北师大版数学初中八年级上册课件-第1章-1 探索勾股定理 27页

第一章 勾股定理 1.1　探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 学习目标 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之 间的数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点） 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧. （图中每一格代表 一平方厘米） （1）正方形P的面积是 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 平方厘米； （3）正方形R的面积是 平方厘米. 1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 勾股定理的初步认识 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 【做一做】观察正方形瓷砖铺成的地面. 1 填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小正方形的面积为 单位1）. A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算正方 形C的面积呢？ 9 16 9 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个 直角三角形 和一个小正 方形. 补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积. 将几个小块拼成若 干个小正方形，图 中两块红色（或绿 色）可拼成一个小 正方形. 分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 结论：以直角三角形两直角边为边长的 小正方形的面积的和，等于以斜边为边 长的正方形的面积. 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然 后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. ▼几何语言： ∵在Rt△ABC中 ， ∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 勾股定理 【例1】求下列直角三角形中未知边的长: 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得： 82+ x2=172 即:x2=172-82 x=15 解:由勾股定理可得： 52+ 122= x2 即：x2=52+122 x=13 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再 去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地 面（如下图所示）： A B C 穿越毕达哥拉斯做客现场 正方 形A的 面积 正方 形B的 面积 正方 形C的 面积 + = 一直角边2 另一直角边2 斜边2+ = 【例2】已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长. 解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D BC 3 41 2 1 212 5 利用勾股定理进行计算2 方法总结： 由直角三角形的面积求法可 知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边 上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它 常与勾股定理联合使用． 【例2】 如图，已知AD是△ABC的中线． 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)． 证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中， AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2， ∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2) ＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)． 又∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)． E 【方法总结】构造直角三角形，利用勾 股定理把需要证明的线段联系起来．一般地， 涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着 这个思路去分析问题． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16 . 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 【例3】 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的 高，且AD＝12，求△ABC的周长． 【方法总结】题中未给出图形，作高构造直角三角 形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易 只考虑高AD在△ ABC内的情形，忽视高AD在△ ABC 外的情形． 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 解析：因为AE＝BE， 所以S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又因为AE2＋BE2＝AB2， 所以2AE2＝AB2， 所以S△ABE＝ AB2＝ ； 同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又因为AC2＋BC2＝AB2， 所以阴影部分的面积为 AB2＝ . 【例4 】如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直 角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________， 阴影部分的面积为________． 1 2 1 2 1 4 9 4 1 4 1 4 1 2 9 2 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要 结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的 平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间 的等量关系． 1.求下列图形中未知正方形的面积及未知边的长度 （口答）： ? 225 100 已知直角三角形两边，求第三边. 2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方 形的面积为 . 8 cm 10 cm 36 cm² 3.求下列图中未知数x、y的值： 解：由勾股定理可得， 81+ 144=x2 即x2=225 x=15 解：由勾股定理可得， y2+ 144=169 即y2=25 y=5 4.在△ABC中，∠C=90°. （1）若a=6，b=8，则c= . （2）若c=13，b=12，则a= . 5.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三 边长的平方为（ ） A 25 B 14 C 7 D 7或25 10 5 D 6.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A BC 解：在Rt△ABC中，根据勾股 定理，得： BC2=AB2-AC2 =2.52-2.42=0.49， 所以BC=0.7. 答：梯脚与墙的距离是0.7米. 7.求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm 的直角三角形的面积. 解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得: 152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64， 所以 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm， 直角三角形的面积是: (cm2). S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S5=S1+S2=4， S7=S5+S6=10. 【拓展】已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求 S5，S6，S7的值. S6=S3+S4=6， 认识勾 股定理 如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2 利用勾股定理进行计算