人教版八年级下册数学导学案 第十六章 分 式 21页

第十六章 分 式 第一课时 分式的概念、约分、通分 1.分式是指分母中含有字母的式子。 2.代数式包括： 和 两类。 3.整式包括： 和 两类，这些知识点我们在初一的学习中已 经学习过了，但是在学习时，我们出现过这样的问题，整式中字母不能做分母，那如果是字 母包含在分母里，那就不是整式了，这就是我们现在学习的分式。 例如： 3 1 3 2123 1 3 12  xxx ）（ 所以这个式子是一个整式中的多项式。 12 3 x 这个式子中分母含有字母，它是一个分式。 4 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式．对分式的 概念的理解要注意以下两点： （1）分母中应含有字母； （2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 0B 时，分式 B A 才有意义；当 B=0 时，分式 B A 无意义. 5.由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需 要同时满足两项条件： （1）分式的分母的值不等于零； （2）分子的值等于零． 6.分式的通分和约分运算和分数的通分约分运算有很大相同点。 约分：分式约分时需要对分式的分子分母进行因式分解，这样才能找出最大公约数然后约分。 通分：分式通分时要对所有的分母进行因式分解，这样才能找出最小分倍数，从而找出公分 母。 7.因式分解： 因式分解的步骤： A：提取公因式法， 例如： am+bm+cm=m(a+b+c) B：公式法 平方差公式： ))((22 bababa  完全平方公式： 222 )(2 bababa  C：十字相乘法 一填空题 1.把下列有理式中是分式的代号填在横线上． (1)－3x；(2) y x ；(3) 22 73 2 xyyx  ；(4)－ x8 1 ；(5) 3 5 y ； (6) 1 12   x x ；(7)－  12m ； (8) 5.0 23 m . 2.当 a 时，分式 32 1   a a 有意义． 3.当_____时,分式 43 12   x x 无意义. 4 当______时,分式 68 x x 有意义. 5.当______时,分式 5 1  x 的值为正. 6.当______时分式 1 4 2   x 的值为负. 二．选择题 1、式子① x 2 ② 5 yx  ③ a2 1 ④ 1 x 中，是分式的有（ ） A．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2 下列有理式中是分式的有 （ ） A、 m 1 B、 16 2yx  C、 xyx 7 1 5 1  D、 5 7 3 无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A． 1 2 2 x x B. 12 x x C. 1 3 3 x x D. 2 5 x x  4.不改变分式 52 2 2 3 x y x y   的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A. 2 15 4 x y x y   B. 4 5 2 3 x y x y   C. 6 15 4 2 x y x y   D.12 15 4 6 x y x y   5 分式 223 2 ba c ， cb a 44 3  ， ca b 22 5 的最简公分母是 （ ） A、12a2b4c2 B、24a2b4c2 C、24a4b6c D、12a2b4c 6.分式:① 2 2 3 a a   ,② 2 2 a b a b   ,③ 4 12( ) a a b ,④ 1 2x  中,最简分式有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.化简 a b a b a b   等于( ) A. 2 2 2 2 a b a b   B. 2 2 2 ( )a b a b   C. 2 2 2 2 a b a b   D. 2 2 2 ( )a b a b   三．约分、通分 1.约分： yyx x 2 xyyx yx 2 4 22 22   3 962   x xx xxx xx   23 2 2 82 4 32 30 4 ab ba 2 2 1 12 m mm   2.通 分 32 64 3 ab a ba 与 112 2 22  x x xx 与 6 3 32 1 22  xxxx 与 2222 54 baabba x  与 22 6 1,3 2 aba  ， 22 )2( 1,4    x x x x . 第二课时 分式的乘除运算 1.分式的乘除运算主要是约分运算，同学们学习时必须要对分式的约分的知识非常熟练， 2.乘法时如果分式的分子和分母都是单项式，那就把分子的分母的分因式约去就好了。 225 34 25 24 88 mba anm bm an ba nm  上一式子中，分子和分子相乘，分母和分母相乘后就可以约分了，分子和分母的公因式为 am2 ，所以分子和分母约去这个公因式得： 24 32 225 34 88 ba nm mba anm  3.乘法运算时如果分式的分子和分母中出现了多项式时需注意：必须先对分式的分子和分母 都做好因式分解以后才能约分，当然也只能因式分解后才能知道哪些因式能约去。 例如： )2)(2( )4)(1( )4)(4( )3(2 4 45 16 65 2 2 2 2      aa aa aa aa a aa a aa ）（ )()( 2 2 224 baa b ba baa   只有这样因式分解后才能发现公因式为： )4)(2(  aa ，约去以后可得答案为： 4.