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- 2021-10-27 发布
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八年级数学期末质量检测试卷(一)
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
1.(4 分)已知点 P(0,m)在 y 轴的负半轴上,则点 M(﹣m,1)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(4 分)已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是( )
A.16 B.11 C.3 D.6
3.(4 分)已知 P1(﹣3,y1),P2(2,y2)是一次函数 y=2x+1 的图象上的两个点,则
y1,y2 的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定
4.(4 分)函数 的自变量 x 的取值范围是( )
A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3
5.(4 分)下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志,在这四个标志中,
是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.(4 分)一次函数 y=kx+k 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.(4 分)“等腰三角形两底角相等”的逆命题是( )
A.等腰三角形“三线合一”
B.底边上高和中线重合的三角形等腰
C.两个角互余的三角形是等腰三角形
D.有两个角相等的三角形是等腰三角形
8.(4 分)已知图中的两个三角形全等,则∠1 等于( )
A.50° B.58° C.60° D.72°
9.(4 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,AB=10,
S△ABD=15,则 CD 的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.(4 分)已知:如图,在△ABC,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD
=AE,点 C,D,E 三点在同一条直线上,连接 BD,BE.以下四个结论:
①
BD=CE;
②
∠ACE+∠DBC=45°;
③
BD⊥CE;
④
∠BAE+∠DAC=180°.
其中结论正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11.(5 分)已知点 A(1,﹣2),若 A、B 两点关于 x 轴对称,则 B 的坐标是 .
12.(5 分)把直线 y=﹣ x 向下平移 个单位得到直线 y=﹣ x﹣2.
13.(5 分)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的
度数为 .
14.(5 分)如图所示,第 1 个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成,第 2 个,
第 3 个图案可以看作是第 1 个图案经过平移而得,那么设第 n 个图案中有白色地面
砖 m 块,则 m 与 n 的函数关系式是 .
三、解答题(共 9 小题,满分 60 分)
15.(6 分)如图,在平面网格中每个小正方形边长为 1.
(1)线段 CD 是线段 AB 经过怎样的平移后得到的;
(2)线段 AC 是线段 BD 经过怎样的平移后得到的.
16.(6 分)正比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=﹣3x+k 的图象交于点 P(1,m),
求:
(1)k 的值;
(2)两条直线与 x 轴围成的三角形的面积.
17.(6 分)已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE 与 BF 相交于 D,且 BD=CD.求证:
∠BAD=∠CAD.
18.(6 分)如图,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,
求∠DFB 和∠DGB 的度数.
19.(7 分)如图,在等边△ABC 中,点 D,E 分別在边 BC,AC 上,DE∥AB,过点 E
作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数;
(2)若 CD=2,求 DF、EF 的长.
20.(7 分)如图,直线 l1:y1=x 和直线 l2:y2=﹣2x+6 相交于点 A,直线 l2 与 x 轴交
于点 B,动点 P 沿路线 O→A→B 运动.
(1)求点 A 的坐标,并回答当 x 取何值时 y1>y2?
(2)求△AOB 的面积;
(3)当△POB 的面积是△AOB 的面积的一半时,求出这时点 P 的坐标.
21.(7 分)如图所示,在△ABC 中,∠A=40°,∠B=90°,AC 的垂直平分线 MN
分别与 AB、AC 交于点 D、E,求∠BCD 的度数.
22.(7 分)如图,在△ABD 和△ACE 中,有四个等式:
①
AB=AC;
②
AD=AE;
③
∠
1=∠2;
④
BD=CE,请你从其中三个等式作为题设,设另一个作为结论,写出一个
真命题,并给出证明.(要求写出已知、求证及证明过程)
23.(8 分)已知:点 O 到△ABC 的两边 AB,AC 所在直线的距离相等,且 OB=OC.
(1)如图 1,若点 O 在边 BC 上,求证:AB=AC;
(2)如图 2,若点 O 在△ABC 的内部,求证:AB=AC;
(3)若点 O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗?请画出图表示.
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)
1.(4 分)已知点 P(0,m)在 y 轴的负半轴上,则点 M(﹣m,1)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:∵点 P(0,m)在 y 轴的负半轴上,
∴m<0,
∴﹣m>0,
∴点 M(﹣m,1)在第一象限,
故选:A.
2.(4 分)已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是( )
A.16 B.11 C.3 D.6
【解答】解:设第三边的长度为 x,
由题意得:7﹣3<x<7+3,
即:4<x<10,
故选:D.
3.(4 分)已知 P1(﹣3,y1),P2(2,y2)是一次函数 y=2x+1 的图象上的两个点,则
y1,y2 的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定
【解答】解:∵一次函数 y=2x+1 中 k=2>0,
∴此函数是增函数,
∵﹣3<2,
∴y1<y2.
故选:B.
4.(4 分)函数 的自变量 x 的取值范围是( )
A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3
【解答】解:根据题意得:3﹣x≥0,
解得 x≤3.
故选:D.
5.(4 分)下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志,在这四个标志中,
是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
B、不是轴对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
D、是轴对称图形,故此选项正确;
故选:D.
6.(4 分)一次函数 y=kx+k 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:当 k>0 时,函数图象经过一、二、三象限;
当 k<0 时,函数图象经过二、三、四象限,故 B 正确.
故选:B.
7.(4 分)“等腰三角形两底角相等”的逆命题是( )
A.等腰三角形“三线合一”
B.底边上高和中线重合的三角形等腰
C.两个角互余的三角形是等腰三角形
D.有两个角相等的三角形是等腰三角形
【解答】解:“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三
角形,故选 D.
8.(4 分)已知图中的两个三角形全等,则∠1 等于( )
A.50° B.58° C.60° D.72°
【解答】解:
∵△ABC 和△DEF 全等,AC=DF=b,DE=AB=a,
∴∠1=∠B,∠A=∠D=50°,∠F=∠C=72°,
∴∠1=180°﹣∠D﹣∠F=58°,
故选:B.
9.(4 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,AB=10,
S△ABD=15,则 CD 的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 E,
∵∠C=90°,AD 平分∠BAC,
∴DE=CD,
∴S△ABD= AB•DE= ×10•DE=15,
解得 DE=3,
∴CD=3.
