2020春八年级数学下册第19章全等三角形19-4逆命题与逆定理4线段的垂直平分线习题课件华东师大版 32页

4. 线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线 (1) 性质定理 ①定理描述 : 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的 _________. ② 几何语言 : 如图 ,∵MN⊥AB, 垂足为点 C,AC=BC,∴______. 距离相等 PA=PB (2) 判定定理 ①定理描述 : 到一条线段的两个 _____ 的 _____ 相等的点 , 在这条 线段的垂直平分线上 . ② 几何语言 : 如图 ,∵QA=QB,∴ 点 Q 在 AB 的垂直平分线上 . 端点 距离 【 归纳 】 线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理 . 2. 三角形三边垂直平分线的性质定理 (1) 定理描述 : 三角形三条边的垂直平分线相交于 _____, 并且该 点到三个顶点的 _________. (2) 几何语言 : 如图 ,∵ 直线 l ， m ， n 分别是三角形三边的垂直平 分线 ,∴OA=OB=OC. 一点 距离相等 【 点拨 】 三角形三条边的垂直平分线的交点和三角形三内角平 分线的交点不同 . 【 预习思考 】 1. 一条线段及线段的垂直平分线是轴对称图形吗 ? 提示： 是 . 2. 是否存在一种三角形 , 有一点到三角形各边的距离和到三角 形各顶点的距离都相等 ? 提示： 等边三角形内有一点到三角形各边的距离和到三角形各 顶点的距离都相等 . 线段垂直平分线的性质和判定的应用 【 例 1】 如图 , 点 B ， C 在∠ SAT 的两边上 , 且 AB=AC. (1) 请按下列语句用尺规画出图形 ( 不写画法 , 保留作图痕迹 ). ①AN⊥BC, 垂足为 N ； ②∠ SBC 的平分线交 AN 延长线于 M ； ③连结 CM. (2) 该图中有 _________ 对全等三角形 . 【 解题探究 】 1.(1) 根据已知条件 ,△ABC 是什么三 角形 ? 过 A 点作的 BC 的垂线有什么特点 ? 答 : ∵AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形 , 根 据等腰三角形的三线合一 , 过 A 点作的 BC 的垂线是线段 BC 的垂直 平分线 . (2)∠SBC 的平分线交 AN 延长线的交点 M 有什么特点 ? 答 : 因为点 M 既在线段 BC 的垂直平分线上 , 又在∠ SBC 的平分线上 , 所以点 M 到 B ， C 两点的距离相等 , 到直线 AS ， BC ， AT 的距离相等 . 2.(1) 连结 CM 后 ,△BMC 是什么三角形 ? 答 : △BMC 是等腰三角形 . (2) 寻找图中全等三角形 , 说出全等的依据 : 答 : △ABN≌△ACN(H.L.) ；△ MBN≌△MCN(H.L.) ；△ ABM≌△ACM(S.A.S.) . (3) 答案： 3 【 规律总结 】 线段垂直平分线口诀 遇见垂直平分线 , 引向两端把线连； 两条连线定相等 , 一般思路要记清 . 要证线段倍与半，延长缩短可试验 . 【 跟踪训练 】 1. 如图 , 在△ ABC 中 ,BC=8 cm,AB 的垂直 平分线交 AB 于点 D, 交 AC 于点 E,△EBC 的 周长等于 18 cm, 则 AC 的长等于 ( ) (A)6 cm (B)8 cm (C)10 cm (D)12 cm 【 解析 】 选 C. 因为 DE 是 AB 的垂直平分线 , 所以 EA=EB. 所以 AC=AE+EC=EB+EC. 又因为 EB+EC+BC=18,BC=8, 所以 EB+EC= 18-8=10 ，即 AC=10. 故应选 C. 2. 如图 ,AC=AD,BC=BD,AB 与 CD 相交于 O ， 则 AB 与 CD 的关系是 ____________. 【 解析 】 因为 AC=AD,BC=BD, 所以 ,AB 是线段 CD 的垂直平分线 , 即 AB 垂直平分 CD. 答案： AB 垂直平分 CD 【 变式备选 】 如图 , 已知 AE=CE,BD⊥AC. 求证 :AB+CD=AD+BC. 【 证明 】 ∵AE=CE,BD⊥AC, ∴BD 是 AC 的垂直平分线 , 即 DA=DC,BA=BC, ∴AB+CD=AD+BC. 3.△ABC 中 ,∠ABC=80°, ∠BAC=40°, AB 的垂直平分线分别与 AC ， AB 交于点 D ， E. 用圆规和直尺在图中作出 AB 的 垂直平分线 DE. 【 解析 】 如图所示 : 线段垂直平分线的性质和判定的实际应用 【 例 2】(6 分 ) 为进一步打造“宜居重庆” , 某区拟在新竣工的矩 形广场的内部修建一个音乐喷泉 , 要求音乐喷泉 M 到广场的两个 入口 A ， B 的距离相等 , 且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距 离的一半 ,A ， B ， C 的位置如图所示 . 请在 答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉 M 的位置 .( 要求 : 不写已知、求作、作法和 结论 , 保留作图痕迹 , 必须用铅笔作图 ). 【 规范解答 】 如图所示 : (1) 连结 AB ……………………… 1 分 (2) 作出 AB 的垂直平分线 ……… 3 分 (3) 找出 M 点的位置 ……………… 5 分 (4) 标出字母 M ……………………………………………… 6 分 特别提醒 : 作 M 点时要以 C 为圆心 ,AB 的一半为半径画弧交 AB 的垂直平分线于 M. 