纵坐标为 1, ∵点 P 沿路线 O→A→B 运动, ∴P(1,1)或( ,1). 21.(7 分)如图所示,在△ABC 中,∠A=40°,∠B=90°,AC 的垂直平分线 MN 分别与 AB、AC 交于点 D、E,求∠BCD 的度数. 【解答】解:∵∠B=90°,∠A=40°, ∴∠ACB=50°, ∵MN 是线段 AC 的垂直平分线. ∴AE=CE. 在△ADE 和△CDE 中, . . ∴△ADE≌△CDE(SAS) ∴∠DCA=∠A=40° ∴∠BCD=∠ACB﹣∠DCA =50°﹣40° =10°. 22.(7 分)如图,在△ABD 和△ACE 中,有四个等式: ① AB=AC; ② AD=AE; ③ ∠ 1=∠2; ④ BD=CE,请你从其中三个等式作为题设,设另一个作为结论,写出一个 真命题,并给出证明.(要求写出已知、求证及证明过程) 【解答】解:解法一:如果 AB=AC,AD=AE,BD=CE,那么∠1=∠2. 已知:在△ABD 和△ACE 中,AB=AC,AD=AE,BD=CE, 求证:∠1=∠2. 证明:在△ABD 和△ACE 中, , ∴△ABD≌△ACE, ∴∠BAD=∠CAE, ∴∠1=∠2. 解法二:如果 AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,那么 BD=CE. 已知:在△ABD 和△ACE 中,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2, 求证:BD=CE. 证明:∵∠1=∠2, ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中, , ∴△ABD≌△ACE, ∴BD=CE. 23.(8 分)已知:点 O 到△ABC 的两边 AB,AC 所在直线的距离相等,且 OB=OC. (1)如图 1,若点 O 在边 BC 上,求证:AB=AC; (2)如图 2,若点 O 在△ABC 的内部,求证:AB=AC; (3)若点 O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗?请画出图表示. 【解答】(1)证明:过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F, 由题意知, 在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中 ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL), ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC; (2)证明:过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F, 由题意知,OE=OF.∠BEO=∠CFO=90°, ∵在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中 ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL), ∴∠OBE=∠OCF, 又∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC; (3)解:不一定成立,当∠A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时 AB= AC,否则 AB≠AC.(如示例图) 八年级数学期末质量检测试卷(二) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)下列四个图案中,不是轴对称图案的是( ) A. B. C. D. 2.(3 分)已知点 A 的坐标为(﹣2,3),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( ) A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(2,﹣3) D.(﹣2,﹣3) 3.(3 分)下列运算正确的是( ) A. =±4 B.(ab2)3=a3b6 C.a6÷a2=a3 D.(a﹣b)2=a2﹣b2 4.(3 分)若 x2+mxy+4y2 是一个完全平方式,那么 m 的值是( ) A.±4 B.﹣2 C.±2 D.4 5.(3 分)若 3x=4,9y=7,则 3x﹣2y 的值为( ) A. B. C.﹣3 D. 6.(3 分)如图 1,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b),把余 下的部分剪拼成如图 2 所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积,验证了 一个等式,这则个等式是( ) A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab 7.(3 分)如图,已知∠ACB=∠DBC,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是 ( ) A.∠ABC=∠DCB B.∠ABD=∠DCA C.AC=DB D.AB=DC 8.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD、CE 是△ABC 的两条中线,点 P 是 AD 上一个动点,则 BP+EP 的最小值等于线段( )的长度. A.BC B.CE C.AD D.AC 9.