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- 2021-10-27 发布
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15.3
分式方程
第十五章 分 式
第
1
课时
分式方程及其解法
学习目标
1.
掌握解分式方程的基本思路和解法
.
(重点)
2.
理解分式方程时可能无解的原因
.
(难点)
导入新课
问题引入
一艘轮船在
静水
中的最大航速为
30
千米
/
时,它沿江以最大航速
顺流
航行
90
千米所用时间,与以最大航速
逆流
航行
60
千米所用时间相等
.
设江水的流速为
x
千米
/
时,根据题意可列方程
.
这个程是我们以前学过的方程吗?它与
一元一次
方程有什么区别?
讲授新课
分式方程的概念
一
定义:
此方程的分母中含有未知数
x
,像这样
分母中含未知数的方程
叫做
分式方程
.
知识要点
判一判
下列方程中,哪些是分式方程?哪些是整式方程?
整式方程
分式方程
方法总结
:
判断一个方程是否为分式方程,主要是看分母中是否含有未知数
(
注意:
π不是未知数
)
.
你能试着解这个分式方程吗?
(2)
怎样
去分母
?
(3)
在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去
?
(4)
这样做的
依据
是什么?
解分式方程最关键的问题是什么?
(1)
如何把它
转化
为整式方程呢?
“去分母”
分式方程的解法
二
方程各分母最简公分母是
:
(
3
0+
x
)(
3
0-
x
)
解:
方程①两边同乘
(
30+
x
)(30-
x
)
,
得
检验:
将
x
=
6
代入原分式方程中,左边= =右边,
因此
x
=
6
是原分式方程的解
.
90
(
30-
x
)=60(30+
x
)
,
解得
x
=6.
x
=6
是原分式方程的
解吗?
解分式方程的基本思路:是将
分式方程
化为
整式方程
,具体做法是“
去分母
” 即方程两边同乘
最简公分母
.
这也是解分式方程的一般方法
.
归纳
下面我们再讨论一个分式方程:
解:
方程两边同乘
(
x
+5)(
x
-5)
,得
x
+5=10
,
解得
x
=5.
x
=5
是原分式方程的
解吗?
检验:
将
x
=
5
代入原方程中,分母
x
-5
和
x
2
-25
的值都为
0
,相应的分式无意义
.
因此
x
=5
虽是整式方程
x
+5=10
的解,但不是原分式方程 的解,实际上,这个分式方程无解
.
想一想:
上面两个分式方程中,为什么
去分母后所得整式方程的解就
是
原分式方程的解,
而 去分母后所得整式方程的解却
不是
原分式方程的解呢?
真相揭秘:
分式两边同乘了不为
0
的式子
,
所得整式方程的解与分式方程的解相同
.
我们再来观察去分母的过程
:
90(30-
x
)=60(30+
x
)
两边同乘
(30+
x
)(30-
x
)
当
x
=6
时
,(30+
x
)(30-
x
)≠0
真相揭秘:
分式两边同乘了等于
0
的式子
,
所得整式方程的解使分母为
0
,
这个整式方程的解就不是原分式方程的解
.
x
+5=10
两边同乘
(
x
+5)(
x
-5)
当
x
=5
时
,
(
x
+5)(
x
-5)=0
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为
0
,所以分式方程的解必须检验.
怎样检验?
这个整式方程的解是不是原分式的解呢?
分式方程解的检验
------
必不可少的步骤
检验方法:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为
0
,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解
.
1.
在方程的两边都乘以
最简公分母
,约去分母,化成整式方程
.
2.
解这个整式方程
.
3.
把整式方程的解代入
最简公分母
,如果最简公分母的值
不为
0
,则整式方程的解是原分式方程的解,否则须舍去。
4.
写出原方程的根
.
简记为:“
一化二解三检验
”
.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤
典例精析
例
1
解方程
解:
方程两边乘
x
(
x
-3)
,
得
2
x
=3
x
-9.
解得
x
=9.
检验:当
x
=9
时,
x
(
x
-3) ≠0.
所以,原分式方程的解为
x
=9.
例
2
解方程
解:
方程两边乘
(
x
-1)(
x
+2),
得
x
(
x
+2)-(
x
-1)(
x
+2)=3.
解得
x
=1.
检验:当
x
=1
时,
(
x
-1)(
x
+2) =0,
因此
x
=1
不是原分式方程的解
.
所以,原分式方程无解
.
用框图的方式总结为:
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x
=
a
检验
x
=
a
是分式
方程的解
x
=
a
不是分式
方程的解
x
=
a
最简公分母是
否为零?
否
是
例
3
关于
x
的方程 的解是正数,则
a
的取值范围是
____________
.
解析:去分母得
2
x
+
a
=
x
-
1
,解得
x
=-
a
-
1
,
∵
关于
x
的方程 的解是正数,
∴
x
>
0
且
x
≠1
,
∴
-
a
-
1
>
0
且-
a
-
1≠1
,解得
a
<-
1
且
a
≠
-
2
,
∴
a
的取值范围是
a
<-
1
且
a
≠
-
2.
方法总结:
求出方程的解
(
用未知字母表示
)
,然后根据解的正负性,列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为
0.
a
<-
1
且
a
≠
-
2
若关于
x
的分式方程 无解,求
m
的值.
例
4
解析:先把分式方程化为整式方程,再分两种情况讨论求解:一元一次方程无解与分式方程有增根.
解:方程两边都乘以
(
x
+
2)(
x
-
2)
得
2(
x
+
2)
+
mx
=
3(
x
-
2)
,
即
(
m
-
1)
x
=-
10.
①
当
m
-
1
=
0
时,此方程无解,此时
m
=
1
;
②
方程有增根,则
x
=
2
或
x
=-
2
,
当
x
=
2
时,代入
(
m
-
1)
x
=-
10
得
(
m
-
1)×2
=-
10
,
m
=-
4
;
当
x
=-
2
时,代入
(
m
-
1)
x
=-
10
得
(
m
-
1)×(
-
2)
=-
10
,解得
m
=
6
,
∴
m
的值是
1
,-
4
或
6.
方法总结:
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的.
分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为
0
的数,分式方程无解不但包括使最简公分母为
0
的数,而且还包括分式方程化为整式方程后,使整式方程无解的数.
当堂练习
D
2.
要把方程 化为整式方程,方程两边可以同乘以( )
A. 3
y
-6 B. 3
y
C. 3 (3
y
-6) D. 3
y
(
y
-2)
1.
下列关于
x
的方程中,是分式方程的是
(
)
A. B.
C. D.
D
3.
解分式方程 时,去分母后得到的整式方程是( )
A.2
(
x
-8)+5
x
=16(
x
-7) B.2(
x
-8)+5
x
=8
C.2(
x
-8)-5
x
=16(
x
-7) D.2(
x
-8)-5
x
=8
A
4
.
若关于
x
的分式方程 无解,则
m
的值为
( )
A
.-
1
,
5 B
.
1
C
.-
1.5
或
2 D
.-
0.5
或-
1.5
D
5.
解方程:
解:去分母,得
解得
检验:把 代入
所以原方程的解为
课堂小结
分式
方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
注意
(1)
去分母时,原方程的整式部分漏乘.
步骤
(去分母法)
一化(分式方程转化为整式方程);
二解(整式方程);
三检验(代入最简公分母看是否为零)
(2)约去分母后,分子是多项式时,没有添括号.(因分数线有括号的作用)
(3)忘记检验