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  • 2021-10-27 发布

人教版八年级数学上册第十二章12.2三角形全等的判定

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第十二章 全等三角形 12.2三角形全等的判定 第4课时 1.探索并理解直角三角形全等的判定方法 “HL”.(难点) 2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个 直角三角形全等.(重点) 学习目标 旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法 导入新课 C B A AC BC AB 思考: 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角 形是否适用? A B C A′ B′ C′ 1.两个直角三角形中,斜 边和一个锐角对应相等, 这两个直角三角形全等吗? 为什么? 2.两个直角三角形中,有一条直角边和一锐角对应相 等,这两个直角三角形全等吗?为什么? 3.两个直角三角形中,两直角边对应相等,这两个直 角三角形全等吗?为什么? 口答: 动脑想一想 如图,已知AC=DF,BC=EF, ∠B=∠E,△ABC≌△DEF吗? 我们知道,证明三角形全等不存 在SSA定理. A B C D E F 问题: 如果这两个三角形都是直角三 角形,即∠B=∠E=90°, 且AC=DF,BC=EF,现在能 判定△ABC≌△DEF吗? A B C D E F 讲授新课 直角三角形全等的判定(“斜边、直角边”定理) 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个 Rt△A ′B ′C ′,使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把 画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来,放到Rt△ABC上,它们 能重合吗? A B C 作图探究 画图思路 (1)先画∠M C′ N=90° A B C M C′ N 画图思路 (2)在射线C′M上截取B′C′=BC M C′ A B C N B′ 画图思路 (3)以点B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于A′ M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 (4)连接A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考:通过上面的探究,你能得出什么结论? 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 u文字语言: 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). u几何语言: A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中, ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直角三 角形全等,但是“边边”指的 是斜边和一直角边,而“角” 指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不 全等的画“×”,全等的注明理由: (1)一个锐角和这个角的对边对应相等;( ) (2)一个锐角和这个角的邻边对应相等;( ) (3)一个锐角和斜边对应相等; ( ) (4)两直角边对应相等; ( ) (5)一条直角边和斜边对应相等. ( )HL × SAS AAS AAS 判一判 典例精析 例1 如图,AC⊥BC, BD⊥AD, AC﹦BD,求证:BC﹦AD. 证明: ∵ AC⊥BC, BD⊥AD, ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中, ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条 件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判 定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段 相等,这是常见的思路. 变式1: 如图, ∠ACB =∠ADB=90,要证明△ABC≌ △BAD,还需一个什么条件?把这些条件都写出来,并在相 应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 如图,AC、BD相交于点P,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分 别为C、D,AD=BC.求证:AC=BD. 变式2 HL AC=BD Rt△ABD≌Rt△BAC 如图:AB⊥AD,CD⊥BC,AB=CD,判断AD和BC的位置 关系. 变式3 HL ∠ADB=∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 例2 如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE 的高,如果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE. 证明:∵AD,AF分别是两个钝角 △ABC和△ABE的高,且AD=AF, AC=AE, ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL). ∴CD=EF. ∵AD=AF,AB=AB, ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴BD=BF. ∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE. 方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解 决,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方 法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该 抓住“直角”这个隐含的已知条件. 例3:如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角 ∠B和∠F的大小有什么关系? 解:在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. D A 当堂练习 1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( ) A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点 E ,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4, 则 CH的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图,在△ABC中,已知BD⊥AC,CE ⊥AB, BD=CE.求证:△EBC≌△DCB. A B C E D 证明: ∵ BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中, CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 3.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高, 则△ADB与△ADC (填“全等”或 “不全等”),根据 (用简写法). 全等 HL A F CE D B 5.如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证:BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF, ∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中, AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE. 如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证:BD平分EF. A F C E D B G 变式训练1 AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 如图,AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想:BD平分EF吗? 变式训练2 C AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 6.如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC= 5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂 直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时 △ABC才能和△APQ全等? 【分析】本题要分情况讨论:(1)Rt△APQ≌ Rt△CBA,此时AP=BC=5cm, 可据此求出P点的位置.(2)Rt△QAP≌ Rt△BCA,此时AP=AC,P、C重 合. 解:(1)当P运动到AP=BC时, ∵∠C=∠QAP=90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中, ∵PQ=AB,AP=BC, ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL), ∴AP=BC=5cm; 能力拓展 (2)当P运动到与C点重合时,AP=AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中, ∵PQ=AB,AP=AC, ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL), ∴AP=AC=10cm, ∴当AP=5cm或10cm时,△ABC才能和△APQ全等. 【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边 和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边 和对应角,因此要分类讨论,以免漏解. 课堂小结 “斜边、 直角边” 内 容 斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等. 前 提 条 件 在直角三角形中 使 用 方 法 只须找除直角外的两个条件 即可(两个条件中至少有一 个条件是一对对应边相等)