青岛版八年级上册期末试卷 24页

第 1页（共 24页） 青岛版八年级上册期末试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分） 1．（3 分）如图是四届世界数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则 CE 的长为（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 3．（3 分）下列分式中是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）如图，要量湖两岸相对两点 A、B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D， 使 CD＝BC，再作出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC， 用于判定全等的是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．（3 分）如果 ＝ ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 6．（3 分）如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的 图形是（ ） 第 2页（共 24页） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 7．（3 分）已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的众数和中位数 分别是（ ） A．15，15 B．15，14 C．16，14 D．16，15 8．（3 分）下列命题中假命题是（ ） A．三角形的外角中至少有两个是钝角 B．直角三角形的两锐角互余 C．全等三角形的对应边相等 D．当 m＝1 时，分式 的值为零 9．（3 分）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（3 分）如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点，AD＝5， 点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为（ ） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 11．（3 分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O，AB∥OC，DC 与 OB 交于点 E，则∠DEO 的度数为（ ） 第 3页（共 24页） A．85° B．70° C．75° D．60° 12．（3 分）已知：如图△ABC 中，BD 为△ABC 的角平分线，且 BD＝BC，E 为 BD 延长线 上的一点，BE＝BA，过 E 作 EF⊥AB，F 为垂足．下列结论： ① △ABD≌△EBC； ② ∠ BCE+∠BCD＝180°； ③ AD＝AE＝EC； ④ BA+BC＝2BF．其中正确的是（ ） A． ①②③ B． ①③④ C． ①②④ D． ①②③④二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．（3 分）分式 ， 的最简公分母是 ． 14．（3 分）某校规定学生的体育成绩由三部分组成；体育技能测试占 50%，体育理论测试 占 20%，体育课外活动表现 30%，甲同学的上述三部分成绩依次为 96 分，85 分，90 分， 则甲同学的体育成绩为 分． 15．（3 分）若 ＝ ＝ ，则 的值为 ． 16．（3 分）若分式方程 有增根，则 m＝ ． 17．（3 分）如图，CA⊥AB，垂足为点 A，AB＝8，AC＝4，射线 BM⊥AB，垂足为点 B，一 动点 E 从 A 点出发以 2 厘米/秒的速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 ED＝CB，当点 E 离开点 A 后，运动 秒时，△DEB 与△BCA 全等． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 69 分） 18．（12 分）计算 （1） • 第 4页（共 24页） （2） • （3） ﹣ （4）x﹣y+ ． 19．（10 分）解分式方程： （1） ＝1﹣ ． （2） ﹣ ＝ ． 20．（5 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 x＝3． 21．（8 分）（1）如图，试用直尺与圆规在平面内确定一点 O，使得点 O 到 Rt△ABC 的两边 AC、BC 的距离相等，并且点 O 到 A、B 两点的距离也相等．（不写作法，但需保留作图 痕迹） （2）在（1）中，作 OM⊥AC 于 M，ON⊥BC 于 N，连结 AO、BO．求证：△OMA≌△ONB． 22．（8 分）甲、乙两个工程队参与某小区 7200 平方米（外墙保温）工程招标，比较这两个 工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的 1.5 倍，这样乙队单独干比甲队单独 干能提前 15 天完成任务，求甲队在投标书上注明的每天完成的工程量． 23．（6 分）阅读下面的证明过程，在每步后的横线上填写该步推理的依据． 如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE 是∠ABC 的角平分线，求证：DF∥AB 证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线 ∴∠1＝∠2 又∵∠E＝∠1 ∴∠E＝∠2 第 5页（共 24页） ∴AE∥BC ∴∠A+∠ABC＝180° 又∵∠3+∠ABC＝180° ∴∠A＝∠3 ∴DF∥AB ． 24．（8 分）甲、乙两人分别在六次射击中的成绩如下表：（单位：环） 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 甲 6 7 7 8 6 8 乙 5 9 6 8 5 9 分别算出两人射击的平均数和方差．这六次射击中成绩发挥比较稳定的是谁？ 25．（12 分）（1）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一 逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由． （2）若一个三角形经过它的某一定点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们 称该三角形为等腰三角形的生成三角形，简称生成三角形． ① 画出等边△DEF 的一个生成三角形，并标出生成三角形的各个角的度数；（不用尺规作图， 画出简图即可） ② 若等腰△ABC 有一个内角等于 36°，那么请你画出简图说明△ABC 是生成三角形．（要 求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数） 第 6页（共 24页） 答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分） 1．（3 分）如图是四届世界数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合． 