八年级数学上册第五章二元一次方程组5-6二元一次方程与一次函数说课稿 北师大版 10页

1 第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数（一） 一、教材分析 《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第五章第六节内容． 本节内容共安排 2 个课时完成，本节课为第 1 课时．该节内容是二元一次方程（组） 与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学 转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方 程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意 识和能力．本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似 解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立 方程应用代数方法求解，其结果才是准确的． 二、学情分析 学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困 难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会“数”和“形” 间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，“形”的问 题也可以通过“数”来解决． 三、目标分析 1．教学目标 知识与技能目标 （1） 初步理解二元一次方程和一次函数的关系； （2） 掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系； （3） 掌握二元一次方程组的图像解法．  过程与方法目标 （1） 教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索 中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法； （2） 通过“做一做”引入例 1，进一步发展学生数形结合的意识和能力．  情 感与态度目标 （1） 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培 养学生勤于思考、精益求精的精神． （2） 在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识 和变式能力． 2．教学重点 （1）二元一次方程和一次函数的关系； （2）二元一次方程组和对应的两条直线的关系． 3．教学难点 数形结合和数学转化的思想意识． 四、教法学法 1．教法学法 2 启发引导与自主探索相结合． 2．课前准备 教具：多媒体课件、三角板． 学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸． 五、教学过程 本节课设计了六个教学环节：第一环节 设置问题情境，启发引导；第二环节 自主探索， 建立“方程与函数图像”的模型；第三环节 典型例题，探究方程与函数的相互转化；第四 环节 反馈练习；第五环节 课堂小结；第六环节 作业布置． 第一环节: 设置问题情境，启发引导 内容：1．方程 x+y=5 的解有多少个？ 0, 5; x y    5, 0; x y    2, 3 x y    是这个方程的解吗？ 2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数 y＝ 5 x 的图像上吗？ 3．在一次函数 y= 5 x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5 吗？ 4．以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 y= 5 x 的图像相同 吗？ 由此得到本节课的第一个知识点： 二元一次方程和一次函数的图像有如下关系： （1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； （2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程． 意图：通过设置问题情景，让学生感受方程 x+y=5 和一次函数 y= 5 x 相互转化，启发引 导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系． 效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思 想意识． 前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次 方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节． 第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系 内容：1．解方程组 5, 2 1. x y x y      2．上述方程移项变形转化为两个一次函数 y= 5 x 和 y=2x 1 ,在同一直角坐 标系内分别作出这两个函数的图像． 3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？由此得到本节课的第 2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图 像解法； （1） 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标； （2） 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次 方程组的解． （3） 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种． 注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消 元法和加减消元法解方程组． 意图：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之 3 2O 3 -1 -3 y x o y x 间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础． 效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数” 的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化 成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力． 第三环节 典型例题 探究方程与函数的相互转化 内容：例 1 用作图像的方法解方程组 2 2, 2 2. x y x y       例 2 如图，直线 1l 与 2l 的交点坐标是 ． 意图：设计例 1进一步揭示“数”的问题可以转化成“形” 来处理，但所求解为近似解．通过例 2，让学生深刻感受到由 “形”来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把“形”的问题转 化成“数”来处理．这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了 很好的铺垫． 效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化． 第四环节 反馈练习 内容 ：1．已知一次函数 5 kxy 与 bxy  3 的图像的交点为 )3,2( p ,则 _________,  bk ． 2．已知一次函数 axy  2 与 bxy  的图像都经过点 A（—2，0），且与 y 轴分别交于 B，C 两点，则 ABCs 的面积为（ ）． （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 3．求两条直线 23  xy 与 42  xy 和 x 轴所围成的三角形面积． 4．如图，两条直线 1l 与 2l 的交点坐标可以看作 哪个方程组的解？ 