分式的除法运算以乘法为基础，先把除法转化为乘法，转化法则为：除以一个式子等于乘 以这个式子的倒数。（和分数的除法一样） 例如： 22 224 )( )( b baa ba baa    然后，可由乘法的方法得出答案得： 一、 填空 1 当 x 时，分式 65 3 2   xx x 无意义。 2 当 x 时，分式 6 )2)(2( 2   xx xx 的值为零。 3 把 2 2 ))()((10 ))(()(5 cdabbc bacbdc   约分，得 4 若 x 等于本身的倒数，则 6 3 3 6 2 2    xx x x xx 的值是 5. 计算            yx x y xyx 22 42 6 4 38 ， 25 248 bm an ba nm  xyx xzxyx zyx yxyx zyx yx     2 2 22 22 22 22 )( 2 )( 2 22 2 2)( x yx xy yxyxxxy  . a b b baa ba baa 2 22 224 )( )(   4 3 4 45 16 65 2 2 2 2     a a a aa a aa ， 第三课时 分式乘方、乘除混合运算 1.分式的乘方运算和分数的乘方运算一样，把分式的分子和分母都乘方，用式子（表示为： n b a)( = n n b a ）再做乘除。 2.同学们，在做混合运算的题时有注意两点： （1）先后顺序：这个和小学的混合运算一样，先乘方后乘除。 （2）注意有括号时应该先算括号。 例如： 5 210 4324 2)(                  yxy x y x x xyx yx xy 此题中应该先计算括号外的乘方运算（去括号）再从左到右计算。注意第一个括号中负号 可看为-1 乘以这个数，所以-1 也要 4 次方，所以答案应该是正的。 例如 )()()( 432 aba b b a  解：（1） )()()( 432 aba b b a  = 43 3 2 2 1)( aba b b a  = 43 3 2 2 1 aba b b a  = 1. 化简：            4 3222 )(· aba b b a __________； 2.计 算 yyyx  11 2 2 )2( ba mn m a ab mn 3 2 22  ddccbba 1112  22 2 2       a nb ab m 22 2 2 1 1 11              a a a a a aa 2 22 2 2)( x yx xy yxyxxxy  . x xxxxx x 412 6)3(44 62 2 2    ； 23 1 4 2 1 22 2         aa a a aa a aa 2 22 )2(4 44 1 2 2 xx x xx x xx x          ； 2 2 22 2 1 2 12 2 1              xxx xx xx x 第四课时 分式的加减运算 1.加减运算时如果分母相同时可直接相加减，但是分母不相同时需要对分式进行通分，如果 分母不相同则不能进行加减。最后答案能约分的需要约分。必需化为最简分式。 2 分式加减法的法则是： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是： c ba c b c a  异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示是： bd bcad bd bc bd ad d c b a  例如： （1） 222222 3223 xy yx yx yx yx yx     （同分母） 分析：第（1）题中∵ )( 2222 yxxy  ，∴本题可化为同分母的分式； 解：（1）原式= 222222 3223 yx yx yx yx yx yx     = 22 )32()2()3( yx yxyxyx   =. （2） 11 1 1 3 2 2    a a a a （异分母） 第（2）小题异分母分式的加减法运算，要通过通分化为同分母的分式运算，一个整式与分式相加减时， 应把这个整式看作分母为 1 的一个式子. （2）原式= 1 1 1 )1( 1 3 2 2 2 2 2 2     a a a a a a = 1 12 2 2   a aa =（化简） 3 分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的 ． 例如： )1()1( ba a a b ba a a b  解：原式= )( )()( )( )()( 22 baa ababbaa baa ababbaa    = )()( 22 baa b baa b    = )9(23 1 62 1 2  x x xx 一、选择题：（每题 2 分，共 18 分） 1. 下面各分式： 4 416 1 21 22 222 2         x x x xx yx yx xx x ，，， ，其中最简分式有（）个。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 若把分式 x yx 2 3 的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（） A．扩大 12 倍 B．缩小 12 倍 C．不变 D．缩小 6 倍 3. 计算 )21(2 2 xx x  的结果为（） A．x B． x 1 C． x 1 D． x x 2 二．填空题 4 一件工作,甲单独做 x 天完成,乙单独做 y 天完成,甲、乙合做完成全部工作所需要的天数是 ____________ 5.