- 399.15 KB
- 2021-10-27 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第十二章
全等三角形
12.2三角形全等的判定
第4课时
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法
“HL”.(难点)
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个
直角三角形全等.(重点)
学习目标
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法
导入新课
C
B
A
AC
BC AB
思考:
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角
形是否适用?
A
B C
A′
B′ C′
1.两个直角三角形中,斜
边和一个锐角对应相等,
这两个直角三角形全等吗?
为什么?
2.两个直角三角形中,有一条直角边和一锐角对应相
等,这两个直角三角形全等吗?为什么?
3.两个直角三角形中,两直角边对应相等,这两个直
角三角形全等吗?为什么?
口答:
动脑想一想
如图,已知AC=DF,BC=EF,
∠B=∠E,△ABC≌△DEF吗?
我们知道,证明三角形全等不存
在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
问题:
如果这两个三角形都是直角三
角形,即∠B=∠E=90°,
且AC=DF,BC=EF,现在能
判定△ABC≌△DEF吗?
A
B
C
D
E
F
讲授新课
直角三角形全等的判定(“斜边、直角边”定理)
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个
Rt△A ′B ′C ′,使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把
画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来,放到Rt△ABC上,它们
能重合吗? A
B C
作图探究
画图思路
(1)先画∠M C′ N=90°
A
B C M C′
N
画图思路
(2)在射线C′M上截取B′C′=BC
M C′
A
B C
N
B′
画图思路
(3)以点B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于A′
M C′
A
B C
N
B′
A′
画图思路
(4)连接A′B′
M C′
A
B C
N
B′
A′
思考:通过上面的探究,你能得出什么结论?
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
u文字语言:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
u几何语言:
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三
角形全等,但是“边边”指的
是斜边和一直角边,而“角”
指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不
全等的画“×”,全等的注明理由:
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;( )
(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等;( )
(3)一个锐角和斜边对应相等; ( )
(4)两直角边对应相等; ( )
(5)一条直角边和斜边对应相等. ( )HL
×
SAS
AAS
AAS
判一判
典例精析
例1 如图,AC⊥BC, BD⊥AD,
AC﹦BD,求证:BC﹦AD.
证明: ∵ AC⊥BC, BD⊥AD,
∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中,
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D C
应用“HL”的前提条
件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判
定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段
相等,这是常见的思路.
变式1: 如图, ∠ACB =∠ADB=90,要证明△ABC≌
△BAD,还需一个什么条件?把这些条件都写出来,并在相
应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
A B
D C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
如图,AC、BD相交于点P,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分
别为C、D,AD=BC.求证:AC=BD.
变式2
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
如图:AB⊥AD,CD⊥BC,AB=CD,判断AD和BC的位置
关系.
变式3
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
例2 如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE
的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE.
证明:∵AD,AF分别是两个钝角
△ABC和△ABE的高,且AD=AF,
AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE.
方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解
决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方
法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该
抓住“直角”这个隐含的已知条件.
例3:如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角
∠B和∠F的大小有什么关系?
解:在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
D
A
当堂练习
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( )
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点
E ,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,
则 CH的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,在△ABC中,已知BD⊥AC,CE ⊥AB,
BD=CE.求证:△EBC≌△DCB. A
B C
E D
证明: ∵ BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中,
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
3.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,
则△ADB与△ADC (填“全等”或
“不全等”),根据 (用简写法).
全等
HL
A
F CE
D
B
5.如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证:BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF, ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证:BD平分EF.
A
F C
E
D
B
G
变式训练1
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想:BD平分EF吗?
变式训练2
C
AB=CD,
AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
6.如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=
5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂
直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时
△ABC才能和△APQ全等?
【分析】本题要分情况讨论:(1)Rt△APQ≌ Rt△CBA,此时AP=BC=5cm,
可据此求出P点的位置.(2)Rt△QAP≌ Rt△BCA,此时AP=AC,P、C重
合.
解:(1)当P运动到AP=BC时,
∵∠C=∠QAP=90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中,
∵PQ=AB,AP=BC,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),
∴AP=BC=5cm;
能力拓展
(2)当P运动到与C点重合时,AP=AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中,
∵PQ=AB,AP=AC,
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),
∴AP=AC=10cm,
∴当AP=5cm或10cm时,△ABC才能和△APQ全等.
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边
和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边
和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.
课堂小结
“斜边、
直角边”
内 容
斜边和一条直角边对应相
等的两个直角三角形全等.
前 提
条 件
在直角三角形中
使 用
方 法
只须找除直角外的两个条件
即可(两个条件中至少有一
个条件是一对对应边相等)
相关文档
- 华师版八年级数学上册-第13章检测2021-10-276页
- 八年级数学上册14《整式的乘法与因2021-10-2721页
- 八年级数学上册第六章数据的分析小2021-10-2720页
- 八年级数学上册第3章实数3-3实数第2021-10-2724页
- 八年级数学上册第2章三角形2-2命题2021-10-2721页
- 人教版八年级数学上册第十一章三角2021-10-2719页
- 八年级数学上册第一章勾股定理1-32021-10-275页
- 人教版八年级数学上册期末专题复习2021-10-2723页
- 八年级数学上册第二章实数7二次根2021-10-279页
- 2020秋八年级数学上册第一章《勾股2021-10-2712页