意图：4个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握 情况． 效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象， 培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解 题的重要性． 第五环节 课堂小结 内容：以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法： 1．二元一次方程和一次函数的图像的关系； （1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 4 （2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程． 2．方程组和对应的两条直线的关系： （1） 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标； （2） 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解； 3．解二元一次方程组的方法有 3 种： （1）代入消元法； （2）加减消元法； （3）图像法． 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解． 意图：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使 学生进一步明确学什么，学了有什么用． 效果：充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答 得好的学生教师给予表扬、鼓励． 第六环节 作业布置 习题 7．7 附： 板书设计 六、教学反思 本节课在学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识的基础 上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函 数图像之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图像解法，以及应用代数方法解决 有关图像问题，培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．教 学过程中教师一定要讲清楚图像解法的局限性，这是由于画图的不准确性，所求的解往往 是近似解．因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，如例 2 及反 馈练习中的 4 个问题． 7．6 二元一次方程与一次函数（一） 1．二元一次方程与一次函数的图像的关系： 例 1 （1） （2） 2．方程组和对应的两条线的关系： 例 2 （1） （2） 3．解二元一次方程组的新方法： 图像法 5 第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数（二） 一、教材分析 《二元一次方程与一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第 五章《二元一次方程组》第六节，本节内容安排了 2个学时完成，本节课为第 2 学时.主要 是通过对作图像方法与代数方法的比较，探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 这一内容是上一课时内容的自然发展，上一课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方 程组的图像解法，本节课研究利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地 理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而发展学生数形结合的意识。 二、学情分析 学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在第六章也学习了确定一次函数的表 达式的基本方法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学 习作好了很好的铺垫.由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容 易接受，因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程. 三、目标分析 教学目标 知识与技能目标 1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点. 2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 3.进一步理解方程与函数的联系. 过程与方法目标： 1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策 略. 2.在对作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转 化. 3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力. 情感与态度目标： 1.在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神. 2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体 验. 教学重点 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 教学难点 建立数形结合的思想． 四、教法学法 1.教学方法 启发引导与自主探究相结合． 2.课前准备 教具：教材，课件，电脑． 6 学具：教材，铅笔，直尺，练习本，坐标纸． 五、教学过程 本节课设计了六个教学环节：第一环节，复习引入；第二环节，设计实际问题情境， 导入新课；第三环节，典型例题，探究二元一次方程组确定一次函数的表达式；第四环节， 练习与提高；第五环节，课堂小结；第六环节，布置作业． 第一环节 复习引入 内容：(1)二元一次方程组与一次函数有何联系? (2) 二元一次方程组有哪些解法？ 意图：通过(1)问，体会函数和方程之间的联系——二元一次方程组的解是它们对应的 两个一次函数图像的交点坐标；反之，两个一次函数图像的交点也是它们所对应的二元一次 方程组的解；所以方程问题可以转化为函数来解决，同样函数问题也可以通过方程问题来加 以解决．为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔．通过(2)问，让学生 感受解决问题的方法的多样性和知识之间是互相联系的，为后面利用作图像方法和代数方法 解决议一议的问题作铺垫． 效果：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫． 第二环节 设计实际问题情境，导入新课 内容：教材议一议 A，B两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行．假设他们都 保持匀速行驶，则他们各自到 A 地的距离 S（千米）都是骑车时间 t（时）的一次函数．1 小时后乙距离 A地 80 千米；2小时后甲距离 A 地 30 千米.问经过多长时间两人将相遇？ 意图：通过实际问题情景，进一步加强函数与方程的联系，让学生在多种方法解决问题 的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的 解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系. 通过“小明的方法求出的结果准确 吗?”自然过渡到本节课的主要内容。 效果：通过引例的分组探索，深刻理解图像方法可以更直观、形象，但缺乏准确，用代 数方法虽然准确，但不够形象和直观． 第三环节 典型例题，探究一次函数解析式的确定 内容：例 1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质 量则需购买行李票，且行李费 y（元）是行李质量 x(千克)的一次函数.