故选:A.
10.(4 分)已知:如图,在△ABC,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD
=AE,点 C,D,E 三点在同一条直线上,连接 BD,BE.以下四个结论:
①
BD=CE;
②
∠ACE+∠DBC=45°;
③
BD⊥CE;
④
∠BAE+∠DAC=180°.
其中结论正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:
①
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
∵在△BAD 和△CAE 中, ,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,本选项正确;
②
∵△ABC 为等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABD+∠DBC=45°,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∴∠ACE+∠DBC=45°,本选项正确;
③
∵∠ABD+∠DBC=45°,
∴∠ACE+∠DBC=45°,
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,
则 BD⊥CE,本选项正确;
④
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°,故此选项正确,
故选:D.
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
11.(5 分)已知点 A(1,﹣2),若 A、B 两点关于 x 轴对称,则 B 的坐标是 (1,2) .
【解答】解:∵A、B 两点关于 x 轴对称,
∴点 B 的坐标是(1,2).
故答案为:(1,2).
12.(5 分)把直线 y=﹣ x 向下平移 2 个单位得到直线 y=﹣ x﹣2.
【解答】解:∵0﹣(﹣2)=2,
∴根据“上加下减”的原则可知,把直线 y=﹣ x 向下平移 2 个单位得到直线 y=
﹣ x﹣2.
故答案为:2.
13.(5 分)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的
度数为 120°或 20° .
【解答】解:设两个角分别是 x,4x
①
当 x 是底角时,根据三角形的内角和定理,得 x+x+4x=180°,解得,x=30°,
4x=120°,即底角为 30°,顶角为 120°;
②
当 x 是顶角时,则 x+4x+4x=180°,解得,x=20°,从而得到顶角为 20°,底
角为 80°;
所以该三角形的顶角为 120°或 20°.
故答案为:120°或 20°.
14.(5 分)如图所示,第 1 个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成,第 2 个,
第 3 个图案可以看作是第 1 个图案经过平移而得,那么设第 n 个图案中有白色地面
砖 m 块,则 m 与 n 的函数关系式是 m=4n+2 .
【解答】解:首先发现:第一个图案中,有白色的是 6 个,后边是依次多 4 个.
所以第 n 个图案中,是 6+4(n﹣1)=4n+2.
∴m 与 n 的函数关系式是 m=4n+2.
故答案为:4n+2.
三、解答题(共 9 小题,满分 60 分)
15.(6 分)如图,在平面网格中每个小正方形边长为 1.
(1)线段 CD 是线段 AB 经过怎样的平移后得到的;
(2)线段 AC 是线段 BD 经过怎样的平移后得到的.
【解答】解:(1)将线段 AB 向右(或下)平移 3 个小格(或 4 个小格),再向下(或
右)平移 4 个小格(或 3 个小格),得线段 CD.
(2)将线段 BD 向右平移(或向下平移 1 个小格)3 个小格,再向下平移(可左平
移 3 个小格)1 个小格,得到线段 AC.
16.(6 分)正比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=﹣3x+k 的图象交于点 P(1,m),
求:
(1)k 的值;
(2)两条直线与 x 轴围成的三角形的面积.
【解答】解:(1)∵正比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=﹣3x+k 的图象交于点 P
(1,m),
∴把点 P(1,m)代入得:
,
把
①
代入
②
得:k=5;
(2)根据题意,如图:
∵点 P(1,2),
∴三角形的高就是 2,
∵y=﹣3x+5,
∴A(0, ),
∴OA= ,
∴S△AOP= × ×2=
17.(6 分)已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE 与 BF 相交于 D,且 BD=CD.求证:
∠BAD=∠CAD.
【解答】证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在△BED 和△CFD 中,
,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF,
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠BAD=∠CAD.
18.(6 分)如图,△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,
求∠DFB 和∠DGB 的度数.
【解答】解:∵△ABC≌△ADE,
∴∠DAE=∠BAC= (∠EAB﹣∠CAD)= .
∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°
∠DGB=∠DFB﹣∠D=90°﹣25°=65°.
综上所述:∠DFB=90°,∠DGB=65°.
19.(7 分)如图,在等边△ABC 中,点 D,E 分別在边 BC,AC 上,DE∥AB,过点 E
作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数;
(2)若 CD=2,求 DF、EF 的长.
【解答】解:(1)∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=60°,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°;
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴△EDC 是等边三角形.
∴ED=DC=2,
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4,
∴EF= DE=2 .
20.(7 分)如图,直线 l1:y1=x 和直线 l2:y2=﹣2x+6 相交于点 A,直线 l2 与 x 轴交
于点 B,动点 P 沿路线 O→A→B 运动.
(1)求点 A 的坐标,并回答当 x 取何值时 y1>y2?
(2)求△AOB 的面积;
(3)当△POB 的面积是△AOB 的面积的一半时,求出这时点 P 的坐标.
【解答】解:(1)∵直线 l1 与直线 l2 相交于点 A,
∴y1=y2,即﹣2x+6=x,解得 x=2,
∴y1=y2=2,
∴点 A 的坐标为(2,2);
观察图象可得,当 x>2 时,y1>y2;
(2)由直线 l2:y2=﹣2x+6 可知,当 y=0 时,x=3,
∴B(3,0),
∴S△AOB= ×3×2=3;
(3)∵△POB 的面积是△AOB 的面积的一半,
∴P 的纵坐标为 1,
∵点 P 沿路线 O→A→B 运动,
∴P(1,1)或( ,1).
21.(7 分)如图所示,在△ABC 中,∠A=40°,∠B=90°,AC 的垂直平分线 MN
分别与 AB、AC 交于点 D、E,求∠BCD 的度数.
【解答】解:∵∠B=90°,∠A=40°,
∴∠ACB=50°,
∵MN 是线段 AC 的垂直平分线.
∴AE=CE.
在△ADE 和△CDE 中,
. .
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴∠DCA=∠A=40°
∴∠BCD=∠ACB﹣∠DCA
=50°﹣40°
=10°.