锅炉房储存了 t 天用的煤 m 吨,要使储存的煤比预定的多用 d 天,每天应该节约用煤____吨. 6．已知 0x ，则 xxx 3 1 2 11  = 7 计算 x y y x y x 3 2 2 3 2 31  的结果是 8.计算下列各题: (1) 29 6 3 1 aa  (2) xy y yx x yx xy  22 2 (3) ba bba  22 (4) 29 3 26 1 62 3 xxx  xxx    1 1 1 1 1 1 2 22 2 2 1 1 11              a a a a a aa 23 1 4 2 1 22 2         aa a a aa a aa x xxxxx x 412 6)3(44 62 2 2    2 22 )2(4 44 1 2 2 xx x xx x xx x          第五课时 整数幂、科学记数法 1，整数幂包括 和 ， 2.任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即 )0(10  aa 3.负数次幂： 当 n 为正整数时， n n aa 1 （ )0a 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂． 例如： 27 1 3 13 3 3-    3223 yx   33222 32 nmnm   解：（1）   3223 yx =     323233  yx = 66 27 1 yx =. （2）   33222 32 nmnm   = 3344 34 nmnm   = 112 mn =. 4.科学记数法：把一个数表示成 na 10 的形式（其中 101  a ，n 是整数）的记数方法就叫做 科学记数法． A:比较大的正数 例如：123，000，000，000=1.23× 1110 可看为两部份，第一部份，改写为一个大于等于 1 小于 10 的数 1.23，第二部为 10 的幂， 小数点从最后一个 0 后移到数字母后，移动了 11 次，所以是 10 的 11 次方。当然也可看为 是小数点每向左移动一次这个数就要缩小 10 倍，要保正这个数的大小不变，那就需乘以 10， 那么向左移动 11 次，那就是缩小 11 个 10 倍。所以要使这个数不娈，那就要乘以 1110 。 B:比较小的小数 例如： 0.00，000，000，000，123=1.23× -1210 可视为：第一部份写为大于或等于 1 的数，第二部份为 10 的幂，而 10 的指数是由小数 点移动的位数决定的，例如上题，小学点原本在数字后，现在移到了数字 1 后，那是向左移 动了位，每移动一位就是 10 倍，那么要使原数不娈就要乘以一个 10，那么移动了 12 次， 那就需要乘以 12 个 10，也就是乘以 。 一．选择题 1.下列运算正确的是( ) A.x10÷x5=x2 B.x-4·x=x-3 C.x3·x2=x6 D.(2x-2)-3=-8x6 2. 一件工作,甲独做 a 小时完成,乙独做 b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A. 1 1 a b  B. 1 ab C. 1 a b D. ab a b 3. 57000000 用科学记数表示为( ) A. 61057 B. 6107.5  C. 7107.5  D. 7107.5  4.下列运算正确的是( ) A.   7232 aaa  B. 3105005.0            4231 8 5 2 1 qpqp   32132  xyba C.  42 22  aa D.   21212 1 0 1       5.银原子的直径为 0.0003 微米,用科学记数表示为 ( ) A. 4103 微米 B. 4103  微米 C. 3103  微 米 D. 3103.0  微米 6 下列计算正确的是( ) A.  11 0  B. 15.02 1 0       C.   11 1   D.    235 xxx  7 已知一个正方体的棱长为 2102  米,则这个正方体的体积为( ) A. 6106  立方米 B. 6108  立方米 C. 6102  立 方 米 D. 6108 立方米 8 光年是天文学中的距离单位,1 光年大约是 9 500 000 000 000km 用科学记数表示为( ) A. 1010950 km B. . 111095 km C. . 12105.9  km D. 0. 131095 km 9.计算: 1 01 2 3)3 26(34        1 2 01( 1) 5 (2004 )2            111 )(2   babaab 32 12 322 2 3                  yx cba 第六课 分式方程 1 分式方程的定义：分母中含有的方程叫做分式方程。 2.解分式方程的基本思路是将分式方程化为方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘以． 3 解分式方程时，去分母所得整式方程的解有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将 整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程 的解；否则，这个解就不是原分式方程的解（即原方程的增根）． 解分式方程的一般步聚是： （1）去分母，把分式方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）检验（也称验根）； （4）结论． 【例】 解分式方程 1 4 1 2 1 1 2  xxx . 