2．（3 分）如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则 CE 的长为（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【考点】KA：全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的性质求出 AC＝5，AE＝2，进而得出 CE 的长． 【解答】解：∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝DE＝5，BC＝AE＝2， ∴CE＝5﹣2＝3． 故选：C． 第 7页（共 24页） 【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，关键是求出 AC＝5，AE＝2，主要培养学生 的分析问题和解决问题的能力． 3．（3 分）下列分式中是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【考点】68：最简分式． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、 分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相 同的因式从而进行约分． 【解答】解：A、分子分母含有公因式（x﹣1），故 A 错误； B、含有公因式 2，故 B 错误； C、分子，分母中不含有公因式，故 C 正确； D、含有互为相反数的因式，故 D 错误； 故选：C． 【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数 的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 4．（3 分）如图，要量湖两岸相对两点 A、B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D， 使 CD＝BC，再作出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC， 用于判定全等的是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【考点】KE：全等三角形的应用． 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根 据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC 用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB ＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即 ASA 这一方法． 第 8页（共 24页） 故选：C． 【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、 ASA、AAS、HL，做题时注意选择． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若 有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5．（3 分）如果 ＝ ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 【考点】S1：比例的性质． 【分析】根据比例式的性质求解即可求得答案． 【解答】解：∵a：b＝2：3， ∴（a+b）：b＝ ． 故选：B． 【点评】本题考查了比例的基本性质，关键是根据比例的性质求解． 6．（3 分）如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的 图形是（ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【考点】KB：全等三角形的判定． 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC 不全等； 图乙符合 SAS 定理，即图乙和△ABC 全等； 图丙符合 AAS 定理，即图丙和△ABC 全等； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA， AAS，SSS． 7．（3 分）已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的众数和中位数 分别是（ ） 第 9页（共 24页） A．15，15 B．15，14 C．16，14 D．16，15 【考点】W4：中位数；W5：众数． 【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第 4、5 个数的平均数是中位数，在这组数 据中出现次数最多的是 15，得到这组数据的众数． 【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：13，14，15，15，15，16，16，17， 第 4、5 个两个数的平均数是（15+15）÷2＝15， 所以中位数是 15， 在这组数据中出现次数最多的是 15， 即众数是 15， 故选：A． 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些 学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时 候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则 正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 8．（3 分）下列命题中假命题是（ ） A．三角形的外角中至少有两个是钝角 B．直角三角形的两锐角互余 C．全等三角形的对应边相等 D．当 m＝1 时，分式 的值为零 【考点】O1：命题与定理． 【分析】根据三角形的外角、直角三角形的性质、全等三角形的性质、分式的值为 0 逐个判 断即可． 【解答】解：A、三角形的内角最少有两个锐角，即最少也有两个外角是钝角，是真命题， 故本选项不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余，是真命题，故本选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，是真命题，故本选项不符合题意； D、当 m＝1 时，分母为 0，只有当 m＝﹣1 时，分式的值为 0，是假命题，故本选项符合题 意； 故选：D． 第 10页（共 24页） 【点评】本题考查了三角形的外角、直角三角形的性质、全等三角形的性质、分式的值为 0、 命题和定理等知识点，能灵活运用知识点进行判断是解此题的关键． 9．（3 分）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】65：分式的基本性质． 【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断，选择正确答案． 【解答】解：A、 ，故 A 错误； B、C 分式中没有公因式，不能约分，故 B、C 错误； D、 ＝ ，故 D 正确． 