【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）1二次根式的概念及性质 14页

MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 1 of 14 内容 基本要求 略高要求 较高要求 二次根式的 化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法 则 会进行二次根式的化简，会进行 二次根式的混合运算（不要求分 母有理化） 模块一 二次根式的概念及性质 二次根式的概念：形如 a （ 0a  ）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 二次根式的基本性质：（1） 0a  （ 0a  ）双重非负性；（2） 2( )a a （ 0a  ）；（3） 2 ( 0) ( 0) a aa a a a     ． 对二次根式定义的考察 【例 1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 4 、 3 3 、1 x 、 ( 0)x x  、 0 、 4 2 、 1 x y 、 x y （x≥0，y≥0）． 【难度】1 星 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0． 【答案】二次根式有： 2 、 ( 0)x x  、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 4 、 3 3 、 1 x 、 4 2 、 1 x y ． 【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）． A． 7 B． 3 8 C． x D．x 【难度】1 星 【解析】略 【答案】A． 【例 2】 当 x 是多少时， 3 1x  在实数范围内有意义？ 【难度】1 星 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1≥0， 3 1x  才能有意义． 【答案】x≥ 1 3 ． 【例 3】 当 x 是多少时， 12 3 1x x    在实数范围内有意义？ 【难度】2 星 二次根式的概念及性质 MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 2 of 14 【解析】要使 12 3 1x x    在实数范围内有意义，必须同时满足 2 3x  中的 2x+3≥0 和 1 1x  中的 x+1≠0． 依题意，得 2 3 0 1 0 x x      由 2x+3≥0 得：x≥ 3 2  由 x+1≠0 得：x≠-1 当 x≥ 3 2  且 x≠-1 时， 12 3 1x x    在实数范围内有意义 【答案】x≥ 3 2  且 x≠-1． 【巩固】使式子 2( 6)x  有意义的未知数 x 有（ ）个 ． A．0 B．1 C．2 D．无数 【难度】1 星 【解析】利用二次根式和平方非负性解题． 【答案】B． 【巩固】某工厂要制作一批体积为 1 3m 的产品包装盒，其高为 0．2m，按设计需要，底面应做成正方形， 试问底面边长应是多少？ 【难度】1 星 【解析】注意在实际应用题中数据的非负性． 设底面边长为 x，则 20.2 1x  ，解答：x= 5 【答案】 5 ． 【例 4】 解答下列题目 （1） 已知 3 3 6y x x     ，求 x y 的值． 【难度】1 星 【解析】二次根式非负性的考察． 由题可知 3 0 3 0 x x      ，解得 x=3，y=6，则 x y = 3 1 6 2  【答案】 1 2 ． （2）若 1 1 0a b    ，求 2011 2011a b 的值． 【难度】1 星 【解析】原式= 2011 2011( 1) 1 1 1 0      ． 【答案】0． 【巩固】已知 a、b 为实数，且 5 2 2 10 5a a b     ，求 a、b 的值． 【难度】2 星 【解析】二次根式非负性的考察． 【答案】a=5，b=-5． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 3 of 14 【巩固】已知实数 a 与非零实数 x 满足等式： 2 2 2 1 13 0x a xx x          ，求 2( 2)a  ． 【难度】3 星 【解析】非负性的考察． 由题可知 2 2 13 0 1 0 x x a xx         2x 2 13 0x    ， 2 2 2 2 2 1 1 13, 2 5,( ) 5x x xx x x         ． 又 1 10,a x x ax x       ， 5a   ． 原式= 2a  当 a= 5 ，原式=a-2= 5 2 ，当 a= 5 ；原式=a-2= 5 2 ． 【答案】 5 2 或 5 2 ． 对二次根式性质的考察 【例 5】 计算 （1） 23( )4 （2） 2(3 4) （3） 2( 5) （4） 23( )2 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 3 4 ；（2） 36 ；（3）5；（4） 3 4 ． 【巩固】计算 （1） 2( 2) ( 0)x x  （2） 2 2( )a （3） 2 2( 2 1)a a  （4） 2 2( 4 12 9)x x  【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1）x+2；（2） 2a ；（3） 2 2 1a a  ；（4） 24 12 9x x  ． 