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- 2021-10-27 发布
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式分解因式
知识点
1
:完全平方公式
1
.下列二次三项式是完全平方公式的是
( )
A
.
x
2
-
8x
-
16 B
.
x
2
+
8x
+
16
C
.
x
2
-
4x
-
16 D
.
x
2
+
4x
+
16
2
.已知
x
2
+
16x
+
k
是完全平方公式,则常数
k
等于
( )
A
.
64 B
.
48 C
.
32 D
.
16
B
A
3
.多项式
x
2
+
(k
-
3)x
+
9
是完全平方公式,则
k
的值为
________________
.
9
或-
3
36
6
知识点
2
:运用完全平方公式分解因式
5
.下列多项式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
( )
A
.-
a
2
-
4ab
+
4b
2
B
.
a
2
+
6ab
-
9b
2
C
.
a
2
+
2ab
+
4b
2
D
.
4(a
-
b)
2
+
4(a
-
b)
+
1
D
6
.
(2019·
潍坊
)
下列因式分解正确的是
( )
A
.
3ax
2
-
6ax
=
3(ax
2
-
2ax)
B
.
x
2
+
y
2
=
(
-
x
+
y)(
-
x
-
y)
C
.
a
2
+
2ab
-
4b
2
=
(a
+
2b)
2
D
.-
ax
2
+
2ax
-
a
=-
a(x
-
1)
2
7
.把
x
4
-
2x
2
y
2
+
y
4
分解因式,结果是
( )
A
.
(x
-
y)
4
B
.
(x
2
-
y
2
)
4
C
.
(x
2
-
y
2
)
2
D
.
(x
+
y)
2
(x
-
y)
2
D
D
8
.分解因式:
(1)(2019·
济南
)m
2
-
4m
+
4
=
______________
;
(2)(2019·
赤峰
)x
3
-
2x
2
y
+
xy
2
=
____________
;
(3)(
东营中考
)4
+
12(x
-
y)
+
9(x
-
y)
2
=
__________________.
(m
-
2)
2
x(x
-
y)
2
(3x
-
3y
+
2)
2
9
.分解因式:
(1)9
+
12m
+
4m
2
;
解:
(3
+
2m)
2
(2)4x
2
+
y
2
-
4xy
;
解:
(2x
-
y)
2
(3)(a
+
b)
2
-
6(a
+
b)
+
9.
解:
(a
+
b
-
3)
2
知识点
3
:公式的灵活运用
10
.利用因式分解求值:
(1)
已知
a
-
b
=
3
,求
a(a
-
2b)
+
b
2
的值;
解:原式=
a
2
-
2ab
+
b
2
=
(a
-
b)
2
,当
a
-
b
=
3
时,原式=
9.
另解:∵
a
-
b
=
3
,∴
a
=
b
+
3
,∴原式=
(b
+
3)(3
-
b)
+
b
2
=
9
-
b
2
+
b
2
=
9
(2)
已知
ab
=
2
,
a
+
b
=
5
,求
a
3
b
+
2a
2
b
2
+
ab
3
的值.
解:原式=
ab(a
2
+
2ab
+
b
2
)
=
ab(a
+
b)
2
,当
ab
=
2
,
a
+
b
=
5
时,原式=
50
11
.已知长方形的长为
a
,宽为
b
,周长为
16
,两边的平方和为
14.
(1)
求此长方形的面积;
(2)
求
2ab
3
+
4a
2
b
2
+
2a
3
b
的值.
解:
(1)∵a
+
b
=
8
,∴
a
2
+
2ab
+
b
2
=
64
,∵
a
2
+
b
2
=
14
,∴
ab
=
25
,答:长方形的面积为
25
(2)2ab
3
+
4a
2
b
2
+
2a
3
b
=
2ab(b
2
+
2ab
+
a
2
)
=
2ab(a
+
b)
2
=
2×25×8
2
=
3200
12
.下列各式分解因式错误的是
( )
A
.
9
-
6(x
-
y)
+
(x
-
y)
2
=
(3
-
x
+
y)
2
B
.
4(a
-
b)
2
-
12a(a
-
b)
+
9a
2
=
(a
+
2b)
2
C
.
(a
+
b)
2
-
2(a
+
b)(a
-
c)
+
(a
-
c)
2
=
(b
+
c)
2
D
.
(m
-
n)
2
-
2(m
-
n)
+
1
=
(m
-
n
+
1)
2
13
.不论
x
,
y
为任何实数时,式子
x
2
-
4x
+
y
2
-
6y
+
13
的值
总是
_______________
.
D
非负数
14
.如图,有三种卡片,其中边长为
a
的正方形卡片
1
张,长、宽分别为
a
,
b
的长方形卡片
6
张,边长为
b
的正方形卡片
9
张,用这
16
张卡片拼成一个大正方形,则这个大正方形的边长为
_____________
.
a
+
3b
15
.分解因式:
16
.利用因式分解计算:
(1)202
2
+
98
2
+
202×196
;
解:原式=
(202
+
98)
2
=
300
2
=
90000
(2)800
2
-
1600×798
+
798
2
.
解:原式=
(800
-
798)
2
=
4
17
.
(
河北中考
)
发现任意五个连续整数的平方和是
5
的倍数.
验证
(1)(
-
1)
2
+
0
2
+
1
2
+
2
2
+
3
2
的结果是
5
的几倍?
(2)
设五个连续整数的中间一个为
n
,写出它们的平方和,并说明是
5
的倍数.
延伸 任意三个连续整数的平方和被
3
除的余数是几呢?请写出理由.
解:验证
(1)(
-
1)
2
+
0
2
+
1
2
+
2
2
+
3
2
=
1
+
0
+
1
+
4
+
9
=
15
,
15÷5
=
3
,即
(
-
1)
2
+
0
2
+
1
2
+
2
2
+
3
2
的结果是
5
的
3
倍
(2)
设五个连续整数的中间一个为
n
,则其余的
4
个整数分别是
n
-
2
,
n
-
1
,
n
+
1
,
n
+
2
,它们的平方和为:
(n
-
2)
2
+
(n
-
1)
2
+
n
2
+
(n
+
1)
2
+
(n
+
2)
2
=
n
2
-
4n
+
4
+
n
2
-
2n
+
1
+
n
2
+
n
2
+
2n
+
1
+
n
2
+
4n
+
4
=
5n
2
+
10
,∵
5n
2
+
10
=
5(n
2
+
2)
,又
n
是整数,∴
n
2
+
2
是整数,∴五个连续整数的平方和是
5
的倍数 延伸 任意三个连续整数的平方和被
3
除的余数是
2.
理由:设三个连续整数分别为
n
-
1
,
n
,
n
+
1
,它们的平方和为
(n
-
1)
2
+
n
2
+
(n
+
1)
2
=
n
2
-
2n
+
1
+
n
2
+
n
2
+
2n
+
1
=
3n
2
+
2
,∵
n
为整数,∴
n
2
为整数,∴任意三个连续整数的平方和被
3
除的余数是
2
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