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则∠EDF 的度数为( ) A.45° ∠A B.90 ∠A C.90°﹣∠A D.180°﹣∠A 10.(3 分)如图,△ABC 为等边三角形,AE=CD,AD、BE 相交于点 P,BQ⊥AD 于 Q,PQ=3,PE=1.AD 的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.(3 分)因式分解:a2b﹣4ab+4b= . 12.(3 分)要使代数式 有意义,则 x 的取值范围是 . 13.(3 分)若 a﹣b=1,ab=2,那么 a+b 的值为 . 14.(3 分)如图所示,将△ABC 沿着 DE 翻折,若∠1+∠2=80°,则∠B= 度. 15.(3 分)繁昌到南京大约 150 千米,由于开通了高铁,动车的的平均速度是汽车的 2.5 倍,这样乘动车到南京比坐汽车就要节省 1.2 小时,设汽车的平均速度为 x 千米/ 时,根据题意列出方程 . 16.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点,两边 PE,PF 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 EF 交 AP 于点 G.给出以下 四个结论,其中正确的结论是 . ① AE=CF, ② AP=EF, ③ △EPF 是等腰直角三角形, ④ 四边形 AEPF 的面积是△ABC 面积的一半. 三、解答题(本大题共 7 小题,共 52 分.解答应写明文字说明和运算步骤) 17.(10 分)计算 (1)4(a﹣b)2﹣(2a+b)(2a﹣b). (2)先化简,再求值(a+2﹣ )÷ ,其中 a=1 18.(6 分)给出下列等式:21﹣20=20,22﹣21=21,23﹣22=22,24﹣23=23,…… (1)探索上面式子的规律,试写出第 n 个等式,并证明其成立. (2)运用上述规律计算 20+21+22+…+22017+22018 值. 19.(6 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高, (1)尺规作图:作△ABC 的角平分线 AE,交 CD 于点 F(不写作法,保留作图痕迹); (2)求证:△CEF 为等腰三角形. 20.(6 分)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)请画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1; (2)在 y 轴上求作一点 P,使△PAC 的周长最小,并直接写出 P 的坐标. 21.(6 分)某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行 改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成 工程所需天数是规定天数的 1.5 倍.如果由甲、乙队先合做 15 天,那么余下的工程 由甲队单独完成还需 5 天.这项工程的规定时间是多少天? 22.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC,AB⊥BC,AB=BC,点 C 在第一象限.已知点 A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点 P 在线段 OB 上,且 OP =OA. (1)点 C 的坐标为 (用含 m,n 的式子表示) (2)求证:CP⊥AP. 23.(10 分)如图(1)AC⊥AB,BD⊥AB,AB=12cm,AC=BD=8cm,点 P 在线段 AB 上以 2cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动,它们运动的时间为 t(s). (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t=2 时,△ACP 与△BPQ 是否 全等,请说明理由; (2)在(1)的条件下,判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,并证明; (3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”, 其他条件不变.设点 Q 的运动速度为 xcm/s,是否存在实数 x,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的 x、t 的值;若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)下列四个图案中,不是轴对称图案的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:A.此图案是轴对称图形,不符合题意; B.此图案不是轴对称图形,符合题意; C.此图案是轴对称图形,不符合题意; D.此图案是轴对称图形,不符合题意; 故选:B. 2.(3 分)已知点 A 的坐标为(﹣2,3),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( ) A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(2,﹣3) D.(﹣2,﹣3) 【解答】解:∵点 A 的坐标为(﹣2,3), ∴点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是(2,﹣3), 故选:B. 3.(3 分)下列运算正确的是( ) A. =±4 B.(ab2)3=a3b6 C.a6÷a2=a3 D.