22.(7 分)如图,在△ABD 和△ACE 中,有四个等式:
①
AB=AC;
②
AD=AE;
③
∠
1=∠2;
④
BD=CE,请你从其中三个等式作为题设,设另一个作为结论,写出一个
真命题,并给出证明.(要求写出已知、求证及证明过程)
【解答】解:解法一:如果 AB=AC,AD=AE,BD=CE,那么∠1=∠2.
已知:在△ABD 和△ACE 中,AB=AC,AD=AE,BD=CE,
求证:∠1=∠2.
证明:在△ABD 和△ACE 中,
,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴∠1=∠2.
解法二:如果 AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,那么 BD=CE.
已知:在△ABD 和△ACE 中,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,
求证:BD=CE.
证明:∵∠1=∠2,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中,
,
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE.
23.(8 分)已知:点 O 到△ABC 的两边 AB,AC 所在直线的距离相等,且 OB=OC.
(1)如图 1,若点 O 在边 BC 上,求证:AB=AC;
(2)如图 2,若点 O 在△ABC 的内部,求证:AB=AC;
(3)若点 O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗?请画出图表示.
【解答】(1)证明:过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,
由题意知,
在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)证明:过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,
由题意知,OE=OF.∠BEO=∠CFO=90°,
∵在 Rt△OEB 和 Rt△OFC 中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠OBE=∠OCF,
又∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(3)解:不一定成立,当∠A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时 AB=
AC,否则 AB≠AC.(如示例图)
八年级数学期末质量检测试卷(二)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1.(3 分)下列四个图案中,不是轴对称图案的是( )
A. B. C. D.
2.(3 分)已知点 A 的坐标为(﹣2,3),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(2,﹣3) D.(﹣2,﹣3)
3.(3 分)下列运算正确的是( )
A. =±4 B.(ab2)3=a3b6
C.a6÷a2=a3 D.(a﹣b)2=a2﹣b2
4.(3 分)若 x2+mxy+4y2 是一个完全平方式,那么 m 的值是( )
A.±4 B.﹣2 C.±2 D.4
5.(3 分)若 3x=4,9y=7,则 3x﹣2y 的值为( )
A. B. C.﹣3 D.
6.(3 分)如图 1,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b),把余
下的部分剪拼成如图 2 所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积,验证了
一个等式,这则个等式是( )
A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab
7.(3 分)如图,已知∠ACB=∠DBC,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是
( )
A.∠ABC=∠DCB B.∠ABD=∠DCA C.AC=DB D.AB=DC
8.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD、CE 是△ABC 的两条中线,点 P 是 AD
上一个动点,则 BP+EP 的最小值等于线段( )的长度.
A.BC B.CE C.AD D.AC
9.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则∠EDF 的度数为( )
A.45° ∠A B.90 ∠A C.90°﹣∠A D.180°﹣∠A
10.(3 分)如图,△ABC 为等边三角形,AE=CD,AD、BE 相交于点 P,BQ⊥AD 于
Q,PQ=3,PE=1.AD 的长是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
11.(3 分)因式分解:a2b﹣4ab+4b= .
12.(3 分)要使代数式 有意义,则 x 的取值范围是 .
13.(3 分)若 a﹣b=1,ab=2,那么 a+b 的值为 .
14.(3 分)如图所示,将△ABC 沿着 DE 翻折,若∠1+∠2=80°,则∠B= 度.
15.(3 分)繁昌到南京大约 150 千米,由于开通了高铁,动车的的平均速度是汽车的
2.5 倍,这样乘动车到南京比坐汽车就要节省 1.2 小时,设汽车的平均速度为 x 千米/
时,根据题意列出方程 .
16.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC
的中点,两边 PE,PF 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 EF 交 AP 于点 G.给出以下
四个结论,其中正确的结论是 .
①
AE=CF,
②
AP=EF,
③
△EPF 是等腰直角三角形,
④
四边形 AEPF 的面积是△ABC 面积的一半.
三、解答题(本大题共 7 小题,共 52 分.解答应写明文字说明和运算步骤)
17.(10 分)计算
(1)4(a﹣b)2﹣(2a+b)(2a﹣b).
(2)先化简,再求值(a+2﹣ )÷ ,其中 a=1
18.(6 分)给出下列等式:21﹣20=20,22﹣21=21,23﹣22=22,24﹣23=23,……
(1)探索上面式子的规律,试写出第 n 个等式,并证明其成立.
(2)运用上述规律计算 20+21+22+…+22017+22018 值.
19.(6 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高,
(1)尺规作图:作△ABC 的角平分线 AE,交 CD 于点 F(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:△CEF 为等腰三角形.
20.(6 分)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1;
(2)在 y 轴上求作一点 P,使△PAC 的周长最小,并直接写出 P 的坐标.
21.(6 分)某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行
改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成
工程所需天数是规定天数的 1.5 倍.如果由甲、乙队先合做 15 天,那么余下的工程
由甲队单独完成还需 5 天.这项工程的规定时间是多少天?
22.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC,AB⊥BC,AB=BC,点 C
在第一象限.已知点 A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点 P 在线段 OB 上,且 OP
=OA.
(1)点 C 的坐标为 (用含 m,n 的式子表示)
(2)求证:CP⊥AP.
23.(10 分)如图(1)AC⊥AB,BD⊥AB,AB=12cm,AC=BD=8cm,点 P 在线段
AB 上以 2cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D
运动,它们运动的时间为 t(s).
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t=2 时,△ACP 与△BPQ 是否
全等,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,并证明;
(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”,
其他条件不变.设点 Q 的运动速度为 xcm/s,是否存在实数 x,使得△ACP 与△BPQ
全等?若存在,求出相应的 x、t 的值;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1.(3 分)下列四个图案中,不是轴对称图案的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A.此图案是轴对称图形,不符合题意;
B.此图案不是轴对称图形,符合题意;
C.此图案是轴对称图形,不符合题意;
D.此图案是轴对称图形,不符合题意;
故选:B.