【例 6】 在实数范围内分解下列因式: （1） 2 5x  （2） 4 4x  （3） 22 3x  【难度】2 星 【解析】实数与有理数的区别:实数包含无理数． 【答案】（1） ( 5)( 5)x x  ；（2） 2( 2)( 2)( 2)x x x   ；（3） ( 2 3)( 2 3)x x  ． 【例 7】 先化简再求值：当 a=9 时，求 21 2a a a   的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式= 2(1 ) (1 ) 1a a a a      ； 乙的解答为：原式= 2(1 ) ( 1) 2 1 17a a a a a        ． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 4 of 14 【难度】2 星 【解析】略 【答案】甲； 甲没有先判定 1-a 是正数还是负数． 【巩固】若-3≤x≤2 时，试化简 2 22 ( 3) 10 25x x x x      ． 【难度】2 星 【解析】 0a  ； 2( )a a ； 2 ( 0) ( 0) a aa a a a     原式= 2 3 5 2 3 5 10x x x x x x x             ． 【答案】 10 x ． 【巩固】如果 0a  ， 0a b  ，化简 2 2( 4) ( 1)b a a b     ． 【难度】2 星 【解析】略 0, 0, 0aa bb     原式= 4 1 4 ( 1) 4 1 3b a a b b a a b b a a b                    ． 【答案】 3． 总结:（1）在做题中,在有取之范围的情况下,根式下的式子要满足大于等于 0；同时特别注意其与分式的 结合应用； （2）整个初中数学共学习了三个非负性：绝对值；偶次方（常以平方的形式出现）；根号．在中考 题中经常以填空或选择的形式出现． 模块二 二次根式的乘除运算 二次根式的乘法法则： a b ab  （ 0a  ， 0b  ） 【例 8】 如果 9 3xy x y  成立，那么 x，y 必须满足条件 ． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 0, 0x y  ． 【例 9】 化简：（1） 4 9 8 1 ＝______；（2） 0.36 0.25 ＝______；（3） 318 72a a ＝______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 63； （2）0．3 （3） 236a ． 【例 10】 如果 )3(3  xxxx ，那么（ ）． A． 0x  B． 3x  C．0 3x  D． x 为任意实数 【难度】1 星 【解析】略 【答案】B． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 5 of 14 【巩固】已知三角形一边长为 cm2 ，这条边上的高为 cm12 ，求该三角形的面积． 【难度】1 星 【解析】 1 2 12 62s     （ 2cm ）． 【答案】 6 ． 【例 11】 把 4 324 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A． 11 B． 11 C． 44 D． 44 【难度】1 星 【解析】略 【答案】D． 【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面： （1） ;1 aa  （2）   1 1)1( yy 【难度】2 星 【解析】利用 ( 0)a a  解题，在解题过程中要注意 0a  的应用． （1） 21 aa aa a        ；（2） 21 ( 1)( 1) 11 1 yy yy y           ． 【答案】（1） a  ；（2） 1y   ． 【例 12】 先化简，再求值： ( 3)( 3) ( 6)a a a a    ，其中 2 15 a 【难度】1 星 【解析】在做题过程中，一定要注意先化简，再代入求值． 原式 2 23 6 6 3a a a a      ，把 2 15 a 代入得原式= 16 ( 5 ) 3 6 52     ． 【答案】 6 5 ． 【例 13】 已知 a，b 为实数，且 01)1(1  bba ，求 2011 2011a b 的值． 【难度】3 星 【解析】非负性的考察． 1 ( 1) 1 0, 1 ( 1) 1a b b a b b          ． 1 0, ( 1) 1 0 1 0, 1 0, 1 0 1, 1 a b b b b b b a                     又 ， 原式= 2011 2011( 1) 1 1 1 2       ． 【答案】 2 ． 【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 6 of 14 （1） 2 22 23 3   验证： 3 3 2 2 2 2 2 (2 2) 2 2(2 1) 2 22 23 3 32 1 2 1           3 33 38 8   验证： 3 3 2 2 2 3 3 (3 3) 3 3(3 1) 3 33 38 8 83 1 3 1           同理可得： 4 44 415 15   5 55 524 24   ，…… 通过上述探究你能猜测出： 2 1 aa a  =_______（a>0），并验证你的结论． 【难度】2 星 【解析】略 【答案】 2 21 1 a aa aa a    验证： 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a                      总结：对于上题，在做题中要注意横向和纵向的对比，即式子本身及式子与式子自检的关系，以便找到规 律． 