(a﹣b)2=a2﹣b2 【解答】解:A. ,故本选项不合题意; B.(ab2)3=a3b6,正确; C.a6÷a2=a4,故本选项不合题意; D.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项不合题意. 故选:B. 4.(3 分)若 x2+mxy+4y2 是一个完全平方式,那么 m 的值是( ) A.±4 B.﹣2 C.±2 D.4 【解答】解:∵x2+mxy+4y2=x2+mxy+(2y)2, ∴mxy=±2x•2y, 解得:m=±4. 故选:A. 5.(3 分)若 3x=4,9y=7,则 3x﹣2y 的值为( ) A. B. C.﹣3 D. 【解答】解:∵3x=4,9y=7, ∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷(32)y=4÷7= . 故选:A. 6.(3 分)如图 1,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b),把余 下的部分剪拼成如图 2 所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积,验证了 一个等式,这则个等式是( ) A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab 【解答】解:图 1 阴影部分面积:a2﹣b2, 图 2 阴影部分面积:(a+b)(a﹣b), 由此验证了等式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2, 故选:A. 7.(3 分)如图,已知∠ACB=∠DBC,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是 ( ) A.∠ABC=∠DCB B.∠ABD=∠DCA C.AC=DB D.AB=DC 【解答】解:A、∵在△ABC 和△DCB 中 ∴△ABC≌△DCB(ASA),故本选项不符合题意; B、∵∠ABD=∠DCA,∠DBC=∠ACB, ∴∠ABD+∠DBC=∠ACD+∠ACB, 即∠ABC=∠DCB, ∵在△ABC 和△DCB 中 ∴△ABC≌△DCB(ASA),故本选项不符合题意; C、∵在△ABC 和△DCB 中 ∴△ABC≌△DCB(SAS),故本选项不符合题意; D、根据∠ACB=∠DBC,BC=BC,AB=DC 不能推出△ABC≌△DCB,故本选项 符合题意; 故选:D. 8.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD、CE 是△ABC 的两条中线,点 P 是 AD 上一个动点,则 BP+EP 的最小值等于线段( )的长度. A.BC B.CE C.AD D.AC 【解答】解:如图,连接 PC, ∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, ∴PB=PC, ∴PB+PE=PC+PE, ∵PE+PC≥CE, ∴P、C、E 共线时,PB+PE 的值最小,最小值为 CE 的长度, 故选:B. 9.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则∠EDF 的度数为( ) A.45° ∠A B.90 ∠A C.90°﹣∠A D.180°﹣∠A 【解答】解:∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵BD=CF,BE=CD ∴△BDE≌△CFD, ∴∠BDE=∠CFD, ∠EDF=180°﹣(∠BDE+∠CDF)=180°﹣(∠CFD+∠CDF)=180°﹣(180° ﹣∠C)=∠C, ∵∠A+∠B+∠C=180°. ∴∠A+2∠EDF=180°, ∴∠EDF=90°﹣ ∠A. 故选:B. 10.(3 分)如图,△ABC 为等边三角形,AE=CD,AD、BE 相交于点 P,BQ⊥AD 于 Q,PQ=3,PE=1.AD 的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解答】解:∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°; 又∵AE=CD, 在△ABE 和△CAD 中, , ∴△ABE≌△CAD(SAS); ∴BE=AD,∠CAD=∠ABE; ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°; ∵BQ⊥AD, ∴∠AQB=90°,则∠PBQ=90°﹣60°=30°; ∵PQ=3, ∴在 Rt△BPQ 中,BP=2PQ=6; 又∵PE=1, ∴AD=BE=BP+PE=7. 故选:C. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.(3 分)因式分解:a2b﹣4ab+4b= b(a﹣2)2 . 【解答】解:原式=b(a2﹣4a+4)=b(a﹣2)2, 故答案为:b(a﹣2)2 12.(3 分)要使代数式 有意义,则 x 的取值范围是 x≥﹣1 且 x≠0 . 【解答】解:根据题意,得 , 解得 x≥﹣1 且 x≠0. 13.(3 分)若 a﹣b=1,ab=2,那么 a+b 的值为 ±3 . 【解答】解:把 a﹣b=1,两边平方得:(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=1, 把 ab=2 代入得:a2+b2=5, ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=9, 则 a+b=±3, 故答案为:±3 14.