华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》单元测试（含答案解析） 24页

第 13 章 全等三角形 一、选择题 1．如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的点，且 AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论： ①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边中点，BD、CE 交于点 H，BE、AH 交于点 G，则下列结论： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则 CE= ． 4．如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，AB=2，BC=2 ，点 E，F 分别是线段 AB，AD 上的点，连接 CE， CF．当∠BCE=∠ACF，且 CE=CF 时，AE+AF= ． 5．如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF=BE，那么∠AOD 的度数是 ． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，∠GMB= ∠A，BG⊥MG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= cm． 7．如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC； ②四边形 AEFD 为平行四边形；③当 AB=AC，∠BAC=120°时，四边形 AEFD 是正方形．其中正确的结 论是 ．（请写出正确结论的序号）． 三、解答题 8．如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DE⊥AF，垂足为点 E． （1）求证：DE=AB． （2）以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G．若 BF=FC=1，试求 的长． 9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD． 10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D． 11．如图，△ABC 和△EFD 分别在线段 AE 的两侧，点 C，D 在线段 AE 上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求 证：BC=FD． 12．如图，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上任意一点，连接 AG，DE⊥AG 于 E，BF∥DE 交 AG 于 F，探究 线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系，并说明理由． 13．已知：如图，在△ABC 中，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、AD，其交点为 O．求证： （1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD． 14．如图，已知∠ABC=90°，D 是直线 AB 上的点，AD=BC． （1）如图 1，过点 A 作 AF⊥AB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图 2，E 是直线 BC 上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD 相交于点 P，∠APD 的度数是一个固定的 值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 15．如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 AE=DF，连接 BE，AF．求证：BE=AF． 16．如图，在△ABC 中，已知 AB=AC，AD 平分∠BAC，点 M，N 分别在 AB，AC 边上，AM=2MB，AN=2NC．求 证：DM=DN． 17．在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 翻折，使点 C 落在点 E 处，BE 和 AD 相交于点 O，求证： OA=OE． 18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AB=CB， AD=CD．对角线 AC，BD 相交于点 O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是 E，F．求证 OE=OF． 第 13 章 全等三角形 参考答案与试题解析 一、选择题 1．如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的点，且 AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论： ①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出 BG=BE，根据勾股定理得出 BE= GE， 即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②； 求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE 和△ ECH 不相似，即可判断④． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE， 由勾股定理得：BE= GE，∴①错误； ∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°， ∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°， ∴∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE 和△CEF 中 ∴△GAE≌△CEF，∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°， ∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE 和△ECH 不相似，∴④错误； 即正确的有 2 个． 故选 B． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的 判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大． 2．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边中点，BD、CE 交于点 H，BE、AH 交于点 G，则下列结论： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠ HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE 中根据三角形的内角和是 180° 求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据 tan∠ABE=tan∠EAG= ，得到 AG= BG，GE= AG，于是得到 BG=4EG，故②正确；根据 AD∥BC，求出 S△BDE=S△CDE，推出 S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD， 故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确； 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形，E 是 AD 边上的中点， ∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， 在△BAE 和△CDE 中 ∵ ， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE=∠DCE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH 和△CDH 中， ， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠HAD=∠HCD， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD， ∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG⊥BE，故①正确； ∵tan∠ABE=tan∠EAG= ， ∴AG= BG，GE= AG， ∴BG=4EG，故②正确； ∵AD∥BC， ∴S△BDE=S△CDE， ∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH， 即；S△BHE=S△CHD，故③正确； ∵△ADH≌△CDH， ∴∠AHD=∠CHD， ∴∠AHB=∠CHB， ∵∠BHC=∠DHE， ∴∠AHB=∠EHD，故④正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题 要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是 90 度； ③对角线 相等，相互垂直，且平分一组对角． 二、填空题 3．如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则 CE= 3 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论． 【解答】解：△ABE 和△ACD 中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AD=AE=2，AC=AB=5， ∴CE=BD=AB﹣AD=3， 故答案为 3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键． 