分析：先将各分母分解因式，找出最简公分母为，再去分母，转化为整式方程求解，要注 意检验． 解：去分母，方程两边同乘以最简公分母 )1)1(  xx ， 得 4)1(2)1(  xx 解这个整式方程得， 1x 检验：把 1x 代入最简公分母 )1)1(  xx ，发现 )1)1(  xx =0 ∴ 1x 不是原方程的解，是增根，应舍去， ∴原方程无解． 1.满足方程 2 2 1 1  xx 的 x 值是( ) A.1 B.2 C.0 D. 没有 2.分式方程 2 3 4 16 2 4 2  xxx 的解为( ) A. 0x B. 2x C. 2x D.无解. 3.在正数范围内定义一种运算☆，其规则为 a ☆b ＝ ba 11  ，根据这个规则 x ☆ 2 3)1( x 的解 为（） A． 3 2x B． 1x C． 3 2x 或 1 D． 3 2x 或 1 4.若分式方程 xx k xxx k    222 51 1 1 有增根 1x ,那么 k 的值为( ) A.1 B. 3 C.6 D. 9 5.当 x_______时,分式 x x   5 1 的值等于 2 1 . 6.若使 2 3   x x 与 23 2   x x 互为倒数,则 x 的值是________. 7.解下列分式方程: (1). 3 1 1 5  xx ， (2) 1 637 222  xxxxx . （3） 1 6 1 3 1 2 2  xxx ；（4） 132 42 1 32    x x x x （3） x x x x x    4 13 4 12 16 965 2 8．甲、乙两人在相同时间内各加工 168 个零件和 144 个零件，已知每小时甲比乙多加工 8 个零件，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 第七课时 分式方程应用题 1.分式方程应用题和以前的整式方程应用题的解答方法主要思考方向是一样的，都是是需假 设一个问题中的量为一个未知数，但是这一步不是很重要，多数同学也会做，关键是我们要 找出这个未知数和另外的一个未知量它们是关系。只有把题意中的尽可能多的量都用这个未 知数来表示，那才更有得于我们找到等等量关系。 2.列分式方程解应用题时，要注意从两种意义上验根，即不但要检验所求的未知数的值是否 适合原方程，还要检验此解是否符合实际意义. 【例】A、B 两地相距 40km，甲骑自行车从 A 地出发 1 小时后，乙也从 A 地出发，用相当 于甲的 1.5 的速度追赶,当追到 B 地时,甲比乙先到 20 分钟,求甲、乙两人的速度． 分析：此题是行程问题，路程、速度、时间是行程问题的三要素. 路程：甲，40km；乙，40km 速度：乙的速度=甲的速度的 1.5 倍 时间:乙走的时间=甲走的时间－ 3 2 小时 这里时间的关系是一个重点，甲同学早出发一个小时，如果乙同学的速度的甲一样， 那甲同学一定是要早一个小时到的，但是由于他们的速度不一样，甲同学只早到了 20 分，那 还有 40 分钟哪儿去了呢？我们可以想到，因为甲同学慢。这 40 分钟他花在了路上，所以得 出甲同学的时间比乙同学多 40 分钟。 解:设甲的速度为 xkm/h,则乙的速度为 1.5xkm/h. 根据题意,得 3 1140 5.1 40  xx 解这个方程得, 20x 经检验知, 20x 是原方程的根, 当 20x 时, 1.5x =1.520=30 答:甲的速度为 20 km/h.,乙的速度 30 km/h. 1．某校用 420 元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜 0.5 元，结果比用原 价多买了 20 瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶 x 元，则可列出方程为（ ） A． 205.0 420420  xx B． 20420 5.0 420  xx C． 5.020 420420  xx D． 5.0420 20 420  xx 2．甲、乙两人同时从 A 地出发，骑自行车行 30 千米到 B 地，甲比乙每小时少走 3 千米，结 果乙先到 40 分钟。若设乙每小时走 x 千米，则可列方程（ ） A. 30 30 2 3 3x x   B. 30 30 2 3 3x x   C. 30 30 2 3 3x x   D. 30 30 2 3 3x x   3“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设参加游览的 同学共 x 人，则所列方程为（） A． 32 180180  xx B． 3180 2 180  xx C． 32 180180  xx D． 3180 2 180  xx 4、甲、乙二人同时从 A 地出发，骑车 20 千米到 B 地，已知甲比乙每小时多行 3 千米，结果 甲比乙提前 20 分钟到达 B 地，求甲、乙二人的速度。若设甲每小时行 x 千米，则可列方程 为___________________;若设甲用了y 小时到达 B地，则可列方程为_____________________。 5.（1）八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2） 班多种 2 棵树，八（1）班种 66 棵树所用时间与八（2）班种 60 棵树所用时间相同，求：八 （1）、八（2）两班每小时各种几棵树？ 6.（2）某人骑自行车比步行每小时快 8 公里，坐汽车比步行每小时快 24 公里，此人从甲地 出发，先步行 4 公里，然后乘汽车 10 公里就到达乙地，他又骑自行车从乙地返回甲地，往返 所用的时间相等，求此人步行的速度。 