(3 分)如图所示,将△ABC 沿着 DE 翻折,若∠1+∠2=80°,则∠B= 40 度. 【解答】解:∵△ABC 沿着 DE 翻折, ∴∠1+2∠BED=180°,∠2+2∠BDE=180°, ∴∠1+∠2+2(∠BED+∠BDE)=360°, 而∠1+∠2=80°,∠B+∠BED+∠BDE=180°, ∴80°+2(180°﹣∠B)=360°, ∴∠B=40°. 故答案为:40°. 15.(3 分)繁昌到南京大约 150 千米,由于开通了高铁,动车的的平均速度是汽车的 2.5 倍,这样乘动车到南京比坐汽车就要节省 1.2 小时,设汽车的平均速度为 x 千米/ 时,根据题意列出方程 = +1.2 . 【解答】解:设原来火车的平均速度为 x 千米/时,则动车运行后的平均速度为 1.8x, 由题意得, = +1.2. 故答案为: = +1.2. 16.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点,两边 PE,PF 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 EF 交 AP 于点 G.给出以下 四个结论,其中正确的结论是 ①③④ . ① AE=CF, ② AP=EF, ③ △EPF 是等腰直角三角形, ④ 四边形 AEPF 的面积是△ABC 面积的一半. 【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点, ∴∠B=∠C=45°,AP⊥BC,AP= BC=PC=BP,∠BAP=∠CAP=45°, ∵∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°, ∴∠FPC=∠EPA. ∴△APE≌△CPF(ASA), ∴AE=CF;EP=PF,即△EPF 是等腰直角三角形;故 ①③ 正确; S△AEP=S△CFP, ∵四边形 AEPF 的面积=S△AEP+S△APF=S△CFP+S△APF=S△APC= S△ABC, ∴四边形 AEPF 的面积是△ABC 面积的一半,故 ④ 正确 ∵△ABC 是等腰直角三角形,P 是 BC 的中点, ∴AP= BC, ∵EF 不是△ABC 的中位线, ∴EF≠AP,故 ② 错误; 故答案为: ①③④ . 三、解答题(本大题共 7 小题,共 52 分.解答应写明文字说明和运算步骤) 17.(10 分)计算 (1)4(a﹣b)2﹣(2a+b)(2a﹣b). (2)先化简,再求值(a+2﹣ )÷ ,其中 a=1 【解答】解:(1)原式=4(a2﹣2ab+b2)﹣(4a2﹣b2) =4a2﹣8ab+4b2﹣4a2+b2 =﹣8ab+5b2; (2)原式=( ﹣ )÷ = • = • = , 当 a=1 时, 原式= =﹣ . 18.(6 分)给出下列等式:21﹣20=20,22﹣21=21,23﹣22=22,24﹣23=23,…… (1)探索上面式子的规律,试写出第 n 个等式,并证明其成立. (2)运用上述规律计算 20+21+22+…+22017+22018 值. 【解答】(1)第 n 个等式是:2n﹣2n﹣1=2n﹣1, 证明:∵2n﹣2n﹣1 =2×2n﹣1﹣2n﹣1 =(2﹣1)×2n﹣1 =1×2n﹣1 =2n﹣1, ∴2n﹣2n﹣1=2n﹣1 成立; (2)20+21+22+…+22017+22018 =(21﹣20)+(22﹣21)+(23﹣22)+…+(22019﹣22018) =21﹣20+22﹣21+23﹣22+…+22019﹣22018 =﹣20+22019 =22019﹣1. 19.(6 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高, (1)尺规作图:作△ABC 的角平分线 AE,交 CD 于点 F(不写作法,保留作图痕迹); (2)求证:△CEF 为等腰三角形. 【解答】(1)解:如图线段 AE 即为所求; (2)证明:∵CD⊥AB, ∴∠BDC=∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠DCB=90°,∠DCB+∠B=90°, ∴∠ACD=∠B, ∵∠CFE=∠ACF+∠CAF,∠CEF=∠B+∠EAB,∠CAF=∠EAB, ∴∠CEF=∠CFE, ∴CE=CF, ∴△CEF 是等腰三角形. 20.(6 分)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)请画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1; (2)在 y 轴上求作一点 P,使△PAC 的周长最小,并直接写出 P 的坐标. 【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)连接 A1C 交 y 轴于 P,连接 AP,则点 P 即为所求. 根据轴对称的性质可得,A1P=AP, ∵A1P+CP=A1C(最短), ∴AP+PC+AC 最短,即△PAC 的周长最小, ∵C(3,4),A1(﹣1,1), ∴直线 A1C 解析式为 y= x+ , ∴当 x=0 时,y= , ∴P(0, ). 21.(6 分)某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行 改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成 工程所需天数是规定天数的 1.5 倍.如果由甲、乙队先合做 15 天,那么余下的工程 由甲队单独完成还需 5 天.这项工程的规定时间是多少天? 【解答】解:设这项工程的规定时间是 x 天,根据题意得 =1. 解得:x=30. 经检验 x=30 是方程的解. 