2.(3 分)已知点 A 的坐标为(﹣2,3),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A.(﹣2,3) B.(2,3) C.(2,﹣3) D.(﹣2,﹣3)
【解答】解:∵点 A 的坐标为(﹣2,3),
∴点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是(2,﹣3),
故选:B.
3.(3 分)下列运算正确的是( )
A. =±4 B.(ab2)3=a3b6
C.a6÷a2=a3 D.(a﹣b)2=a2﹣b2
【解答】解:A. ,故本选项不合题意;
B.(ab2)3=a3b6,正确;
C.a6÷a2=a4,故本选项不合题意;
D.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项不合题意.
故选:B.
4.(3 分)若 x2+mxy+4y2 是一个完全平方式,那么 m 的值是( )
A.±4 B.﹣2 C.±2 D.4
【解答】解:∵x2+mxy+4y2=x2+mxy+(2y)2,
∴mxy=±2x•2y,
解得:m=±4.
故选:A.
5.(3 分)若 3x=4,9y=7,则 3x﹣2y 的值为( )
A. B. C.﹣3 D.
【解答】解:∵3x=4,9y=7,
∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷(32)y=4÷7= .
故选:A.
6.(3 分)如图 1,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a>b),把余
下的部分剪拼成如图 2 所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积,验证了
一个等式,这则个等式是( )
A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a(a﹣b)=a2﹣ab
【解答】解:图 1 阴影部分面积:a2﹣b2,
图 2 阴影部分面积:(a+b)(a﹣b),
由此验证了等式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,
故选:A.
7.(3 分)如图,已知∠ACB=∠DBC,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是
( )
A.∠ABC=∠DCB B.∠ABD=∠DCA C.AC=DB D.AB=DC
【解答】解:A、∵在△ABC 和△DCB 中
∴△ABC≌△DCB(ASA),故本选项不符合题意;
B、∵∠ABD=∠DCA,∠DBC=∠ACB,
∴∠ABD+∠DBC=∠ACD+∠ACB,
即∠ABC=∠DCB,
∵在△ABC 和△DCB 中
∴△ABC≌△DCB(ASA),故本选项不符合题意;
C、∵在△ABC 和△DCB 中
∴△ABC≌△DCB(SAS),故本选项不符合题意;
D、根据∠ACB=∠DBC,BC=BC,AB=DC 不能推出△ABC≌△DCB,故本选项
符合题意;
故选:D.
8.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD、CE 是△ABC 的两条中线,点 P 是 AD
上一个动点,则 BP+EP 的最小值等于线段( )的长度.
A.BC B.CE C.AD D.AC
【解答】解:如图,连接 PC,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴PB=PC,
∴PB+PE=PC+PE,
∵PE+PC≥CE,
∴P、C、E 共线时,PB+PE 的值最小,最小值为 CE 的长度,
故选:B.
9.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则∠EDF 的度数为( )
A.45° ∠A B.90 ∠A C.90°﹣∠A D.180°﹣∠A
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵BD=CF,BE=CD
∴△BDE≌△CFD,
∴∠BDE=∠CFD,
∠EDF=180°﹣(∠BDE+∠CDF)=180°﹣(∠CFD+∠CDF)=180°﹣(180°
﹣∠C)=∠C,
∵∠A+∠B+∠C=180°.
∴∠A+2∠EDF=180°,
∴∠EDF=90°﹣ ∠A.
故选:B.
10.(3 分)如图,△ABC 为等边三角形,AE=CD,AD、BE 相交于点 P,BQ⊥AD 于
Q,PQ=3,PE=1.AD 的长是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解答】解:∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°;
又∵AE=CD,
在△ABE 和△CAD 中,
,
∴△ABE≌△CAD(SAS);
∴BE=AD,∠CAD=∠ABE;
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°;
∵BQ⊥AD,
∴∠AQB=90°,则∠PBQ=90°﹣60°=30°;
∵PQ=3,
∴在 Rt△BPQ 中,BP=2PQ=6;
又∵PE=1,
∴AD=BE=BP+PE=7.
故选:C.
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
11.(3 分)因式分解:a2b﹣4ab+4b= b(a﹣2)2 .
【解答】解:原式=b(a2﹣4a+4)=b(a﹣2)2,
故答案为:b(a﹣2)2
12.(3 分)要使代数式 有意义,则 x 的取值范围是 x≥﹣1 且 x≠0 .
【解答】解:根据题意,得
,
解得 x≥﹣1 且 x≠0.
13.(3 分)若 a﹣b=1,ab=2,那么 a+b 的值为 ±3 .
【解答】解:把 a﹣b=1,两边平方得:(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=1,
把 ab=2 代入得:a2+b2=5,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=9,
则 a+b=±3,
故答案为:±3
14.(3 分)如图所示,将△ABC 沿着 DE 翻折,若∠1+∠2=80°,则∠B= 40 度.
【解答】解:∵△ABC 沿着 DE 翻折,
∴∠1+2∠BED=180°,∠2+2∠BDE=180°,
∴∠1+∠2+2(∠BED+∠BDE)=360°,
而∠1+∠2=80°,∠B+∠BED+∠BDE=180°,
∴80°+2(180°﹣∠B)=360°,
∴∠B=40°.
故答案为:40°.
15.(3 分)繁昌到南京大约 150 千米,由于开通了高铁,动车的的平均速度是汽车的
2.5 倍,这样乘动车到南京比坐汽车就要节省 1.2 小时,设汽车的平均速度为 x 千米/
时,根据题意列出方程 = +1.2 .
【解答】解:设原来火车的平均速度为 x 千米/时,则动车运行后的平均速度为 1.8x,
由题意得, = +1.2.
故答案为: = +1.2.
16.(3 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC
的中点,两边 PE,PF 分别交 AB,AC 于点 E,F,连接 EF 交 AP 于点 G.给出以下
四个结论,其中正确的结论是
①③④
.
①
AE=CF,
②
AP=EF,
③
△EPF 是等腰直角三角形,
④
四边形 AEPF 的面积是△ABC 面积的一半.
【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点,
∴∠B=∠C=45°,AP⊥BC,AP= BC=PC=BP,∠BAP=∠CAP=45°,
∵∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°,
∴∠FPC=∠EPA.