4．如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，AB=2，BC=2 ，点 E，F 分别是线段 AB，AD 上的点，连接 CE， CF．当∠BCE=∠ACF，且 CE=CF 时，AE+AF= ． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形． 【专题】压轴题． 【分析】过点 F 作 FG⊥AC 于点 G，证明△BCE≌△GCF，得到 CG=CB=2 ，根据勾股定理得 AC=4，所 以 AG=4﹣2 ，易证△AGF∽△CBA，求出 AF、FG，再求出 AE，得出 AE+AF 的值． 【解答】解：过点 F 作 FG⊥AC 于点 G，如图所示， 在△BCE 和△GCF 中， ， ∴△BCE≌△GCF（AAS）， ∴CG=BC=2 ， ∵AC= =4， ∴AG=4﹣2 ， ∵△AGF∽△CBA ∴ ， ∴AF= = ， FG= = ， ∴AE=2﹣ = ， ∴AE+AF= + = ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性， 难易适中． 5．如图，在正方形 ABCD 中，如果 AF=BE，那么∠AOD 的度数是 90° ． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA 与∠BAE 的关系，根据余角的性质，可得∠ODA 与∠OAD 的关系，根据直角三角形的判定，可得答案． 【解答】解：由 ABCD 是正方形，得 AD=AB，∠DAB=∠B=90°． 在△ABE 和△DAF 中 ， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠BAE=∠ADF． ∵∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠AOD=90°， 故答案为：90°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直 角三角形的判定． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，∠GMB= ∠A，BG⊥MG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= 4 cm． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】如图，作 MD⊥BC 于 D，延长 DE 交 BG 的延长线于 E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED 和 △MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以 BG= MH=4． 【解答】解：如图，作 MD⊥BC 于 D，延长 MD 交 BG 的延长线于 E， ∵△ABC 中，∠C=90°，CA=CB， ∴∠ABC=∠A=45°， ∵∠GMB= ∠A， ∴∠GMB= ∠A=22.5°， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90°， ∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°． ∵MD∥AC， ∴∠BMD=∠A=45°， ∴△BDM 为等腰直角三角形 ∴BD=DM， 而∠GBH=22.5°， ∴GM 平分∠BMD， 而 BG⊥MG， ∴BG=EG，即 BG= BE， ∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， ∴∠MHD=∠E， ∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD， ∴在△BED 和△MHD 中， ， ∴△BED≌△MHD（AAS）， ∴BE=MH， ∴BG= MH=4． 故答案是：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、 “AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质． 7．如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC； ②四边形 AEFD 为平行四边形；③当 AB=AC，∠BAC=120°时，四边形 AEFD 是正方形．其中正确的结 论是 ①② ．（请写出正确结论的序号）． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定． 【专题】压轴题． 【分析】由三角形 ABE 与三角形 BCF 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得到三角形 EBF 与三角形 DFC 全等，利 用全等三角形对应边相等得到 EF=AC，再由三角形 ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到 EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到 AEFD 为平行四边形，若 AB=AC，∠BAC=120°， 只能得到 AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项． 【解答】解：∵△ABE、△BCF 为等边三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°， ∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△ABC 和△EBF 中， ， ∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF=AC， 又∵△ADC 为等边三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF=AB=AE=DF， ∴四边形 AEFD 是平行四边形，选项②正确； ∴∠FEA=∠ADF， ∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF， 在△FEB 和△CDF 中， ． ∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确； 若 AB=AC，∠BAC=120°，则有 AE=AD，∠EAD=120°，此时 AEFD 为菱形，选项③错误， 故答案为：①②． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方 形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 三、解答题 8．如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DE⊥AF，垂足为点 E． （1）求证：DE=AB． （2）以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G．若 BF=FC=1，试求 的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；矩形的性质；弧长的计算． 【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由 AAS 证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可； （2）连接 DF，先证明△DCF≌△ABF，得出 DF=AF，再证明△ADF 是等边三角形，得出∠DAE=60°， ∠ADE=30°，由 AE=BF=1，根据三角函数得出 DE，由弧长公式即可求出 的长． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC， ∴∠EAD=∠AFB， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90°， 在△ADE 和△FAB 中， ， ∴△ADE≌△FAB（AAS）， ∴DE=AB； （2）解：连接 DF，如图所示： 在△DCF 和△ABF 中， ， ∴△DCF≌△ABF（SAS）， ∴DF=AF， ∵AF=AD， ∴DF=AF=AD， ∴△ADF 是等边三角形， ∴∠DAE=60°， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∵△ADE≌△FAB， ∴AE=BF=1， ∴DE= AE= ， ∴ 的长= = ． 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数 以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由 ASA 证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可． 【解答】证明：∵∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD， 在△ABC 和△ABD 中， ， ∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC=AD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等 是解决问题的关键． 10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由 SAS 证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可． 【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACB=∠DCE， 在△ABC 和△DEC 中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠A=∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等 是解决问题的关键． 