答:这项工程的规定时间是 30 天. 22.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC,AB⊥BC,AB=BC,点 C 在第一象限.已知点 A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点 P 在线段 OB 上,且 OP =OA. (1)点 C 的坐标为 (n,m+n) (用含 m,n 的式子表示) (2)求证:CP⊥AP. 【解答】解:(1)如图,过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D, ∴∠CDB=90°, ∴∠DCB+∠DBC=90°,且∠ABO+∠CBD=90°, ∴∠DCB=∠ABO,且 AB=BC,∠CDB=∠AOB=90°, ∴△CDB≌△BOA(AAS) ∴BO=CD=n,AO=BD=m, ∴OD=m+n, ∴点 C(n,m+n), 故答案为:(n,m+n); (2)∵OP=OA=m,OD=m+n, ∴DP=n=DC,∠OPA=45°, ∴∠DPC=45°, ∴∠APC=90°, ∴AP⊥PC. 23.(10 分)如图(1)AC⊥AB,BD⊥AB,AB=12cm,AC=BD=8cm,点 P 在线段 AB 上以 2cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动,它们运动的时间为 t(s). (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t=2 时,△ACP 与△BPQ 是否 全等,请说明理由; (2)在(1)的条件下,判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,并证明; (3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”, 其他条件不变.设点 Q 的运动速度为 xcm/s,是否存在实数 x,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的 x、t 的值;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)△ACP 与△BPQ 全等, 理由如下:当 t=2 时,AP=BQ=4cm, 则 BP=12﹣4=8cm, ∴BP=AC=8cm, 又∵∠A=∠B=90°, 在△ACP 和△BPQ 中, , ∴△ACP≌△BPQ(SAS). (2)PC⊥PQ, 证明:∵△ACP≌△BPQ, ∴∠ACP=∠BPQ, ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. ∴∠CPQ=90°, 即线段 PC 与线段 PQ 垂直. (3) ① 若△ACP≌△BPQ, 则 AC=BP,AP=BQ, ∴12﹣2t=8, 解得,t=2(s), 则 x=2(cm/s). ② 若△ACP≌△BQP, 则 AC=BQ,AP=BP, 则 2t= ×12, 解得,t=3(s),则 x=8÷3= (cm/s), 故当 t=2s,x=2cm/s 或 t=3s,x= cm/s 时,△ACP 与△BPQ 全等. 八年级数学期末质量检测试卷(三) 一、选择题(本大题共 10 小题,共 30.0 分) 1. 在直角坐标系中,已知点 rial 在第四象限,则 r A. l 香 䁥 B. l 䁥 C. l ᦙ 䁥 D. l 䁥【答案】A 【解析】解: 点 rial 在第四象限, l 香 䁥 . 故选:A. 直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案. 此题主要考查了点的坐标,正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键. i. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”, 其中是轴对称图形的是 r A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解:A、不是轴对称图形,本选项错误; B、不是轴对称图形,本选项错误; C、不是轴对称图形,本选项错误; D、是轴对称图形,本选项正确. 故选:D. 根据轴对称图形的概念求解即可. 本题考查了轴对称图形的概念 . 轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可 重合. 3. 已知 y 关于 x 成正比例,且当 i 时, ,则当 1 时,y 的值为 r A. 3 B. 3 C. 12 D. 1i 【答案】B 【解析】解:设 o , 当 i 时, , io ,解得 o 3 , 3 , 当 1 时, 3 1 3 . 故选:B. 先利用待定系数法求出 3 ,然后计算 1 对应的函数值. 本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式:设正比例函数解析式为 oro 䁥 , 然后把一个已知点的坐标代入求出 k 即可. 4. 一个三角形的两条边长分别为 3 和 7,则第三边的长可能是 r A. 3 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】解:根据三角形的三边关系,得 第三边应 ᦙ 4 ,而 香 1䁥 . 下列答案中,只有 7 符合. 故选:B. 根据三角形的三边关系“任意两边之和 ᦙ 第三边,任意两边之差 香 第三边”,进行分析 求解. 此题考查了三角形的三边关系. 5. 不等式组 香 1 ᦙi 的解集为 r A. ᦙ i B. 香 1 C. i 香 香 1 D. 