利用乘法法则时注意 a 、b 的取值范围，对于 ab a b  ， a 、 b 都非负，否则不成立， 如 ( 6) ( 5) ( 6) ( 5)       ． 二次根式的除法法则： a a bb  （ 0a  ， 0b  ） 【例 14】 计算： （1） 16 4 （1） 3 1 2 8  （3） 1 1 4 16  （4） 36 6 【难度】1 星 【解析】利用 a a bb  （ 0a  ， 0b  ）便可直接得出答案 （1） 16 16 4 244    ； （2） 3 1 3 1 3 8 3 4 3 2 2 32 8 2 8 2           ； （3） 1 1 1 1 1 16 4 24 16 4 16 4        ； MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 7 of 14 （4） 36 36 666   ． 【答案】 （1） 2 ；（2） 2 3 ；（3） 2 ；（4） 6 ． 【巩固】已知 8 80a b ， ，求 6.4 的值． 【难度】3 星 【解析】乘法公式和除法公式的综合应用． 640 640 8 80 8 806.4 100 10 10 10100 ab      ． 【答案】 10 ab ． 【例 15】 已知 9 9 6 6 x x x x    ，且 x 为偶数，求 2 2 5 4(1 ) 1 x xx x    的值． 【难度】3 星 【解析】由题可知 9 0, 6 0, 6 9x x x       x 为偶数， 8x  （1+x） 2 2 5 4 1 x x x    ( 4)( 1) 4(1 ) (1 )( 1)( 1) 1 x x xx xx x x         ， 当 x=8 时，原式= 8 4 4 2(1 8) 9 9 68 1 9 3      ． 【答案】 6 ． 【巩固】 3 3 2 3 1( ) 2 2 n n n n m mm m m    （m>0，n>0） 【难度】1 星 【解析】原式= 4 4 3 2 5 3 2 5 2 2 2 2 n n n n n m m m m m m n      = 3 2 2 2 n n n n nm m m m      = 2 3 n nm  ． 【答案】 2 3 n nm  ． 总结：利用这除法法则时注意 a 、b 的取值范围，对于 a a bb  （ 0a  ， 0b  ）， a 非负，b 必须大于 ０，否则不成立． 模块三 最简二次根式： 二次根式 a （ 0a  ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式 注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 8 of 14 【例 16】 把下列各式化成最简二次根式： （1） 12 ＝______；（2） 27 ＝______；（3） 54 ＝______；（4） 48x ＝______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 2 3 ；（2） 3 3 ；（3） 3 5 ；（4） 4 3x ． 【例 17】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）． A． a8 B． 32 b C． 2 yx  D． yx23 【难度】1 星 【解析】略 【答案】B． 【巩固】把下列各式化成最简二次根式： （1） 2 3 （2） 15 2 （3） 3 5a b （4） 1 1 2 3  【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 6 3 ；（2） 22 2 ；（3） 2ab ab ；（4） 30 6 ． 【例 18】 计算：（1） 18 24 60  ； （2） 2 3 4 6a ab ； （3） 148 2 2  ； 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 72 5 ；（2） 24 2a b ；（3） 2 6 ． 分母有理化： 把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式． a b 与 a b 互为有理化因式，原理是平方差公式 2 2( )( )a b a b a b    ； 分式有理化时，一定要保证有理化因式不为 0． 【例 19】 2 3 的有理化因式是 ； x y 的有理化因式是 ． 1 1x x    的有理化因式是 ． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 2 3 ；（2） x y ； （3） 1 1x x    ． 【例 20】 把下列各式分母有理化： MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 9 of 14 （1） 2( 1) 2 4 a a   （2） 2xy y x y    （3） 1 2 1 （4） 3 5 2 3 3 5 2 3   【难度】1 星 【解析】（1） 2( 1) 2( 1) 2 4 2( 1) 2 4 ( 1) 2 4 2( 2) 22 4 2 4 2 4 a a a a a a a a aa a a                 ； （2） 2 ( )y x y x yxy y y x y x y x y x y               ； （3） 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 2 1) ( 2 1) ( 2) 1           ； （4） 23 5 2 3 (3 5 2 3) 19 4 15 113 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)         【答案】（1） ( 1) 2 4 2 a a a     ；（2） y x y  ；（3） 2 1 ；（4） 19 4 15 11  ． 