∴△APE≌△CPF(ASA),
∴AE=CF;EP=PF,即△EPF 是等腰直角三角形;故
①③
正确;
S△AEP=S△CFP,
∵四边形 AEPF 的面积=S△AEP+S△APF=S△CFP+S△APF=S△APC= S△ABC,
∴四边形 AEPF 的面积是△ABC 面积的一半,故
④
正确
∵△ABC 是等腰直角三角形,P 是 BC 的中点,
∴AP= BC,
∵EF 不是△ABC 的中位线,
∴EF≠AP,故
②
错误;
故答案为:
①③④
.
三、解答题(本大题共 7 小题,共 52 分.解答应写明文字说明和运算步骤)
17.(10 分)计算
(1)4(a﹣b)2﹣(2a+b)(2a﹣b).
(2)先化简,再求值(a+2﹣ )÷ ,其中 a=1
【解答】解:(1)原式=4(a2﹣2ab+b2)﹣(4a2﹣b2)
=4a2﹣8ab+4b2﹣4a2+b2
=﹣8ab+5b2;
(2)原式=( ﹣ )÷
= •
= •
= ,
当 a=1 时,
原式= =﹣ .
18.(6 分)给出下列等式:21﹣20=20,22﹣21=21,23﹣22=22,24﹣23=23,……
(1)探索上面式子的规律,试写出第 n 个等式,并证明其成立.
(2)运用上述规律计算 20+21+22+…+22017+22018 值.
【解答】(1)第 n 个等式是:2n﹣2n﹣1=2n﹣1,
证明:∵2n﹣2n﹣1
=2×2n﹣1﹣2n﹣1
=(2﹣1)×2n﹣1
=1×2n﹣1
=2n﹣1,
∴2n﹣2n﹣1=2n﹣1 成立;
(2)20+21+22+…+22017+22018
=(21﹣20)+(22﹣21)+(23﹣22)+…+(22019﹣22018)
=21﹣20+22﹣21+23﹣22+…+22019﹣22018
=﹣20+22019
=22019﹣1.
19.(6 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高,
(1)尺规作图:作△ABC 的角平分线 AE,交 CD 于点 F(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:△CEF 为等腰三角形.
【解答】(1)解:如图线段 AE 即为所求;
(2)证明:∵CD⊥AB,
∴∠BDC=∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,∠DCB+∠B=90°,
∴∠ACD=∠B,
∵∠CFE=∠ACF+∠CAF,∠CEF=∠B+∠EAB,∠CAF=∠EAB,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
∴△CEF 是等腰三角形.
20.(6 分)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1;
(2)在 y 轴上求作一点 P,使△PAC 的周长最小,并直接写出 P 的坐标.
【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求;
(2)连接 A1C 交 y 轴于 P,连接 AP,则点 P 即为所求.
根据轴对称的性质可得,A1P=AP,
∵A1P+CP=A1C(最短),
∴AP+PC+AC 最短,即△PAC 的周长最小,
∵C(3,4),A1(﹣1,1),
∴直线 A1C 解析式为 y= x+ ,
∴当 x=0 时,y= ,
∴P(0, ).
21.(6 分)某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行
改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成
工程所需天数是规定天数的 1.5 倍.如果由甲、乙队先合做 15 天,那么余下的工程
由甲队单独完成还需 5 天.这项工程的规定时间是多少天?
【解答】解:设这项工程的规定时间是 x 天,根据题意得
=1.
解得:x=30.
经检验 x=30 是方程的解.
答:这项工程的规定时间是 30 天.
22.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC,AB⊥BC,AB=BC,点 C
在第一象限.已知点 A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点 P 在线段 OB 上,且 OP
=OA.
(1)点 C 的坐标为 (n,m+n) (用含 m,n 的式子表示)
(2)求证:CP⊥AP.
【解答】解:(1)如图,过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D,
∴∠CDB=90°,
∴∠DCB+∠DBC=90°,且∠ABO+∠CBD=90°,
∴∠DCB=∠ABO,且 AB=BC,∠CDB=∠AOB=90°,
∴△CDB≌△BOA(AAS)
∴BO=CD=n,AO=BD=m,
∴OD=m+n,
∴点 C(n,m+n),
故答案为:(n,m+n);
(2)∵OP=OA=m,OD=m+n,
∴DP=n=DC,∠OPA=45°,
∴∠DPC=45°,
∴∠APC=90°,
∴AP⊥PC.
23.(10 分)如图(1)AC⊥AB,BD⊥AB,AB=12cm,AC=BD=8cm,点 P 在线段
AB 上以 2cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D
运动,它们运动的时间为 t(s).
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t=2 时,△ACP 与△BPQ 是否
全等,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,并证明;
(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”,
其他条件不变.设点 Q 的运动速度为 xcm/s,是否存在实数 x,使得△ACP 与△BPQ
全等?若存在,求出相应的 x、t 的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)△ACP 与△BPQ 全等,
理由如下:当 t=2 时,AP=BQ=4cm,
则 BP=12﹣4=8cm,
∴BP=AC=8cm,
又∵∠A=∠B=90°,
在△ACP 和△BPQ 中,
,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
(2)PC⊥PQ,
证明:∵△ACP≌△BPQ,
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,
即线段 PC 与线段 PQ 垂直.
(3)
①
若△ACP≌△BPQ,
则 AC=BP,AP=BQ,
∴12﹣2t=8,
解得,t=2(s),
则 x=2(cm/s).
②
若△ACP≌△BQP,
则 AC=BQ,AP=BP,
则 2t= ×12,
解得,t=3(s),则 x=8÷3= (cm/s),
故当 t=2s,x=2cm/s 或 t=3s,x= cm/s 时,△ACP 与△BPQ 全等.
八年级数学期末质量检测试卷(三)
一、选择题(本大题共 10 小题,共 30.0 分)
1.
在直角坐标系中,已知点
rial
在第四象限,则
r A.
l 香 䁥
B.
l 䁥
C.
l ᦙ 䁥
D.
l 䁥【答案】A
【解析】解:
点
rial
在第四象限,
l 香 䁥
.