故选：D． 【点评】对分式的化简，正确理解分式的基本性质是关键，约分时首先要把分子、分母中的 式子分解因式． 10．（3 分）如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点，AD＝5， 点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为（ ） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 【考点】KK：等边三角形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题． 【分析】过 C 作 CE⊥AB 于 E，交 AD 于 F，连接 BF，则 BF+EF 最小，证△ADB≌△CEB 得 CE＝AD＝5，即 BF+EF＝5． 【解答】解：过 C 作 CE⊥AB 于 E，交 AD 于 F，连接 BF，则 BF+EF 最小（根据两点之间 线段最短；点到直线垂直距离最短），由于 C 和 B 关于 AD 对称，则 BF+EF＝CF， 第 11页（共 24页） ∵等边△ABC 中，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一）， ∴C 和 B 关于直线 AD 对称， ∴CF＝BF， 即 BF+EF＝CF+EF＝CE， ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°， 在△ADB 和△CEB 中， ∵ ， ∴△ADB≌△CEB（AAS）， ∴CE＝AD＝5， 即 BF+EF＝5， 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质， 等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用． 11．（3 分）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O，AB∥OC，DC 与 OB 交于点 E，则∠DEO 的度数为（ ） A．85° B．70° C．75° D．60° 【考点】JA：平行线的性质． 第 12页（共 24页） 【分析】由平行线的性质求出∠AOC＝120°，再求出∠BOC＝30°，然后根据三角形的外 角性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥OC，∠A＝60°， ∴∠A+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠DEO＝∠C+∠BOC＝45°+30°＝75°； 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角 形的外角性质是解决问题的关键． 12．（3 分）已知：如图△ABC 中，BD 为△ABC 的角平分线，且 BD＝BC，E 为 BD 延长线 上的一点，BE＝BA，过 E 作 EF⊥AB，F 为垂足．下列结论： ① △ABD≌△EBC； ② ∠ BCE+∠BCD＝180°； ③ AD＝AE＝EC； ④ BA+BC＝2BF．其中正确的是（ ） A． ①②③ B． ①③④ C． ①②④ D． ①②③④【考点】KD：全等三角形的判定与性质． 【专题】1：常规题型． 【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC 可得 ①② 正确，再根据角平 分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即 ③ 正确，根据 ③ 可求得 ④ 正确． 【解答】解： ① ∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD， ∴在△ABD 和△EBC 中， ， ∴△ABD≌△EBC（SAS），… ① 正确； ② ∵BD 为△ABC 的角平分线，BD＝BC，BE＝BA， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA， 第 13页（共 24页） ∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，… ② 正确； ③ ∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE 为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC， ∴AD＝AE＝EC．… ③ 正确； ④ 过 E 作 EG⊥BC 于 G 点， ∵E 是∠ABC 的角平分线 BD 上的点，且 EF⊥AB， ∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在 Rt△BEG 和 Rt△BEF 中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG＝BF， ∵在 Rt△CEG 和 Rt△AFE 中， ， ∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．… ④ 正确． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质， 本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关 键． 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 第 14页（共 24页） 13．（3 分）分式 ， 的最简公分母是 6x3（x﹣y） ． 【考点】69：最简公分母． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式 ， 的分母分别是 2x3、6x2（x﹣y），故最简公分母是 6x3 （x﹣y）； 故答案为 6x3（x﹣y）． 【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式 的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法： ① 如果各分母都 是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同 字母都写在积里． ② 如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数 字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高 次幂． 14．（3 分）某校规定学生的体育成绩由三部分组成；体育技能测试占 50%，体育理论测试 占 20%，体育课外活动表现 30%，甲同学的上述三部分成绩依次为 96 分，85 分，90 分， 则甲同学的体育成绩为 92 分． 【考点】W2：加权平均数． 【分析】根据体育技能测试占 50%，体育理论测试占 20%，体育课外活动表现 30%，利用 加权平均数的公式即可求出答案． 【解答】解：由题意知，甲同学的体育成绩是： 96×50%+85×20%+90×30%＝92（分）． 则甲同学的体育成绩是 92 分． 故答案为：92． 【点评】本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数． 