【巩固】化简： a b a b   【难度】1 星 【解析】略 【答案】 a b ． 【例 21】 1ab a b  【难度】2 星 【解析】原式= 2 2 2 2 b b ab bab ab aa a a a      ． 【答案】 b aa ． 【例 22】 观察规律： 32 32 1,23 23 1,12 12 1       ，……，求值． （1） 722 1  ＝______；（2） 1011 1  ＝______；（3） nn 1 1 ＝______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 2 2 7 ；（2） 11 10 ；（3） 1n n  ． 【巩固】计算： 4 7 3 1 3 2 x x x x        _______． 【难度】2 星 【解析】原式= ( 4)( 3 1) ( 7)( 3 2) 3 1 3 2 33 1 3 4 x x x x x xx x                  ． 【答案】 3 ． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 10 of 14 模块四 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式： ( )a x b x a b x   ．同类二次根式才可加减合并． 【例 23】 把下列二次根式 32, 27, 125, 4 45, 2 8, 18, 12, 15 化简后，与 2 的被开方数相同的 有 ；与 3 的被开方数相同的有 ；与 5 的被开方数相 同的有 ． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 32,2 8, 18 ； 27, 12 ； 125,4 45 ． 【例 24】 若最简二次根式 3 5a  与 3a  是可以合并的二次根式，则 ____a  ． 【难度】2 星 【解析】同类二次根式的考察 依题意，得，3a-5=a+3 ，解得 a=4 ． 【答案】4． 【例 25】 化简后，与 2 的被开方数相同的二次根式是（ ）． A． 12 B． 18 C． 4 1 D． 6 1 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 B． 【例 26】 若最简二次根式 22 3 23 m  与 2 21 4 10n m  是同类二次根式，求 m、n 的值． 【难度】2 星 【解析】依题意，得 2 2 2 3 2 4 10 1 2 m m n       ， 2 2 8 3 m n    ， 2 2 3 m n      所以 2 2 3 m n    或 2 2 3 m n     或 2 2 3 m n     或 2 2 3 m n      ． 【答案】 2 2 3 m n    或 2 2 3 m n     或 2 2 3 m n     或 2 2 3 m n      ． 【巩固】若 4a b b 与最简二次根式 3a b 是同类二次根式，求 a，b 的值． 【难度】2 星 【解析】在做题过程中，要注意是否是最简二次根式， 此题注意到 4a b b 不是最简二次根式就可以了 【答案】 1 1 a b    ． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 11 of 14 【巩固】已知最简根式 2 7a ba a b  与 是同类二次根式，则满足条件的 a，b 的值（ ） A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组 【难度】1 星 【解析】略 【答案】B． 【例 27】 化简计算： （1） 1 3 2 2 （2） 5( )( ) 8( ) a ba b a b   ( 0a b  ) （3） 1 1( 27 ) ( 12 45)3 5     【难度】2 星 【解析】略 【答案】（1） 3 2 2 ；（2） 2 210 104 a b a b  ；（3） 4 3 14 5 3 5  ． 课堂检测 【练习 1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）． A． 23 B． 2)3.0( C． 2 D． x 【难度】1 星 【解析】略 【答案】B． 【练习 2】已知 3 3x  是二次根式，则 x 应满足的条件是（ ）． A． x＞0 B． x≤0 C． x≥－3 D． x＞－3 【难度】2 星 【解析】注意分式与二次根式的结合． 【答案】D． 【练习 3】若 mm 32  有意义，则 m＝ ． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】0． 【练习 4】计算下列各式： （1） 2)23( （2） 2)32(  （3） 2)53(  （4） 2)3 23( 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1）18；（2）6；（3）15；（4）6． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 12 of 14 【练习 5】计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式： （1） 1 3 ＝______；（2） 1 24 ______；（3） 32 2 ＝______；（4） 6 x y ＝______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 3 3 ；（2） 6 12 ；（3） 6 6 ；（4） 6 6 x y y ． 【练习 6】计算 2 2 2 2 2 3 3 33 ( )2 2 m n m n a a a m n      （a>0） 【难度】2 星 【解析】原式 2 2 2 2 3( )( )3 3 2 m n m n a a m n m na         232 2 2 62 6 a a a       【答案】 6a ． 总结复习 1.通过本堂课你学会了 ． 2.掌握的不太好的部分 ． 3.老师点评：① ． ② ． ③ ． 课后作业 1.当 a______时， 23 a 有意义；当 x______时， 3 1 x 有意义． 当 x______时， x 1 有意义；当 x______时， x 1 的值为 1． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 2 3a  ； 3x  ；x>0；x=1． MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 13 of 14 2.若 b＜0，化简 5ab 的结果是______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】原式 2b ab  ． 3.在 9 ， 112, , 8, 273 中，与 3 是同类二次根式的是 ． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 112, , 273 ． 4.若 3 2x y x y  与最简根式 6 4y x y m   是同类二次根式，则 m = ． 【难度】2 星 【解析】依题意，得 3 6 6 2 2 4 x y y y x y x y m            ，解得 2 4 4 x y m       ， 4m  ． 【答案】 4 ． 5.若 a，b 两数满足 b＜0＜a 且｜b｜＞｜a｜，则下列各式有意义的是（ ）． A． ba  B． ab  C． ba  D． ab 【难度】2 星 【解析】由已知条件，借助于数轴解决问题． 【答案】C． 6. 等式 22 2 4x x x     成立的条件是（ ） A． 2x  B． 2x   C． 2 2x   D． 2x  或 2x   【难度】1 星 【解析】略 【答案】A． 7.若 3, 4a b    ，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ） A． 2 2 2. ( ) 3( 3 4) 21a a b a a b        B． 2 2 2 2 2 2 2. 3 ( 3) ( 4) 3 25 15a a b a a b            C． 2 2 2 2 2 2 23 ( 3) ( 4) 3 25 15a a b a a b           D． 2 2 2 2 2 2 23 ( 3) ( 4) 3 25 15a a b a a b              【难度】2 星 【解析】略 【答案】C． 8.计算 （1） ( 3 2)( 2 3)  （2） 7 8( 2 1) ( 2 1)  MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.二次根式的概念及性质.第 02 讲（A）.教师版 Page 14 of 14 （3） 5 33( ) 32 a aab a bb b    （4） 4 8)832( 3 xxxx  （5） (1 )(1 )(1 )(1 )x x x x x x      【难度】2 星 【解析】（1）原式 ( 3 2)( 3 2) ( 3 2) (5 2 6) 5 2 6             ； （2）原式 7[( 2 1)( 2 1)] ( 2 1) (2 1)( 2 1) 2 1         ； （3）原式 3 2 3 5 3 5 53 9 9 9( ) 32 2 2 2 a a a a b a bab a b a b ab abb b b b             ； （4）原式 5 2( 2 6 2 ) 8 5 2 44 4 xx x x x x x        ； （5）原式 2 2 3(1 )[(1 ) ] (1 )(1 ) 1x x x x x x x          ． 【答案】（1） 5 2 6  ；（2） 2 1 ；（3） 39 2 a b ab ；（4） 5 2 4  ；（5） 31 x ． 9.若最简二次根式 2 2a b a b a b  与 是同类根式，求 2ba 的值 【难度】2 星 【解析】 2 2 2 a b a b a b       ，解得 1 1 a b    ，原式 21 1    ． 【答案】 1 ． 10. 化简： 2 2 3 5    （ ） A． 2 6 15 6   B． 2 6 15 6   C． 3 6 15 6   D．不同于以上三个答案 【难度】2 星 【解析】灵活应用分母有理化． 2 2( 2 3 5) 2 3 5 ( 2 3 5)( 2 3 5)         2 2 6 10 2 6 10 2 6 6 2 15 6 3 15 12 6( 2 3) 5 2 6              【答案】C．