无解 【答案】C 【解析】解:不等式组 香 1 ᦙi 的解集为 i 香 香 1 , 故选:C. 根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集. 本题主要考查不等式的解集,解题的关键是掌握确定不等式组解集的口诀. . 将以点 r 3a䁩 , r 3a 3 为端点的线段 AB 向右平移 5 个单位得到线段 , 则线段 的中点坐标是 r A. ria5 B. riai C. r a5 D. r ai 【答案】B 【解析】解: 线段 AB 的中点坐标为 r 3ai ,则线段 的中点坐标是 r 3 5ai 即 riai , 故选:B. 先求得线段 AB 的中点坐标,再根据横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移 减求解可得. 本题主要考查坐标与图形的变化 平移,解题的关键是掌握平移变换下点的坐标变化规 律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减. 䁩. 已知 l 香 䁥 ,则下列不等式中不成立的是 r A. il 香 l B. l i ᦙ 䁥 C. 1 il 香 1 D. l i 香 䁥【答案】C 【解析】解:A、 l 香 䁥 , il 香 l ,正确,不合题意; B、 l 香 䁥 , l i ᦙ 䁥 ,正确,不合题意; C、 l 香 䁥 , 1 il ᦙ 1 ,原式错误,符合题意; D、 l 香 䁥 , l i 香 䁥 ,正确,不合题意; 故选:C. 直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案. 此题主要考查了不等式的性质,正确应用不等式基本性质是解题关键. . 如图, 䁨 中, 䁥 , , 䁨 ,将 䁨 折叠,使点 C 与 AB 的中点 D 重合,折痕交 AC 于点 M,交 BC 于点 N,则线段 BN 的长为 r A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】解: 是 AB 中点, , 3 , 折叠 ܰ 䁨ܰ , ܰ 䁨 䁨ܰ ܰ , 在 ܰ 中, ܰ i ܰ i i , ܰ i r ܰ i , ܰ 5 ܰ 4 , 故选:B. 由折叠的性质可得 ܰ 䁨ܰ ,根据勾股定理可求 DN 的长,即可求 BN 的长. 本题考查了翻折变换,折叠的性质,勾股定理,熟练运用折叠的性质是本题的关键. . 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M,N,P,Q 的位置 如图所示 . 若直线 o 经过第一、三象限,则直线 o i 可能经过的点是 r A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q 【答案】A 【解析】解: 直线 o 经过第一、三象限, 直线 o i 平行直线 o ,且经过 r䁥a i , 观察图象可知直线 o i 不经过点 N、P、Q, 直线 o i 经过点 M, 故选:A. 根据直线 o i 的位置,利用排除法即可解决问题. 本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、正比例函数的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 1䁥. 如图,在 䁨 中, 䁨 于点 E, 䁨 于点 D;点 F 是 AB 的中点,连结 DF,EF,设 ᦙ , 䁨 , 则 r A. B. 1 i 䁥C. i 1䁥D. 䁥 【答案】B 【解析】解: 䁨 于点 E, 䁨 于点 D; 䁥 , 点 F 是 AB 的中点, ᦙ ᦙ , ᦙ ᦙ , ᦙ ᦙ , ᦙ ᦙ , ᦙ 1䁥 i䁨 , ᦙ 1䁥 i䁨 , 1䁥 ᦙ ᦙ ir䁨 䁨 1䁥 ir1䁥 1䁥 1䁥 i , 1 i 䁥 , 故选:B. 由垂直的定义得到 䁥 ,根据直角三角形的性质得到 ᦙ ᦙ , ᦙ ᦙ ,根据等腰三角形的性质得到 ᦙ ᦙ , ᦙ ᦙ ,于是得到结论. 本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和,正确的识别图形 是解题的关键. 二、填空题(本大题共 6 小题,共 18.0 分) 11. 点 ria3 关于 x 轴的对称点的坐标为______. 【答案】 ria 3 【解析】解: 点 ria3 关于 x 轴的对称点的坐标为: ria 3 . 故答案为: ria 3 . 根据关于 x 轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数 . 即点 ra 关于 x 轴的对称点 的坐标是 ra 得出即可. 此题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称点的性质,正确记忆坐标规律是解题关键. 1i. 用不等式表示“a 的 2 倍与 3 的差是非负数”:______. 【答案】 il 3 䁥【解析】解:由题意得: il 3 䁥 . 故答案为: il 3 䁥 . 首先表示出a的2倍与3的差为 il 3 ,再表示非负数是: 䁥 ,故可得不等式 il 3 䁥 . 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式,关键是正确理解题意,要抓住题目 中的关键词“非负数”正确选择不等号. 13. 如图,在 䁨 中,AD 是高,AE 是角平分线,若 䁩i , 1 ,则 䁨 ______度 . 【答案】40 【解析】解: 是高, 䁩i , 1 , 1 1 34 , 是角平分线, 䁨 , 䁨 1䁥 䁩i 4䁥 . 故答案为:40 根据三角形的内角和得出 1 ,再利用角平分线得出 䁨 ,利用三角形 内角和解答即可. 