故选:A.
直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案.
此题主要考查了点的坐标,正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键.
i.
下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”,
其中是轴对称图形的是
r
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:A、不是轴对称图形,本选项错误;
B、不是轴对称图形,本选项错误;
C、不是轴对称图形,本选项错误;
D、是轴对称图形,本选项正确.
故选:D.
根据轴对称图形的概念求解即可.
本题考查了轴对称图形的概念
.
轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可
重合.
3.
已知 y 关于 x 成正比例,且当
i
时,
,则当
1
时,y 的值为
r A. 3 B.
3
C. 12 D.
1i
【答案】B
【解析】解:设
o
,
当
i
时,
,
io
,解得
o 3
,
3
,
当
1
时,
3 1 3
.
故选:B.
先利用待定系数法求出
3
,然后计算
1
对应的函数值.
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式:设正比例函数解析式为
o ro 䁥
,
然后把一个已知点的坐标代入求出 k 即可.
4.
一个三角形的两条边长分别为 3 和 7,则第三边的长可能是
r A. 3 B. 7 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】解:根据三角形的三边关系,得
第三边应
ᦙ 4
,而
香 1䁥
.
下列答案中,只有 7 符合.
故选:B.
根据三角形的三边关系“任意两边之和
ᦙ
第三边,任意两边之差
香
第三边”,进行分析
求解.
此题考查了三角形的三边关系.
5.
不等式组
香 1
ᦙ i
的解集为
r A.
ᦙ i
B.
香 1
C.
i 香 香 1
D. 无解
【答案】C
【解析】解:不等式组
香 1
ᦙ i
的解集为
i 香 香 1
,
故选:C.
根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集.
本题主要考查不等式的解集,解题的关键是掌握确定不等式组解集的口诀.
.
将以点
r 3a䁩
,
r 3a 3
为端点的线段 AB 向右平移 5 个单位得到线段 ,
则线段 的中点坐标是
r A.
ria5
B.
riai
C.
r a5
D.
r ai 【答案】B
【解析】解:
线段 AB 的中点坐标为
r 3ai
,则线段 的中点坐标是
r 3 5ai
即
riai
,
故选:B.
先求得线段 AB 的中点坐标,再根据横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移
减求解可得.
本题主要考查坐标与图形的变化
平移,解题的关键是掌握平移变换下点的坐标变化规
律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.
䁩.
已知
l 香 䁥
,则下列不等式中不成立的是
r A.
il 香 l
B.
l
i
ᦙ 䁥
C.
1 il 香 1
D.
l i 香 䁥【答案】C
【解析】解:A、
l 香 䁥
,
il 香 l
,正确,不合题意;
B、
l 香 䁥
,
l
i
ᦙ 䁥
,正确,不合题意;
C、
l 香 䁥
,
1 il ᦙ 1
,原式错误,符合题意;
D、
l 香 䁥
,
l i 香 䁥
,正确,不合题意;
故选:C.
直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案.
此题主要考查了不等式的性质,正确应用不等式基本性质是解题关键.
.
如图,
䁨
中,
䁥
,
,
䁨
,将
䁨
折叠,使点 C 与 AB 的中点 D 重合,折痕交 AC
于点 M,交 BC 于点 N,则线段 BN 的长为
r A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】解:
是 AB 中点,
,
3
,
折叠
ܰ 䁨ܰ
,
ܰ 䁨 䁨ܰ ܰ
,
在
ܰ
中,
ܰ
i
ܰ
i
i
,
ܰ
i
r ܰ
i
,
ܰ 5
ܰ 4
,
故选:B.
由折叠的性质可得
ܰ 䁨ܰ
,根据勾股定理可求 DN 的长,即可求 BN 的长.
本题考查了翻折变换,折叠的性质,勾股定理,熟练运用折叠的性质是本题的关键.
.
在平面直角坐标系 xOy 中,点 M,N,P,Q 的位置
如图所示
.
若直线
o
经过第一、三象限,则直线
o i
可能经过的点是
r A. 点 M
B. 点 N
C. 点 P
D. 点 Q
【答案】A
【解析】解:
直线
o
经过第一、三象限,
直线
o i
平行直线
o
,且经过
r䁥a i
,
观察图象可知直线
o i
不经过点 N、P、Q,
直线
o i
经过点 M,
故选:A.
根据直线
o i
的位置,利用排除法即可解决问题.
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、正比例函数的性质等知识,
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
1䁥.
如图,在
䁨
中,
䁨
于点 E,
䁨
于点 D;点
F 是 AB 的中点,连结 DF,EF,设
ᦙ
,
䁨
,
则
r A.
B.
1
i 䁥C.
i 1 䁥D.
䁥
【答案】B
【解析】解:
䁨
于点 E,
䁨
于点 D;
䁥
,
点 F 是 AB 的中点,
ᦙ ᦙ
,
ᦙ ᦙ
,
ᦙ ᦙ
,
ᦙ ᦙ
,
ᦙ 1 䁥
i 䁨
,
ᦙ 1 䁥
i 䁨
,
1 䁥
ᦙ ᦙ ir 䁨 䁨 1 䁥
ir1 䁥
1 䁥
1 䁥
i
,
1
i 䁥
,
故选:B.
由垂直的定义得到
䁥
,根据直角三角形的性质得到
ᦙ ᦙ
,
ᦙ
ᦙ
,根据等腰三角形的性质得到
ᦙ ᦙ
,
ᦙ ᦙ
,于是得到结论.
本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和,正确的识别图形
是解题的关键.
二、填空题(本大题共 6 小题,共 18.0 分)
11.
点
ria3
关于 x 轴的对称点的坐标为______.
【答案】
ria 3 【解析】解:
点
ria3
关于 x 轴的对称点的坐标为:
ria 3
.
故答案为:
ria 3
.
根据关于 x 轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数
.
即点
r a
关于 x
轴的对称点
的坐标是
r a
得出即可.
此题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称点的性质,正确记忆坐标规律是解题关键.
1i.