【 互动探究 】 例题能否先以 C 为圆心 ,AB 的一半为半径画弧 , 然后再作 AB 的垂直 平分线 ? 提示： 不可 . 因为不先作出 AB 的垂直平分线 , 就找不到 AB 的一半 , 无法以 C 为圆心画弧 . 【 规律总结 】 线段垂直平分线性质及判定的应用 (1) 线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用 时要注意分清条件与结论，防止混淆 . (2) 线段垂直平分线的图形结构中含有全等三角形，但在应用 时，一般情况下不用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加 麻烦 . 【 跟踪训练 】 4. 如图 ,A ， B ， C 三个居民小区的位置 成三角形 , 现决定在三个小区之间修建 一个购物超市 , 使超市到三个小区的距 离相等 , 则超市应建在 ( ) (A) 在 AC ， BC 两边高线的交点处 (B) 在 AC ， BC 两边中线的交点处 (C) 在 AC ， BC 两边垂直平分线的交点处 (D) 在∠ A ，∠ B 两内角平分线的交点处 【 解析 】 选 C. 要使超市到三个小区的距离相等 , 即超市的位置在 以 A ， B ， C 三个居民小区的位置成三角形的三边垂直平分线上 , 又因为三角形三边垂直平分线交于一点 , 所以选项 C 正确 . 5. 如图 ,△ABC 中 ,DE 垂直平分 AC, 与 AC 交于点 E, 与 BC 交于点 D, ∠C=15°,∠BAD=60°, 则△ ABC 是 ________ 三角形 . 【 解析 】 因为 DE 垂直平分 AC, 即 DA=DC, 所以∠ DAC=∠C=15°, ∠ADB=15°+15°=30°. 又因为∠ BAD=60° ，所以∠ B=180°- ∠BAD-∠ADB=90°, 即△ ABC 是直角三角形 . 答案： 直角 6. 如图 , 八年级 (1) 班与八年级 (2) 班这两个班的学生分别在 M ， N 两处参加劳动 , 现要在道路 AB ， AC 的交叉区域内设一个茶水供应 点 P, 使 P 到两条道路的距离相等 , 且使 PM=PN, 你能找出符合条件 的点 P, 并简要说明理由吗 ? 【 解析 】 作∠ BAC 的角平分线 AD, 作线段 MN 的垂直平分线 EF,AD 与 EF 交于点 P, 如图所示 : ∵AD 平分∠ BAC,∴ 点 P 到两条道路 AB ， AC 的距离相等 , 又∵点 P 在线段 MN 的中垂线上 ,∴PM=PN. 1. 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上 , 那么这 个三角形是 ( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不能确定 【 解析 】 选 B. 假设 AB 上的点 D 是两边 的垂直平分线的交点 , 那么 DA=DC, DB=DC, 即∠ A=∠DCA,∠B=∠DCB, 因为 ∠ A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°, 所以 ∠ DCA+∠DCB=∠ACB=90°, 所以 , △ABC 为直角三角形 . 2. 如图是一张直角三角形的纸片，直角边 AC=6 cm ， BC=8 cm ， 现将△ ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE 的长为 ( ) (A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm 【 解析 】 选 B. 由勾股定理 AB 2 =AC 2 +BC 2 =6 2 +8 2 =100 ，得 AB= 10 cm ，由题意知 3. 如图 ,△ABC 中 ,∠C=90°,DE 是 AB 的垂直平分线 , 且 ∠ BAD∶∠CAD=4∶1, 则∠ B=__________. 【 解析 】 因为 DE 是 AB 的垂直平分线 , 所以∠ B=∠DAB. 由∠ C=90°, 得∠ B+∠BAC=90°. 根据∠ BAD∶∠CAD=4∶1, 设 ∠ DAC=x°, 则 x+4x+4x=90, 解得 x=10, 即∠ B=40°. 答案： 40° 4. 如图 ,AB=AD,BC=CD,AC ， BD 相交于点 E. 由这些条件可以得出 若干结论 , 请你写出其中三个正确结论 _________________( 不 要添加字母和辅助线 , 不要求证明 ). 【 解析 】 因为 AB=AD,BC=CD, 所以 AC 是线段 BD 的垂直平分线 , 即 AC⊥BD,△ABD 是等腰三角形 ,AC 平分∠ BAD,△ADC≌△ABC. 答案： AC⊥BD,△ABD 是等腰三角形 ,AC 平分∠ BAD, △ADC≌△ABC( 答案不唯一 ) 5. 如图 , 已知线段 AB, 分别以 A,B 为圆心 , 大于 长为半径画 弧 , 两弧相交于点 C ， Q, 连结 CQ 与 AB 相交于点 D, 连结 AC,BC. 那么 : (1)∠ADC=__________ 度； (2) 当线段 AB=4,∠ACB=60° 时 , 求△ ABC 的面积 . 【 解析 】 (1) 根据题意 , 得 QC 是线段 AB 的垂直平分线， ∴∠ ADC=90°. (2)AC=BC,∠ACB=60°, ∴△ABC 是等边三角形 .CD⊥AB, 根据勾股定理 , 得