本题考查了三角形的内角和定理,熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于 1䁥 是解题的关键. 14. 若 r1a1 , riai 是直线 3 上不同的两点,记 1i 1i ,则函数 i的图象经过第______象限. 【答案】一、三、四 【解析】解: r1a1 , riai 是直线 3 上不同的两点, 1 31 , i 3i , 1i 1i 1i 313i 1 3 ᦙ 䁥 , 函数 i 的图象经过第一、三、四象限, 故答案为:一、三、四 将点 A,点 B 坐标代入解析式,可得 1 31 , i 3i ,可得 1 3 ,即可求解. 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数性质,熟练运用一次函数性质是本 题的关键. 15. 如图,数轴上 A 点表示数 7,B 点表示数 5,C 为 OB 上一点,当以 OC、CB、BA 三条线段为边,可以围成等腰三角形时,C 点表示数______. 【答案】2 或 i.5 或 3 【解析】解: 数轴上 A 点表示数 7,B 点表示数 5, i , 以 OC、CB、BA 三条线段为边围成等腰三角形时, 若 䁨 i ,则 䁨 5 i 3 ,所以 C 点表示数为 3, 若 䁨 i ,所以 C 点表示数为 2, 若 䁨 䁨 ,则 䁨 5 i i.5 ,所以 C 点表示数为 i.5 , 故答案为:2 或 i.5 或 3. 根据等腰三角形的两边相等进行解答即可. 本题考查了等腰三角形两边相等的性质,注意分类讨论得出是解题关键. 1. 小婷家与学校之间是一条笔直的公路,小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨 天的回家作业本,便向路人借了手机打给妈妈,妈妈接到电话后,带上作业本马上 赶往学校,同时小婷沿原路返回 . 两人相遇后,小婷立即赶往学校,妈妈沿原路返 回家,并且小婷到达学校比妈妈到家多用了 5 分钟,若小婷步行的速度始终是每分 钟 100 米,小婷和妈妈之间的距离 y 与小婷打完电话后步行的时间 x 之间的函数关 系如图所示 r1 妈妈从家出发______分钟后与小婷相遇; ri 相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟______米,小婷家离学校的距离为______ 米 . 【答案】8 60 2100 【解析】解: r1 当 时, 䁥 , 故妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇, ri 当 䁥 时, 14䁥䁥 , 相遇后 1 1䁥 分钟小婷和妈妈的距离为 1600 米, 1䁥䁥 r1 1䁥䁥 䁥r 米 分 , 相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 60 米; 1䁥䁥 ri3 1 1䁥䁥 i1䁥䁥r 米 , 小婷家离学校的距离为 2100 米. 故答案为:8;60;2100. 由当 时, 䁥 ,可得出妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇; 利用速度 路程 时间结合小婷的速度,可求出小婷和妈妈相遇后,妈妈回家的速度为 60 米 分; 根据路程 1䁥䁥 小婷步行的速度 ri3 1 ,即可得出小婷家离学校的距离. 本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利 用数形结合的思想解答. 三、解答题(本大题共 7 小题,共 52.0 分) 1䁩. 解不等式组 ir 3 香 4 i r 1 i 并写出它的整数解. 【答案】解: ir 3 香 4① i r 1 i ② , 由 ① 得 ᦙ i , 由 ② 得 , 故不等式组的整数解为: i 香 , 它的整数解有 3,4,5,6. 【解析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,再其公共解集内找出符合条件 的 x 的整数解即可. 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大 小小找不到的原则是解答此题的关键. 1. 判断下列命题的真假,若是假命题,请举出反例;若是真命题,请给出证明. ① 若 l ᦙ 㤷 ,则 l i ᦙ 㤷 i ; ② 三个角对应相等的两个三角形全等. 【答案】解: ① 若 l ᦙ 㤷 ,则 l i ᦙ 㤷 i 是假命题, 例如: l 1 , 㤷 i , l ᦙ 㤷 ,但 l i 香 㤷 i ; ② 三个角对应相等的两个三角形全等是假命题, 例如:两个边长不相等的等边三角形不全等. 【解析】 ① 根据乘方法则举例即可; ② 根据全等三角形的概念、等边三角形的性质举例. 本题考查的是命题的真假判断,要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判 断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. 1. 如图, 䁨 , 䁨 ,垂足分别为 D,E,BE 和 CD 相交于点 O, 䁨 , 连 AO,求证: r1 ≌ 䁨 ; ri 1 i . 【答案】证明: r1 䁨 , 䁨 , 䁨 䁥 , 在 和 䁨 中, 䁨 䁨 䁨 , ≌ 䁨r . ri ≌ 䁨 , , , 䁨 , 1 i . 【解析】 r1 根据 AAS 证明 ≌ 䁨 即可; ri 利用角平分线的判定定理证明即可; 本题考查全等三角形的判定和性质,角平分线的判定定理等知识,解题的关键是熟练掌 握基本知识,属于中考常考题型. i䁥. 