八年级下数学课件1-4 角平分线的性质_湘教版 16页

第1章　直角三角形 第2课时 角平分线性质定理 的应用 第1章　直角三角形 1.4　角平分线的性质 1．在掌握角平分线性质定理和其逆定理的基础上，针对角平分线、 距离、面积等进行综合计算． 2．根据几何图形并结合实际情况，利用角平分线性质定理去解决 线段相等的证明及等距离的有关作图问题． 目标一　能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题 例1 教材补充例题 如图1－4－4，∠B＝∠C＝90°，M是BC的 中点，DM平分∠ADC. (1)求证：AM平分∠BAD； (2)试说明线段DM与AM之间有怎样的位置关系； (3)线段CD，AB，AD之间有怎样的数量关系？ 并说明理由． 1.4　角平分线的性质 图1－4－4 [解析] (1)首先要作辅助线ME⊥AD，则利用角平分线上的点到角两边的距 离相等可知ME＝MC，再利用中点的条件可知ME＝MB，然后利用角平分线 性质定理的逆定理即可证明AM平分∠BAD.(2)根据平行线的性质得出 ∠CDA＋∠BAD＝180°，求出∠ADM＋∠DAM＝90°，根据三角形内角和定 理求出∠AMD的度数即可．(3)证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD＝ED，同理 得出AE＝AB，即可得出答案． 1.4　角平分线的性质 解：(1)证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E. ∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，∴ME＝MC. ∵M为BC的中点，∴MB＝MC.∴ME＝MB. 又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴AM平分∠BAD. (2)如图，∵DM平分∠ADC，AM平分∠BAD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠B＝∠C＝90°，∴CD∥AB， ∴∠CDA＋∠BAD＝180°，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AMD＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，即DM⊥AM. 1.4　角平分线的性质 (3)CD＋AB＝AD. 理由：如图，∵ME⊥AD，MC⊥CD， ∴∠C＝∠DEM＝90°. 在Rt△DCM和Rt△DEM中， ∵DM＝DM，MC＝ME， ∴Rt△DCM≌Rt△DEM， ∴CD＝ED.同理AE＝AB. ∵ED＋AE＝AD，∴CD＋AB＝AD. 【归纳总结】应用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题的 步骤 (1)根据角找出平分线及平分线上的点； (2)过这点找出表示距离的两条线段(或构造垂线段)； (3)得出距离相等(或角相等)的结论． 1.4　角平分线的性质 目标二　角平分线的性质定理在尺规作图上的应用 图1－4－5 例2 教材补充例题 图1－4－5是三条公路AB，BC，CA.现欲建一 个加油站P，使加油站到三条公路的距离相等． (1)在△ABC内部能建出符合要求的加油站吗？若能，请你作出 它的位置； (2)在△ABC外部能建出符合要求 的加油站吗？若能，请你作出它 的位置，试想有几个位置符合题意？ 1.4　角平分线的性质 [解析] △ABC的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，但不要 忽视△ABC的两条外角平分线的交点到三角形三边的距离也同样相等． 1.4　角平分线的性质 解：(1)能．如图①，作出△ABC的三条角平分线交于点P，将加油站建在P点 的位置即可． (2)能．如图②，分别作出△ABC的三条外角平分线，两两相交于点P1，P2，P3， 将加油站建在点P1或点P2或点P3的位置均符合题意，即有3个位置符合题意． 1.4　角平分线的性质 【归纳总结】 根据角平分线的性质定理及其逆定理作图要综合 考虑下列三种交点： (1)内角平分线的交点； (2)外角平分线的交点； (3)角平分线与其他符合条件线的交点． 1.4　角平分线的性质 知识点一　角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用 小结 运用角平分线的性质定理去判定点到角两边的距离相等；运用角 平分线性质定理的逆定理去判定点的位置是否在角的平分线上． 1.4　角平分线的性质 知识点二　利用角平分线的性质作图 点到角的两边的距离相等的作图转化为作这个角的 __________．平分线 1.4　角平分线的性质 反思 王芳说：一个三角形两个外角的平分线的交点一定在另一个内 角的平分线上．你是否同意王芳的观点？ 1.4　角平分线的性质 1.4　角平分线的性质 解：我同意王芳的观点．如图所示，P是△ABC两个外角的平分线的交点，过点 P分别作AB，AC，BC的垂线段PD，PE，PG，可证PD＝PG＝PE，由角平分线性质 定理的逆定理可得点P在另一个内角∠A的平分线上．