数学冀教版八年级上册教案17-2直角三角形 5页

- 1 - 17.2 直角三角形 教学目标 【知识与能力】 1.理解和掌握直角三角形的性质定理和判定定理. 2.能利用直角三角形的性质定理和判定定理解决实际问题. 【过程与方法】 通过对直角三角形的学习,进一步认识直角三角形,体会数学知识在解决问题中的作用. 【情感态度价值观】 1.通过学习,培养学生的合作意识. 2.通过探究,提高学生学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 直角三角形的性质定理和判定定理. 【教学难点】 直角三角形的性质定理和判定定理的应用. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 前面我们学习了等腰三角形,在三角形中还有一种特殊的三角形,那就是直角三角形. 思考:什么样的三角形是直角三角形? 学生回答:有一个角是直角的三角形是直角三角形. 那么这个特殊的三角形有哪些性质呢?我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢?这就 是我们今天要研究的内容:直角三角形的性质定理和判定定理,让我们先从直角三角形的角 的关系开始着手研究. [设计意图] 由直角三角形的特殊性引起学生对性质和判定方法的思考. 导入二: 【课件 1】 我们都有过爬坡的经历,假如已测得斜坡的角度为 30°,那么当你沿斜坡走了 6 米时,离地面的高度是多少米呢?画出示意图,如图所示. 这是一个含 30 度角的直角三角形,已知斜边的长,求 30 度角所对的直角边的长的问题. 对于这个问题的研究,我们不妨借助一下手中的含 30 度角的三角尺,观察一下,猜猜 30 度角 所对的这条直角边和斜边的数量关系,你有什么办法验证你的猜想. [设计意图] 通过情境导入,让学生认识到含有 30°角的直角三角形具有特殊的性质,从而 - 2 - 进入到本节课的学习之中. 二、新知构建： 活动一:直角三角形的性质定理 1 和判定定理 (1) 观 察 图 中 的 三 角 形 , ∠ C=90°, 从 ∠ A+ ∠ B 的 度 数 , 能 说 明 什 么 ? 为 什 么 ? 学生思考后回答:直角三角形的两个锐角互余.(性质定理 1) (2)想一想:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗? 学生得出:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.(判定定理) (3)讨论:直角三角形的性质定理 1 和判定定理是什么关系? 小组讨论、交流,派一名代表发言. 【课件 2】 对应练习: (1)在直角三角形中,有一个锐角为 52°,那么另一个锐角度数为 . (2)在 RtΔABC 中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么∠A= ,∠B= . (3)如图所示,在ΔABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的高,与∠B 互余的角有 ;与 ∠A 互余的角有 ;与∠A 相等的角有 ;与∠B 相等的角有 . [设计意图] 整个过程以学生的观察、发现、小组讨论为主,充分体现了学生的主体地位及 教师的主导作用.在学生得出结论之后,紧随其后的练习及时对学生的学习情况进行巩固和 提高. 活动二:直角三角形的性质定理 2 思路一 想一想: 如果在练习(3)中添加∠A=45°的条件,那么各个锐角是多少度?各条线段之间有什么数量关 系? 猜一猜,量一量:直角三角形斜边上的中线等于斜边一半吗? 【课件 3】 (1)在一张半透明的纸上画出一个直角三角形,按照教材第 147 页“观察与思考” 进行操作. (2)思考:∠ECF 与∠B 有什么关系?线段 EC 与线段 EB 有什么关系? (3)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB,∠ACE+∠ECF=∠ACB.你能判断∠ACE 与∠A 的大 小关系吗?线段 AE 与线段 CE 呢?从而你发现了什么结论?将你的结论与大家交流. - 3 - 我们发现,CE=AE=EB,即 CE 是 AB 的中线,且 CE= 1 2 AB. 证一证: 命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【 课 件 4 】 已 知 : 如 图 所示 , 在 RtΔ ABC 中 , ∠ ACB=90°,CD 是 斜 边 AB 上 的 中线 . 求证:CD= 1 2 AB. 教师指导学生分析、研究,有其他办法的小组可以互相交流. 【课件 5】 证明:如图所示,过点 D 作 DE∥BC,交 AC 于点 E,作 DF∥AC,交 BC 于点 F. 在ΔAED 和ΔDFB 中,∵ ∠ = ∠ th (两直线平行,同位角相等), t = th (中线的概念), ∠ th = ∠ h (两直线平行,同位角相等), ∴ΔAED≌ΔDFB(ASA), ∴AE=DF,ED=FB(全等三角形的对应边相等), 同理可证ΔCDE≌ΔDCF. 从而 ED=FC,EC=FD(全等三角形的对应边相等). ∴AE=CE,FC=FB(等量代换). 又∵DE⊥AC,DF⊥BC(两直线平行,同位角相等), ∴DE 为 AC 的垂直平分线,DF 为 BC 的垂直平分线. ∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理), ∴CD= 1 2 AB. 归纳: 性质定理 2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 思路二 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的探索过程. (1)按要求作图:画一个直角三角形,并作出斜边上的中线. - 4 - (2)量一量各线段的长度. (3)猜想:你能猜想出什么结论? 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. (4)寻找理论依据: A.你能用数学符号表示上面问题中的条件和结论吗? 条 件 : 如 图 所示 , 在 RtΔ ABC 中 , ∠ ACB=90°,CD 是 斜 边 AB 上 的 中线 . 结 论 :CD= 1 2 AB. B.分析:直接证明很困难,不妨假设 CD= 1 2 AB,那么∠A=∠ACD,因此,考虑作射线 CD',看看 CD' 有什么特点? 引导学生得出 CD'=AD'=BD'= 1 2 AB. C.比较 CD 和 CD'的位置有什么关系?为什么? CD 和 CD'都是 RtΔABC 斜边上的中线. D.直角三角形斜边上的中线有几条?由此你想到了什么? CD 和 CD'重合,因此 CD= 1 2 AB. (5)归纳:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 做一做: 求证:直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 解析:作出图形,如图所示,延长 BC 到 D,使 CD=BC,然后利用“边角边”证明ΔABC 和ΔADC 全等,根据全等三角形对应边相等可得 AB=AD,再根据直角三角形两锐角互余求出∠B=60°, 从而判断出ΔABD 是等边三角形,根据等边三角形三边相等可得 AB=BD,然后得出 BC= 1 2 AB. 证明:延长 BC 到 D,使 CD=BC, - 5 - 在ΔABC 和ΔADC 中, = , ∠ h = ∠ t = 90 °, h = t , ∴ΔABC≌ΔADC(SAS), ∴AB=AD, ∵∠BAC=30°, ∴∠B=90°-30°=60°, ∴ΔABD 是等边三角形, ∴AB=BD,∴BC= 1 2 AB. 归纳:关于直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半的证明,根据性质的来源作辅 助线构造成等边三角形和全等三角形是解题的关键,作出图形更形象直观. 三、课堂小结： 1.直角三角形的性质定理 1 根据三角形内角和等于 180°,我们可以得到直角三角形中的两个锐角的和是 90°,即直角 三角形的两个锐角互余.这样,在直角三角形中,如果已知一个锐角的度数,就可以求出另一 锐角的度数. 2.直角三角形的判定定理 如果一个三角形中的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形. 要判定一个三角形是直角三角形,只要能证明出一个三角形中有两个角的和是 90°,那么这 个三角形就是直角三角形. 3.直角三角形的性质定理 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意:这一性质成立的条件是在直角三角形中,并 且是斜边上的中线,直角边上的中线不具备这个性质.在解决直角三角形的问题时,如果涉及 到斜边上的中点,那么就要联想到这一性质. 4.含有 30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.