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  • 2021-10-27 发布

八年级下数学课件《正方形及其性质》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.6 正方形 第1课时 正方形及其性质 1 u正方形的定义 u正方形边的性质 u正方形角的性质 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形 状,不像普通铁钉那样是圆的,而呈正 方形,你知道其中的原因吗? 你提的问题十分有趣,为什么是正方形 而不是圆形,这是正方形独特的性质所 起的作用,我们只要再进一步深入接触 正方形就会知道其中的道理. 1 正方形的定义 做一做: 用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形. 知1-导 问题:什么样的四边形是正方形? 正方形(square)是我们熟悉的几何图形,它的四 条边都相等,四个角都是直角.因此,正方形既是矩形, 又是菱形.它既有矩形的性质,又有菱形的性质. 知1-导 知1-讲 正方形的定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形. 要点精析 (1)正方形的四条边都相等,说明正方形是特殊的菱形; (2)正方形的四个角都是直角,说明正方形是特殊的矩形. 即:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形. 知1-讲 例1 如图,已知点E是正方形ABCD的边CD上一点, 点F是CB的延长线上一点, 且EA⊥AF. 求证:DE=BE. 本题要证明两条线段相等,而证明线段相等的方 法有很多,根据题中所给的条件,由正方形 ABCD,我们可以得到边相等,角相等,也可以 得到平行,所以在可以得到比较多的条件的情况 下,一般会想到用全等去解决,而本题中全等的 条件也很充足,那么问题即可解决. 分析: 知1-讲 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠D=∠ABF=∠BAD=90°. ∴∠BAE+∠EAD=90°.∴EA⊥AF, ∴∠BAE+∠FAB=90°.∴∠EAD=∠FAB. ∴△ABF≌ △ADE. ∴DE=BF. 证明: 知1-讲 知道正方形就说明它的四边都相等,四个 角都是直角. 知1-练 (来自教材) 如图,如果正方形ABCD旋转后能与正方形 CFED重合,那么图形所在的平面上可以作为旋 转中心的点共有多少个?请指出它们的位置. 1 共3个. 分别是点D、点C和线段CD的 中点. 解: 知1-练 下面四个定义中不正确的是(  ) A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形 D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 B 知1-练 已知在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°, 如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形, 那么这个条件可以是(  ) A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 3 D 知1-练 【中考·兰州】▱ ABCD的对角线AC与BD相交于 点O,且AC⊥BD,请添加一个条件:________, 使得▱ ABCD为正方形. 4 AC=BD 2 正方形边的性质 正方形的性质:具有矩形、菱形、平行四边形的一切 性质,即: ①边:四条边相等,邻边垂直,对边平行; ②角:四个角都是直角. 知2-讲 知2-讲 例2 已知:如图,在正方形ABCD中,对角线的交 点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG 交AO于F,求证:EF∥AB. 要证EF∥AB,由于∠OBA=45°, ∠EOF=90°,即需证∠OEF= 45°,即要证明OE=OF,而 OE=OF可通过证明△AEO≌ △DFO获得. 导引: 知2-讲 ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,∠OBA=45°. 又∵DG⊥AE, ∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠GED=90°. ∵∠AEO=∠GED,∴∠EAO=∠EDG=∠FDO. ∴△AEO≌ △DFO (ASA).∴OE=OF. ∴∠OEF=45°. ∴∠OEF=∠OBA. ∴EF∥AB. 证明: 知2-讲 通过证明三角形全等得到边和角相等,再进一步 得到平行或垂直,是有关正方形中证边或角相等的最 常用的方法,而正方形的四条边相等,四个角都是直 角为证明三角形全等提供了条件. 1 已知:如图,四边形ABCD和BGFE都是正方 形. 求证:AE=CG. 知2-练 (来自教材) ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CB,∠ABC=90°. ∵四边形BGFE是正方形, ∴BE=BG,∠EBG=90°. ∴∠ABC-∠EBC=∠EBG-∠EBC, 即∠ABE=∠CBG.∴△ABE≌ △CBG. ∴AE=CG. 解: 知2-练 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(  ) A.