用不等式表示“a 的 2 倍与 3 的差是非负数”:______.
【答案】
il 3 䁥【解析】解:由题意得:
il 3 䁥
.
故答案为:
il 3 䁥
.
首先表示出a的2倍与3的差为
il 3
,再表示非负数是:
䁥
,故可得不等式
il 3 䁥
.
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式,关键是正确理解题意,要抓住题目
中的关键词“非负数”正确选择不等号.
13.
如图,在
䁨
中,AD 是高,AE 是角平分线,若
䁩i
,
1
,则
䁨
______度
.
【答案】40
【解析】解:
是高,
䁩i
,
1
,
1
1
34
,
是角平分线,
䁨
,
䁨 1 䁥
䁩i
4䁥
.
故答案为:40
根据三角形的内角和得出
1
,再利用角平分线得出
䁨
,利用三角形
内角和解答即可.
本题考查了三角形的内角和定理,熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于
1 䁥
是解题的关键.
14.
若
r 1a 1
,
r ia i
是直线
3
上不同的两点,记
1 i
1 i
,则函数
i的图象经过第______象限.
【答案】一、三、四
【解析】解:
r 1a 1
,
r ia i
是直线
3
上不同的两点,
1 3 1
,
i 3 i
,
1 i
1 i
1 i
3 1 3 i
1
3 ᦙ 䁥
,
函数
i
的图象经过第一、三、四象限,
故答案为:一、三、四
将点 A,点 B 坐标代入解析式,可得
1 3 1
,
i 3 i
,可得
1
3
,即可求解.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数性质,熟练运用一次函数性质是本
题的关键.
15.
如图,数轴上 A 点表示数 7,B 点表示数 5,C 为 OB 上一点,当以 OC、CB、BA
三条线段为边,可以围成等腰三角形时,C 点表示数______.
【答案】2 或
i.5
或 3
【解析】解:
数轴上 A 点表示数 7,B 点表示数 5,
i
,
以 OC、CB、BA 三条线段为边围成等腰三角形时,
若
䁨 i
,则
䁨 5 i 3
,所以 C 点表示数为 3,
若
䁨 i
,所以 C 点表示数为 2,
若
䁨 䁨
,则
䁨 5 i i.5
,所以 C 点表示数为
i.5
,
故答案为:2 或
i.5
或 3.
根据等腰三角形的两边相等进行解答即可.
本题考查了等腰三角形两边相等的性质,注意分类讨论得出是解题关键.
1 .
小婷家与学校之间是一条笔直的公路,小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨
天的回家作业本,便向路人借了手机打给妈妈,妈妈接到电话后,带上作业本马上
赶往学校,同时小婷沿原路返回
.
两人相遇后,小婷立即赶往学校,妈妈沿原路返
回家,并且小婷到达学校比妈妈到家多用了 5 分钟,若小婷步行的速度始终是每分
钟 100 米,小婷和妈妈之间的距离 y 与小婷打完电话后步行的时间 x 之间的函数关
系如图所示
r1
妈妈从家出发______分钟后与小婷相遇;
ri
相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟______米,小婷家离学校的距离为______
米
.
【答案】8 60 2100
【解析】解:
r1
当
时,
䁥
,
故妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇,
ri
当
䁥
时,
14䁥䁥
,
相遇后
1 1䁥
分钟小婷和妈妈的距离为 1600 米,
1 䁥䁥 r1 1䁥䁥 䁥r
米
分
,
相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 60 米;
1 䁥䁥 ri3 1 1䁥䁥 i1䁥䁥r
米
,
小婷家离学校的距离为 2100 米.
故答案为:8;60;2100.
由当
时,
䁥
,可得出妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇;
利用速度
路程
时间结合小婷的速度,可求出小婷和妈妈相遇后,妈妈回家的速度为
60 米
分;
根据路程
1 䁥䁥
小婷步行的速度
ri3 1
,即可得出小婷家离学校的距离.
本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利
用数形结合的思想解答.
三、解答题(本大题共 7 小题,共 52.0 分)
1䁩.
解不等式组
ir 3 香 4
i r 1 i
并写出它的整数解.
【答案】解:
ir 3 香 4①
i r 1 i ②
,
由
①
得
ᦙ i
,
由
②
得
,
故不等式组的整数解为:
i 香
,
它的整数解有 3,4,5,6.
【解析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,再其公共解集内找出符合条件
的 x 的整数解即可.
本题考查的是解一元一次不等式组,熟知同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大
小小找不到的原则是解答此题的关键.
1 .
判断下列命题的真假,若是假命题,请举出反例;若是真命题,请给出证明.
①
若
l ᦙ 㤷
,则
l
i
ᦙ 㤷
i
;
②
三个角对应相等的两个三角形全等.
【答案】解:
①
若
l ᦙ 㤷
,则
l
i
ᦙ 㤷
i
是假命题,
例如:
l 1
,
㤷 i
,
l ᦙ 㤷
,但
l
i
香 㤷
i
;
②
三个角对应相等的两个三角形全等是假命题,
例如:两个边长不相等的等边三角形不全等.
【解析】
①
根据乘方法则举例即可;
②
根据全等三角形的概念、等边三角形的性质举例.
本题考查的是命题的真假判断,要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判
断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
1 .
如图,
䁨
,
䁨
,垂足分别为 D,E,BE 和 CD 相交于点 O,
䁨
,
连 AO,求证:
r1 ≌ 䁨
;
ri 1 i
.
【答案】证明:
r1 䁨
,
䁨
,
䁨 䁥
,
在
和
䁨
中,
䁨
䁨
䁨
,
≌ 䁨r
.
ri ≌ 䁨
,
,
,
䁨
,
1 i
.
【解析】
r1
根据 AAS 证明
≌ 䁨
即可;
ri
利用角平分线的判定定理证明即可;
本题考查全等三角形的判定和性质,角平分线的判定定理等知识,解题的关键是熟练掌
握基本知识,属于中考常考题型.
i䁥.
已知 y 是 x 的一次函数,且当
i
时,
䁩
;当
3
时,
.
r1
求这个一次函数的表达式;
ri
求当
i 香 香 4
时 y 的取值范围.