已知 y 是 x 的一次函数,且当 i 时, 䁩 ;当 3 时, . r1 求这个一次函数的表达式; ri 求当 i 香 香 4 时 y 的取值范围. 【答案】解: r1 设一次函数解析式为 o 㤷 , 根据题意得 3o 㤷 io㤷 䁩 ,解得 㤷 1 o 3 , 所以这个一次函数的表达式为 3 1 ; ri 当 4 时, 3 1 11 , 所以当 i 香 香 4 时 y 的取值范围为 11 香 香 䁩 . 【解析】 r1 利用待定系数法求一次函数解析式; ri 先计算出 4 时的函数值,然后根据一次函数的性质求解. 本题考查了待定系数法求一次函数解析式:先设出函数的一般形式,如求一次函数的解 析式时,先设 o 㤷 ;将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解析 式,得到关于待定系数的方程或方程组;解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写 出函数解析式 . 也考查了一次函数的性质. i1. 格点 䁨 在直角坐标系中的位置如图所示. r1 直接写出点 A,B,C 的坐标和 䁨 的面积; ri 作出 䁨 关于 y 轴对称的 11䁨1 . 【答案】解: r1 由图知 ria3 , r3a1 , 䁨r ia i , 䁨 的面积为 5 5 1 i 1 i 1 i 3 5 1 i 5 4 13 i ; ri 如图所示, 11䁨1 即为所求. 【解析】 r1 由图可得三顶点的坐标,再根据割补法求解可得; ri 分别作出点 A,B,C 关于 y 轴的对称点,再首尾顺次连接即可得. 此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键. ii. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 1 : 3 1与 y 轴交于点 . 直线 i : 㤷 与直线 1 交于点 r1a ,与 y 轴交于点 C. r1 求 m 的值和点 C 的坐标; ri 已知点 rla䁥 在 x 轴上,过点 M 作直线 3 轴, 分别交直线 1 , i 于 D,E,若 ,求 a 的值. 【答案】解: r1 把点 r1a 代入 3 1 得, 4 , 点 C 的坐标为: r䁥a5 ; ri 由 r1 得,直线 i 的解析式为: 5 , 过点 M 作直线 3 轴,分别交直线 1 , i 于 D,E, rla3l 1 , rla l 5 , , 3l 1 r l 5 , l 5 i 或 l 1 i . 【解析】 r1 把点 r1a 代入 3 1 即可得到结论; ri 由 r1 得到直线 i 的解析式为 4 ,过点 M 作直线 3 轴,分别交直线 1 , i于 D,E,得到 rla3l 1 , r l 4 ,列方程即可得到结论. 本题考查了两条直线相交或平行,正确的识别图象是解题的关键. i3. 已知 䁨 是等边三角形,点 D 是 BC 边上一动点,连结 AD r1 如图 1,若 i , 䁨 4 ,求 AD 的长; ri 如图 2,以 AD 为边作 ᦙ 䁥 ,分别交 AB,AC 于点 E,F. ① 小明通过观察、实验,提出猜想:在点 D 运动的过程中,始终有 ᦙ ,小 明把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法 想法 1:利用 AD 是 ᦙ 的角平分线,构造角平分线的性质定理的基本图形,然 后通过全等三角形的相关知识获证. 想法 2:利用 AD 是 ᦙ 的角平分线,构造 ᦙ 的全等三角形,然后通过等腰 三角形的相关知识获证. 请你参考上面的想法,帮助小明证明 ᦙ.r 一种方法即可 ② 小聪在小明的基础上继续进行思考,发现:四边形 AEDF 的面积与 AD 长存在很 好的关系 . 若用 S 表示四边形 AEDF 的面积,x 表示 AD 的长,请你直接写出 S 与 x 之间的关系式. 【答案】解: r1 如图,过点 A 作 䁨 于点 G, i , 䁨 4 , 䁨 , 䁨 是等边三角形, 䁨 , 䁨 , 1 i 䁨 3 , 3 i 1 , 在 中, i i 3 3 , 在 中, i i i 䁩 ri ① 想法 1:如图,过点 A 作 ᦙ 于点 M,作 ,交 DE 的延长线于点 H, 平分 ᦙ , , ᦙ , ᦙ 䁥 , ᦙ 1i䁥 , ᦙ 䁨 ᦙ 3䁥 , ᦙ 1䁥 ,且 1䁥 , ᦙ ,且 , ᦙ 䁥 , ≌ ᦙr ᦙ想法 2:如图,延长 DE 至 N,使 ܰ ᦙ , ܰ ᦙ , , ᦙ 䁥 , ܰ≌ ᦙr ܰ ᦙ , ᦙ ܰ , ᦙ 䁥 , ᦙ 1i䁥 , ᦙ 䁨 ᦙ 3䁥 , ᦙ 1䁥 ,且 ܰ 1䁥 , ܰ ᦙ , ܰ ܰ , ܰ ᦙ , ② 如图, 由 ① 中想法 1 可得 ≌ ᦙ , ᦙ , 四边形 ᦙ 四边形 , ᦙ 䁥 , ᦙ , 1 i , 3 3 i , 1 i 3 i 3 i , , , ≌ rሺ , 四边形 ᦙ 四边形 i 3 4 i . 【解析】 r1 由等边三角形的性质可求 䁨 , 1 i 䁨 3 , 1 ,由勾股 定理可求 AG,AD 的长; ri ① 想法 1:过点 A 作 ᦙ 于点 M,作 ,交 DE 的延长线于点 H,由角 平分线的性质可得 ,由“AAS”可证 ≌ ᦙ ,可得 ᦙ ; 想法 2:延长 DE 至 N,使 ܰ ᦙ ,由“SAS”可证 ܰ≌ ᦙ ,可得 ܰ ᦙ , ᦙ ܰ ,由四边形内角和为 3䁥 ,可得 ܰ ᦙ ܰ ,可得 ܰ ᦙ ; ② 由想法 1 可得 四边形 ᦙ 四边形 i 3 4 i . 本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理 等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.