四个角都相等 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2 B 知2-练 【中考·宁波】一个大矩形按如图方式分割成九个 小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正 方形,在满足条件的所有分割中,若知道九个小 矩形中n个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩 形的面积,则n的最 小值是(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 3 A 知2-练 如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边 中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(  )  A. B.2 C. +1 D.2 +1 4 B 2 2 2 2 【中考·毕节】如图,正方形ABCD的边长为9, 将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处, 折痕为GH. 若BE∶ EC=2∶ 1,则线段CH的长 是(  ) A.3    B.4    C.5    D.6 5 B 知2-练 知3-讲 3知识点 正方形角的性质 例3 如图,正方形ABCD的边长为1 cm,AC为对角线, AE平分∠BAC,EF⊥AC,求BE的长. 线段BE是Rt△ABE的一边,但由 于AE未知,不能直接用勾股定理 求BE, 由条件可证△ABE≌ △AFE,问 题转化为求EF的长,结合已知条 件易获解. 导引: 知3-讲 ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠B=90°,∠ACB=45°,AB=BC=1 cm. ∵EF⊥AC,∴∠EFA=∠EFC=90°. 又∵∠ECF=45°, ∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=FC. ∵∠BAE=∠FAE,∠B=∠EFA=90°,AE=AE, ∴△ABE≌ △AFE. ∴AB=AF=1 cm,BE=EF,∴FC=BE. 在Rt△ABC中,AC ∴FC=AC-AF=( -1)(cm),∴BE=( -1) cm. 2 2 2 21 1 2(cm),AB BC     2 2 解: 知3-讲 解有关正方形的问题,要充分利用正方形的四边 相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质,正 方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解 决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙. 如图,正方形ABCD的对角线 AC为菱形AEFC的一边.求 ∠FAB的度数. 知3-练 1 (来自教材) 由题意可知∠CAE= ∠DAB=45°. ∵在菱形AEFC中,AF平分∠CAE, ∴∠FAB= ∠CAE=22.5°. 1 2 1 2 解: 如图,E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点, 且CE=BD,AE交DC于点F. 求∠AFC的度数. 知3-练 2 (来自教材) 连接AC,在正方形ABCD中, AC=BD,AD∥BC, ∠DAC=∠ACD=45°. ∵BD=CE,∴AC=CE.∴∠CAE=∠CEA. ∵AD∥CE,∴∠DAF=∠AEC. ∴∠DAF=∠CAE= ∠DAC=22.5°. 又∵∠ACF=45°,∴∠AFC=112.5°. 1 2 解: 知3-练 【中考·河北】如图是边长为10 cm的正方形铁片, 过两个顶点剪掉一个三角形,以下 四种剪法中,裁剪线长度所标的数 据(单位:cm)不正确的是(  ) 3 A 知3-练 【中考·郴州】如图,在正方形ABCD中,△ABE 和△CDF为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°, AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是(  ) A.7 B.8 C.7 D.7 4 C 2 3 知3-练 【中考·河南】我们知道:四边形具有不稳定性. 如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形 ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O, 固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落 在y轴正半轴上点D′处,则点 C的对应点C′的坐标为(  ) A.( ,1) B.(2,1) C.(1, ) D.(2, ) 5 D 3 3 3 1 正方形同时具备平行四边形、菱形、矩形的所有性 质,因此,正方形的四个角都是直角,四条边都相 等,对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平 分一组对角,正方形是轴对称图形,有四条对称 轴.这些性质为证明线段相等、垂直,角相等提供 了重要的依据. 【中考·安顺】如图,正方形ABCD的边长为4,E为 BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P 为AC上一个动点,则PF+PE的 最小值为________. 2 易错小结 易错点:不能将两线段和转化为一条线段而致错 17 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题!