15．（3 分）若 ＝ ＝ ，则 的值为 ﹣ ． 【考点】S1：比例的性质． 第 15页（共 24页） 【分析】可以设 ＝ ＝ ＝k，则 x＝3k，y＝4k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子， 进行化简就可以求出式子的值． 【解答】解：设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则 x＝3k，y＝4k，z＝5k， 则 ＝ ＝ ＝﹣ ． 故答案为﹣ ． 【点评】本题考查了比例的性质．解题的关键是先设 ＝ ＝ ＝k，可得 x＝3k，y＝4k，z ＝5k，从而降低计算难度． 16．（3 分）若分式方程 有增根，则 m＝ 2 ． 【考点】B5：分式方程的增根． 【专题】11：计算题． 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0 的根．有增根，最简 公分母 x﹣3＝0，所以增根是 x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母 的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得 m＝2+（x﹣3）， ∵方程有增根， ∴最简公分母 x﹣3＝0，即增根是 x＝3， 把 x＝3 代入整式方程，得 m＝2． 故答案为 2． 【点评】解决增根问题的步骤： ① 确定增根的值； ② 化分式方程为整式方程； ③ 把增根代 入整式方程即可求得相关字母的值． 17．（3 分）如图，CA⊥AB，垂足为点 A，AB＝8，AC＝4，射线 BM⊥AB，垂足为点 B，一 动点 E 从 A 点出发以 2 厘米/秒的速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 ED＝CB，当点 E 离开点 A 后，运动 2，6，8 秒时，△ DEB 与△BCA 全等． 第 16页（共 24页） 【考点】KB：全等三角形的判定． 【分析】此题要分两种情况： ① 当 E 在线段 AB 上时， ② 当 E 在 BN 上，再分别分成两种 情况 AC＝BE，AC＝BE 进行计算即可． 【解答】解： ① 当 E 在线段 AB 上，AC＝BE 时，△ACB≌△BED， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8﹣4＝4， ∴点 E 的运动时间为 4÷2＝2（秒）； ② 当 E 在 BN 上，AC＝BE 时， ∵AC＝4， ∴BE＝4， ∴AE＝8+4＝12， ∴点 E 的运动时间为 12÷2＝6（秒）； ③ 当 E 在线段 AB 上，AB＝EB 时，△ACB≌△BDE， 这时 E 在 A 点未动，因此时间为 0 秒； ④ 当 E 在 BN 上，AB＝EB 时，△ACB≌△BDE， AE＝8+8＝16， 点 E 的运动时间为 16÷2＝8（秒）， 故答案为：2，6，8． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，关键是熟记判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角 形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 69 分） 第 17页（共 24页） 18．（12 分）计算 （1） • （2） • （3） ﹣ （4）x﹣y+ ． 【考点】6C：分式的混合运算． 【分析】（1）对分式进行约分，然后求解即可； （2）先将分式进行化简，然后结合分式混合运算的运算法则进行求解； （3）将各分式的分子进行合并求解即可； （4）先将 x﹣y 变形为 ，然后结合分式混合运算的运算法则进行求解． 【解答】解：（1） • ＝ ． （2） • ＝ × ＝﹣ ． （3） ﹣ ＝ ＝ ＝x﹣y． 第 18页（共 24页） （4）x﹣y+ ＝ + ＝ ＝ ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运算的运算法 则． 19．（10 分）解分式方程： （1） ＝1﹣ ． （2） ﹣ ＝ ． 【考点】B3：解分式方程． 【专题】11：计算题；522：分式方程及应用． 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得 到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：1＝x﹣4+x﹣3， 解得：x＝4， 经检验 x＝4 是增根，原分式方程无根； （2）去分母得：2﹣2x﹣3﹣3x＝9， 解得：x＝﹣2， 经检验 x＝﹣2 是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． 20．（5 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 x＝3． 【考点】66：约分；6A：分式的乘除法；6B：分式的加减法；6D：分式的化简求值． 【专题】11：计算题． 【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把 x＝3 代入求出即可． 第 19页（共 24页） 【解答】解：原式＝[ ﹣ ]÷ ， ＝ × ， ＝ × ， ＝ ， 当 x＝3 时，原式＝ ＝1． 【点评】本题综合考查了分式的加减法则、乘除法则，约分等知识点的应用，关键是考查学 生的运算能力，培养学生的解决问题的能力，题目比较典型，是一道很好的题目． 21．（8 分）（1）如图，试用直尺与圆规在平面内确定一点 O，使得点 O 到 Rt△ABC 的两边 AC、BC 的距离相等，并且点 O 到 A、B 两点的距离也相等．（不写作法，但需保留作图 痕迹） （2）在（1）中，作 OM⊥AC 于 M，ON⊥BC 于 N，连结 AO、BO．求证：△OMA≌△ONB． 【考点】KB：全等三角形的判定；KF：角平分线的性质；KG：线段垂直平分线的性质； N3：作图—复杂作图． 【专题】12：应用题． 【分析】（1）作∠ACB 的平分线和线段 AB 的垂直平分线，它们的交点即为点 O； （2）根据角平分线的性质得到 OM＝ON，根据线段垂直平分线的性质得到 OA＝OB，则根 据“HL”可证明△OMA≌△ONB． 【解答】解：（1）如图 1， 第 20页（共 24页） （2）如图 2， ∵OC 平分∠ACB，OM⊥AC，ON⊥CN， ∴OM＝ON， ∵点 O 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴OA＝OB， 在 Rt△△OMA 和△ONB 中， ， ∴△OMA≌△ONB． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般 是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的 性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等 三角形的判定． 22．（8 分）甲、乙两个工程队参与某小区 7200 平方米（外墙保温）工程招标，比较这两个 工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的 1.5 倍，这样乙队单独干比甲队单独 干能提前 15 天完成任务，求甲队在投标书上注明的每天完成的工程量． 