【答案】解:
r1
设一次函数解析式为
o 㤷
,
根据题意得
3o 㤷
io 㤷 䁩
,解得
㤷 1
o 3
,
所以这个一次函数的表达式为
3 1
;
ri
当
4
时,
3 1 11
,
所以当
i 香 香 4
时 y 的取值范围为
11 香 香 䁩
.
【解析】
r1
利用待定系数法求一次函数解析式;
ri
先计算出
4
时的函数值,然后根据一次函数的性质求解.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式:先设出函数的一般形式,如求一次函数的解
析式时,先设
o 㤷
;将自变量 x 的值及与它对应的函数值 y 的值代入所设的解析
式,得到关于待定系数的方程或方程组;解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写
出函数解析式
.
也考查了一次函数的性质.
i1.
格点
䁨
在直角坐标系中的位置如图所示.
r1
直接写出点 A,B,C 的坐标和
䁨
的面积;
ri
作出
䁨
关于 y 轴对称的
1 1䁨1
.
【答案】解:
r1
由图知
ria3
,
r3a1
,
䁨r ia i
,
䁨
的面积为
5 5
1
i 1 i
1
i 3 5
1
i 5 4
13
i
;
ri
如图所示,
1 1䁨1
即为所求.
【解析】
r1
由图可得三顶点的坐标,再根据割补法求解可得;
ri
分别作出点 A,B,C 关于 y 轴的对称点,再首尾顺次连接即可得.
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键.
ii.
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线
1
:
3 1与 y 轴交于点
.
直线
i
:
㤷
与直线
1
交于点
r1a
,与 y 轴交于点 C.
r1
求 m 的值和点 C 的坐标;
ri
已知点
rla䁥
在 x 轴上,过点 M 作直线
3
轴,
分别交直线
1
,
i
于 D,E,若
,求 a 的值.
【答案】解:
r1
把点
r1a
代入
3 1
得,
4
,
点 C 的坐标为:
r䁥a5
;
ri
由
r1
得,直线
i
的解析式为:
5
,
过点 M 作直线
3
轴,分别交直线
1
,
i
于 D,E,
rla3l 1
,
rla l 5
,
,
3l 1 r l 5
,
l
5
i
或
l
1
i
.
【解析】
r1
把点
r1a
代入
3 1
即可得到结论;
ri
由
r1
得到直线
i
的解析式为
4
,过点 M 作直线
3
轴,分别交直线
1
,
i于 D,E,得到
rla3l 1
,
r l 4
,列方程即可得到结论.
本题考查了两条直线相交或平行,正确的识别图象是解题的关键.
i3.
已知
䁨
是等边三角形,点 D 是 BC 边上一动点,连结 AD
r1
如图 1,若
i
,
䁨 4
,求 AD 的长;
ri
如图 2,以 AD 为边作
ᦙ 䁥
,分别交 AB,AC 于点 E,F.
①
小明通过观察、实验,提出猜想:在点 D 运动的过程中,始终有
ᦙ
,小
明把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法
想法 1:利用 AD 是
ᦙ
的角平分线,构造角平分线的性质定理的基本图形,然
后通过全等三角形的相关知识获证.
想法 2:利用 AD 是
ᦙ
的角平分线,构造
ᦙ
的全等三角形,然后通过等腰
三角形的相关知识获证.
请你参考上面的想法,帮助小明证明
ᦙ.r
一种方法即可
②
小聪在小明的基础上继续进行思考,发现:四边形 AEDF 的面积与 AD 长存在很
好的关系
.
若用 S 表示四边形 AEDF 的面积,x 表示 AD 的长,请你直接写出 S 与 x
之间的关系式.
【答案】解:
r1
如图,过点 A 作
䁨
于点 G,
i
,
䁨 4
,
䁨
,
䁨
是等边三角形,
䁨
,
䁨
,
1
i 䁨 3
,
3 i 1
,
在
中,
i
i
3 3
,
在
中,
i
i
i 䁩
ri ①
想法 1:如图,过点 A 作
ᦙ
于点 M,作
,交 DE 的延长线于点 H,
平分
ᦙ
,
,
ᦙ
,
ᦙ 䁥
,
ᦙ 1i䁥
,
ᦙ 䁨 ᦙ 3 䁥
,
ᦙ 1 䁥
,且
1 䁥
,
ᦙ
,且
,
ᦙ 䁥
,
≌ ᦙr
ᦙ想法 2:如图,延长 DE 至 N,使
ܰ ᦙ
,
ܰ ᦙ
,
,
ᦙ 䁥
,
ܰ≌ ᦙr
ܰ ᦙ
,
ᦙ ܰ
,
ᦙ 䁥
,
ᦙ 1i䁥
,
ᦙ 䁨 ᦙ 3 䁥
,
ᦙ 1 䁥
,且
ܰ 1 䁥
,
ܰ ᦙ
,
ܰ ܰ
,
ܰ ᦙ
,
②
如图,
由
①
中想法 1 可得
≌ ᦙ
,
ᦙ
,
四边形
ᦙ
四边形
,
ᦙ 䁥
,
ᦙ
,
1
i
,
3
3
i
,
1
i
3
i
3
i
,
,
,
≌ r ሺ
,
四边形
ᦙ
四边形
i
3
4
i
.
【解析】
r1
由等边三角形的性质可求
䁨
,
1
i 䁨 3
,
1
,由勾股
定理可求 AG,AD 的长;
ri ①
想法 1:过点 A 作
ᦙ
于点 M,作
,交 DE 的延长线于点 H,由角
平分线的性质可得
,由“AAS”可证
≌ ᦙ
,可得
ᦙ
;
想法 2:延长 DE 至 N,使
ܰ ᦙ
,由“SAS”可证
ܰ≌ ᦙ
,可得
ܰ ᦙ
,
ᦙ ܰ
,由四边形内角和为
3 䁥
,可得
ܰ ᦙ ܰ
,可得
ܰ ᦙ
;
②
由想法 1 可得
四边形
ᦙ
四边形
i
3
4
i
.
本题是三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理
等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
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