现知李明带了 60 千 克的行李，交了行李费 5元，张华带了 90 千克的行李，交了行李费 10 元． （1）写出 y与 x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 解：（1）设 bkxy  ，根据题意，可得方程组      .9010 ,605 bk bk 解该方程组，得       .5 , 6 1 b k 7 所以 .5 6 1  xy （2）当 x=30 时，y=0． 所以旅客最多可免费携带 30 千克的行李． 例 2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取 按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费 y（元） 与用水量 x（吨）的函数关系如图所示. （1） 分别写出当 0≤x≤15 和 x＞15 时，y 与 x 的函 数关系式； （2） 若某用户十月份用水量为 10 吨，则应交水费多 少元？若该用户十一月份交了 51 元的水费，则 他该月用水多少吨？ 解：（1）当０≤x≤15 时，设 xky 1 ，根据题意得 11527 k ，解得 5 9 1 k 所以当０≤x≤15 时， xy 5 9  ； 当 x＞15 时，设 bxky  2 ，根据题意，可得方程组      .2039 ,1527 2 2 bk bk 解这个方程组，得       .9 , 5 12 2 b k 所以当 x＞15 时， 9 5 12  xy ． （２）当 x＝10 时，代入 xy 5 9  中，得 y=18． 当 y=51 时，代入 9 5 12  xy 中，得 x=25． 意图：通过两个例题的探索，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的 方法；在设计本例题时，考虑到两种类型，一是利用文字提供的信息，一种是利用图像提供 的信息，补充例 2 主要是承接第六章，一次函数图像的应用，进一步强化学生数形结合的意 识，学会从图形中获取有用的信息． 效果：通过两个例题的讲解，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的 具体的做法，让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，使学生有知识迁移的基础． 第四环节 练习与提高 内容：１. 图中的两条直线 1l ， 2l 的交点坐标可以看做方程组 的解 x（吨） y（元） 15 20 39 27 O 8 答案：      .12 ,4 yx yx 2. 在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂 物体质量 x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量 为 1 千克时弹簧长 15 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16厘米．写出 y 与 x 之间的函数关 系式，并求当所挂物体的质量为 4千克时弹簧的长度． 答案： 5.145.0  xy 当 x＝４是，y＝ 5.16 3. 教材例 2 的再探索： 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只 A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇 B 追赶，如图所示， 1l ， 2l 分别表示两船相对于海岸的距离 s（海里）与追赶时间 t（分）之 间的关系．当时间 t等于多少分钟时，我边防快艇 B能够追赶上 A。 x/分 s/海 里 答案：直线 1l 的解析式： xy 5 3 1  ，直线 2l 的解析式： 6 5 1 2  xy 15 分钟 意图：通过练习 1，强化函数与方程的关系，同时也是利用二元一次方程组确定一次函 数解析式这一方法的训练；练习 2是配合例 1 出的一个练习，目的是强化本节知识的重点“利 用二元一次方程组确定一次函数解析式”；练习 3 是第六章“一次函数图像的应用”一节中 的例 2，目的在于加强学生数形结合思想的应用，以及从图形中获取有用的信息，同时也是 对本节课教学重点的强化．让学生明白新旧知识之间是有着知识上的联系的． 效果：通过学生的解答和老师的讲解，让学生掌握这类问题解决的一般方法，为课堂小 结做好铺垫． 第五环节 课堂小结 内容： 一、函数与方程之间的关系． 二、在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维． 三、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1．用含字母的系数设出一次函数的表达式： bkxy  ( )0k ； o y x1 2 3 4 1 2 3 4 1l 2l 1l 2l 9 2．将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组； 3．解这个二元一次方程组得 k，b，进而得到一次函数的表达式. 意图和效果：让学生对本节课的内容作概括的归纳与整理． 第六环节 布置作业 习题 7·8 六、课后反思 （1）设计理念 事物之间是存在普遍联系的，研究二元一次方程组与一次函数之间的关系应证了辨证唯 物主义的这一观点．同时利用二元一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一 个重要内容.教材通过引例对图像方法与代数方法的比较，使学生了解解决应用问题的策略 和方法是多样性的，同时也使学生理解图像方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣， 从而对方法作出正确的选择．通过一个具体的例子，让学生掌握用二元一次方程组解决一 次函数问题的一般步骤与方法． （2）突出重点、突破难点的策略 本节课是二元一次方程组和一次函数关系的第二节课，主要要求学生能够利用二元一次 方程组解决一次函数的解析式问题，根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题，关于 这方面的练习，以老师的讲解为主，在此基础上，还要让学生动手、动脑去解决问题，在技 能上作出强化.作为第二节课，在内容上要让学生进一步理解它们之间的联系的同时，要让 学生理解为什么要用二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性，从而掌握本堂课的 基础知识．在教学的过程中，要让学生充分理解图像方法和代数方法解决问题的优点和缺 点，在这个基础上，学生掌握用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才会有着坚实的 理论基础，有关这一方面的题目要让学生充分讨论，其理解才会深刻；同时要以这一部分的 知识为载体，让学生理解解决问题方法的多样性的，结合函数的图像，进一步理解数形结合 的思想在数学学习中的重要性． （3）评价方式 根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习 需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参 与程度和表现出来的思维水平，关注的是学生对问题的理解水平和解决过程中的表述水平， 关注的是学生对基本知识技能的掌握情况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的 相关问题的提高.教学中可通过学生对“做一做”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况 分析学生的认识状况和解决问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价 和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能. 附：板书设计 二元一次方程与一次函数（二） 二元一次方程与一次函数的关系； 议一议 （1）—————————— （1）——————－ （2）—————————— 图像方法与代数方法各自的特点： （2）——————— 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： （1） （2） （3）——————— （3） 例 1 例 2 10 保留性板书 暂时性板书