7.A、B 两地相距 20 km，甲骑车自 A 地出发向 B 地方向行进 30 分钟后，乙骑车自 B 地出发， 以每小时比甲快 2 倍的速度向 A 地驶去，两车要距 B 地 12 km 的 C 地相遇，求甲、乙两人的 车速. 8.近几年我省高速公路建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的 某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队合做 24 天可以完成，若甲单独做 20 天后，剩 下的工程由乙做，还需 40 天才能完成， 问：甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？ 第十六章 分式单元复习 一 选择（36 分） 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1= 3 1 C （-2m-n）2=4m-n D （a+b）-1=a-1+b-1 2 分式 28 ,9,12 z yx xy zx x zy  的最简公分母是（ ） A 72xyz2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz2 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4 写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 如果把分式 yx x 23 2  中的 x,y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ） A 扩大 3 倍 B 不变 C 缩小 3 倍 D 扩大 2 倍 5 在 mayx xyx x 1,3,3,2 1,2 1,1 2    中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 6 计算             1 111 11 2xx 的结果是（ ） A 1 B x+1 C x x 1 D 1 1 x 7 把分式方程 12 1 2 1   x x x ，的两边同时乘以 x-2，约去分母，得（ ） A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2 8 计算 223 )3( aa  的结果是（ ） （A） 49a （B） 46a （C） 39a （D） 49a 9．下列算式结果是－3 的是（ ） （A） 1)3(  （B） 0)3( （C） )3( （D） |3|  10．计算            24 38 2 3 42 yx y xyx 的结果是（ ） （A） x3 （B） x3 （C） x12 （D） x12 11、若分式 2 1   x x 有意义，则（ ） A x≠2 B x≠－1 C x≠2 且 x≠－1 D x>2 12、要使分式 1 1||   x x 的值为零，那么 x 的值为（ ） A 0 B 1 C ±1 D －1 二 填空（21 分） 13．计算：－ 16 ＝． 14．用科学记数法表示：－0.0000000204＝．   23 120084 1 0       = 15 方程 04 1 4 2   x x x 的解是 16．若 54 1 4 5   xx x 有增根，则增根为___________． 17、计算：   10 214.31  ＝ 18、当 x＝时，分式 3 2 x x  无意义。 19、   )0( 10 5 3 2  a yaxxy a ) ( 2 28 14 23 32 y yx yx    1 16 4 2    a a 20、化简 2 2 1 24 a aa   ＝ 21、当 x___________时，分式 5 1 x 有意义；当 x_________时，分式 1 1x 2   x 的值为零。 22、 ba 22 3 与 cab ba 2  的最简公分母是； xy 1 、 34 x y 、 xyz6 1 的最简公分母是 23、用科学计数法表示 0.000034＝； 0.00000341＝3.41× n10 ， 则 n＝；4.5×10－5 用小数表示为 三 化简计算（12 分） 计算： |1|2004125.02)2 1( 032     dcd ba c ab 2 3 4 3 2 22 2 2  1 1 11 2 2    aa aa a a )6() 4 3(8 23 2 yx z y xx  2 12 2 9 3m m    (-3ab-1)3 4xy2z÷（-2x-2yz-1） 四．解方程 12 1 5 2  xx 1 7137 2 2 22      x x xxxx 12 3 3 2  xx 1 4 1 2 1 1 2   xxx ⑴ xx 5 2 3  ⑵ 55 11  x x x 五 （7）2008 年 5 月 12 日，四川省发生 8.0 级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人均捐款 数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？ 六．学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做， 恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期 3 天．结果两队合作了 2 天，余下 部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？