八年级上数学课件八年级上册数学课件《因式分解》 人教新课标 (15)_人教新课标 25页

14.4 因式分解 :整式的乘法 计算下列各式: x(x+1)= ； (x+1)(x－1)= . x2 + x x2－1 15.4.1 提公因式法 在小学我们知道，要解决这个问题， 需要把630分解成质数乘积的形式. 7532630 2  类似地，在式的变形中，有时需要将 一个多项式写成几个整式的乘积的形式. 讨论 630能被哪些数整除?   1)2( )1( 2 2 x xx 请把下列多项式写成整式乘积的形式. )1( xx )1)(1(  xx 把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解（或 分解因式）. 想一想：因式分解与整式乘法有何关系? 因式分解与整式乘法是互逆过程. (x+y)(x－y)x2－y2 因式分解 整式乘法 练习一 理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解 怎样分解因式: .mcmbma  注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的. 说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx－ 8ky ； (3)5y3+20y2 ； (4)a2b－2ab2+ab . m 4k 5y2 ab 分析：应先找出 与 的 公因式，再提公因式进行分解. 例1 分解因式把 cabba 323 128  )(3)(2 cbcba  分析：(b+c)是这两个式子的公因式, 可以直接提出. )(3)(2 cbcba 解： )32)((  acb 例 2 分解因式 . 因式分解： (⑴)24x3y－18x2y ； (⑵)7ma+14ma2 ； (3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2). 1.20042+2004能被2005整除吗? .3,5)7(3)7(4 .2 2  xa，xxa 其中 先分解因式，再求值 思考 你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗? (a+b)(a－b) = a2－b2 a2－b2 =(a+b)(a－b) 两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积. 15.4.2 公式法(1) 例3 分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2. 分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式. 在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2. (⑴)4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x – 3). (⑵)(x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p–q). 例4 分解因式: (1)x4—y4; (2) a3b —ab. 分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式， 这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式, 再进一步分解. 解:(1) x4－y4 = (x2+y2)(x2－y2) = (x2+y2)(x+y)(x－y). (2) a3b－ab =ab(a2－ 1) =ab(a+1)(a－ 1). 分解因式 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止. 练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么? (1) x2+y2 ; (2) x2－y2; (3) －x2+y2; (4) －x2－y2. 2.分解因式: (1)a2－ b2; (2)9a2－4b2; (3) x2y－4y ; (4) －a4 +16. 25 1 思维延伸 1. 观察下列各式: 32－12=8=8×1; 52－32=16=8×2; 72－52=24=8×3; …… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2－ (n－5)2能被24 整除吗? 为什么? 思考： 你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？ (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方. a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2 15.4.2 公式法(2) · 例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2. 分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 a2 2 a b b2+ · 解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2. + 解：(2) －x2+4xy－4y2 = － (x2－4xy+4y2) = － [x2－2·x·2y+(2y)2] = － (x－2y)2 . 例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2. 例6 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2－12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解. 　解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 . (2)(a+b)2－12(a+b)+36 =(a+b)2－2·(a+b)·6+62 =(a+b－6)2. 将a+b看作一个 整体，设a+b=m, 则原式化为完全 平方式m2－ 12m+36. 练习 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2－4a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b－1 ; (4)a2+ab+b2. 2.分解因式： (1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x2－4x+1; (5) ax2+2a2x+a3; (6) －3x2+6xy－3y2. 应用提高、拓展创新 1.把下列多项式分解因式，从中你能 发现因式分解的一般步骤吗？ （1） ； （2） ； （3） ；（4） （5） . 44 yx  33 abba  22 363 ayaxyax  22 )()( qxpx  36)(12)( 2  baba 归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止. 2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除. 今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗? 作业：习题15.4，2、3、5.