11．如图，△ABC 和△EFD 分别在线段 AE 的两侧，点 C，D 在线段 AE 上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求 证：BC=FD． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出 BC=DF． 【解答】证明：∵AB∥EF， ∴∠A=∠E， 在△ABC 和△EFD 中 ∴△ABC≌△EFD（SAS） ∴BC=FD． 【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中． 12．如图，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上任意一点，连接 AG，DE⊥AG 于 E，BF∥DE 交 AG 于 F，探究 线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】根据正方形的性质，可得 AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF， 根据全等三角形的判定与性质，可得 BF 与 AE 的关系，再根据等量代换，可得答案． 【解答】解：线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系 AF=BF+EF，理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°． ∵DE⊥AG 于 E，BF∥DE 交 AG 于 F， ∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF． 在△ABF 和△DAE 中 ， ∴△ABF≌△DAE （AAS）， ∴BF=AE． ∵AF=AE+EF， AF=BF+EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的 判定与性质，等量代换． 13．已知：如图，在△ABC 中，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、AD，其交点为 O．求证： （1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据三角形中位线，可得 DF 与 CE 的关系，DB 与 DC 的关系，根据 SAS，可得答案； （2）根据三角形的中位线，可得 DF 与 AE 的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案． 【解答】证明：（1）∵DE、DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在△CDE 和△DBF 中 ， ∴△CDE≌△DBF （SAS）； （2）∵DE、DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=AE，DF∥AE， ∴四边形 DEAF 是平行四边形， ∵EF 与 AD 交于 O 点， ∴AO=OD 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判 定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质． 14．如图，已知∠ABC=90°，D 是直线 AB 上的点，AD=BC． （1）如图 1，过点 A 作 AF⊥AB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图 2，E 是直线 BC 上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD 相交于点 P，∠APD 的度数是一个固定的 值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】（1）利用 SAS 证明△AFD 和△BDC 全等，再利用全等三角形的性质得出 FD=DC，即可判断 三角形的形状； （2）作 AF⊥AB 于 A，使 AF=BD，连结 DF，CF，利用 SAS 证明△AFD 和△BDC 全等，再利用全等三角 形的性质得出 FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°． 【解答】解：（1）△CDF 是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD 与△DBC 中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF 是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF 是等腰直角三角形； （2）作 AF⊥AB 于 A，使 AF=BD，连结 DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD 与△DBC 中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF 是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF 是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°， ∵AF∥CE，且 AF=CE， ∴四边形 AFCE 是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠APD=∠FCD=45°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角 三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键． 15．如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 AE=DF，连接 BE，AF．求证：BE=AF． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利 用“边角边”证明△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， 在△ABE 和△ADF 中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全 等，从而得到 BE=AF 是解题的关键． 16．如图，在△ABC 中，已知 AB=AC，AD 平分∠BAC，点 M，N 分别在 AB，AC 边上，AM=2MB，AN=2NC．求 证：DM=DN． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】首先根据等腰三角形的性质得到 AD 是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可． 【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC， ∴AM=AN， ∵AB=AC，AD 平分∠BAC， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD 与△AND 中， ， ∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴DM=DN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明． 17．在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 翻折，使点 C 落在点 E 处，BE 和 AD 相交于点 O，求证： OA=OE． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】证明题． 【分析】由在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 对折，使点 C 落在 E 处，即可求得∠DBE=∠ADB， 得出 OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可． 【解答】证明：平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 对折，使点 C 落在 E 处， 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C， ∴OB=OD， 在△AOB 和△EOD 中， ， ∴△AOB≌△EOD（AAS）， ∴OA=OE． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大， 注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 18．们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AB=CB，AD=CD．对 角线 AC，BD 相交于点 O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是 E，F．求证 OE=OF． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；新定义． 【分析】欲证明 OE=OF，只需推知 BD 平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应 角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了． 【解答】证明：∵在△ABD 和△CBD 中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD 平分∠ABC． 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公 共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．