【考点】B7：分式方程的应用． 【分析】设甲队每天完成 x 米 2，乙队每天完成 1.5x 米 2．则依据“乙队单独干比甲队单独 第 21页（共 24页） 干能提前 15 天完成任务”列出方程． 【解答】解：设甲队每天完成 x 米 2，乙队每天完成 1.5 x 米 2，根据题意得． ＝15， 解得 x＝160， 经检验，x＝160，是所列方程的解． 答：甲队每天完成 160 米 2． 【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23．（6 分）阅读下面的证明过程，在每步后的横线上填写该步推理的依据． 如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE 是∠ABC 的角平分线，求证：DF∥AB 证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线 ∴∠1＝∠2 （角的平分线的定义） 又∵∠E＝∠1 ∴∠E＝∠2 等量代换 ∴AE∥BC 内错角相等，两直线平行 ∴∠A+∠ABC＝180° 两直线平行，同旁内角互补 又∵∠3+∠ABC＝180° ∴∠A＝∠3 同角的补角相等 ∴DF∥AB 同位角相等，两直线平行 ． 【考点】JB：平行线的判定与性质． 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的判定定理和性质定理即可解答． 【解答】解：证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线 ∴∠1＝∠2（角的平分线的定义）， 又∵∠E＝∠1 ∴∠E＝∠2 （等量代换） ∴AE∥BC （内错角相等，两直线平行）， 第 22页（共 24页） ∴∠A+∠ABC＝180° （两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠3+∠ABC＝180° ∴∠A＝∠3 （同角的补角相等）， ∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）． 故答案是：角的平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内 角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，正确理解定理是关键． 24．（8 分）甲、乙两人分别在六次射击中的成绩如下表：（单位：环） 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 甲 6 7 7 8 6 8 乙 5 9 6 8 5 9 分别算出两人射击的平均数和方差．这六次射击中成绩发挥比较稳定的是谁？ 【考点】W1：算术平均数；W7：方差． 【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲和乙的平均数， 甲＝ 乙＝7；再根据方差的计 算公式 S2＝ [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]计算出它们的方差，然后根据方 差的意义即可确定答案． 【解答】解：∵ 甲＝ （6+7+7+8+6+8）＝7， 乙＝ （5+9+6+8+5+9）＝7； ∴S2 甲＝ [（6﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2]＝ ， S2 乙＝ [（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（5﹣7）2+（9﹣7）2]＝3； ∴S2 甲＜S2 乙， ∴甲在射击中成绩发挥比较稳定． 【点评】本题考查了方差的定义和意义：数据 x1，x2，…xn，其平均数为 ，则其方差 S2＝ [（x1 ﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]；方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大 小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定． 25．（12 分）（1）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一 逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由． （2）若一个三角形经过它的某一定点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们 第 23页（共 24页） 称该三角形为等腰三角形的生成三角形，简称生成三角形． ① 画出等边△DEF 的一个生成三角形，并标出生成三角形的各个角的度数；（不用尺规作图， 画出简图即可） ② 若等腰△ABC 有一个内角等于 36°，那么请你画出简图说明△ABC 是生成三角形．（要 求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数） 【考点】K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质；KH：等腰三角形的性质；KY： 三角形综合题． 【专题】15：综合题． 【分析】（1）先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三 角形的性质得出∠A＝∠ACD，∠BCD＝∠B，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠ B+∠A+∠ACD＝180°，代入即可求出∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°，即可推 出答案； （2） ① 延长△DEF 的边 EF 至 G，使得 FG＝DF，连接 DG，△DEG 即为所求； ② 若等腰 三角形的顶角是 36°，可画底角的角平分线，可得答案；若等腰三角形的顶角是 108°， 把顶角分成 36°和 72°两部分，可得答案． 【解答】解：（1）逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角 形是直角三角形． 已知，如图，△ABC 中，D 是 AB 边的中点，且 CD＝ AB． 求证：△ABC 是直角三角形． 证明：∵D 是 AB 边的中点，且 CD＝ AB， ∴AD＝BD＝CD， 第 24页（共 24页） ∵AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A， ∵BD＝CD， ∴∠BCD＝∠B， 又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B＝180°， ∴2（∠ACD+∠BCD）＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC 是直角三角形． （2） ① 如图所示，△DEG 即为所求，其中∠E＝60°，∠G＝30°，∠EDG＝90°； ② 如图所示，等腰△ABC 是生成三角形． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的内角和 定理的运用．解题时注意：等角对等边是判定等腰三角形的方法；三角形内角和是 180°．