【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）8特殊的平行四边形2．教师版 12页

知识点 基本要求 略高要求 较高要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质及 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关 问题 正方形 会识别正方 形 掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性 质及判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有 关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 4．三角形的中位线 中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线． 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质． 中点 中点 中点 平行 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半． 5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 6．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 特殊的平行四边形 正 方 形 菱形 矩形 平行四边形 7．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 例题精讲 板块一、菱形的性质及判定 【例 1】 如图，在菱形 ABCD 中， 60A   ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 2EF  ，则菱形 ABCD 的边长是______． E F DB C A 【解析】省略 【答案】 4 【例 2】 如图 1 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周 长为 24 ，则 OH 的长等于 ． 图1 H O D C B A 【解析】省略 【答案】 3 【例 3】 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 8cm 4cmAC BD DE BC  ， ， 于点 E ，则 DE 的长为 【解析】省略 【答案】 8 5 cm5 【例 4】 如图 3，在菱形 ABCD 中， 110A   ，E 、 F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EP CD 于点 P ，则 FPC  （ ） A．35 B． 45 C． 50 D． 55 图3 E D P C F B A 【解析】省略 【答案】D 【例 5】 已知菱形的一个内角为 60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为________． 【解析】省略 【答案】 2 或 6 【例 6】 如图，在菱形 ABCD 中， 4AB a E ， 在 BC 上， 2 120BE a BAD P   ， ， 点在 BD 上，则 PE PC 的最小值为 【解析】 A C， 关于 BD 对称，连 AE 交 BD 于 P ，且    2 230 4 2 2 3AE BC BAE PE PC AE a a a        ， ， 为最小值 【答案】 2 3a 【例 7】 如图，如果要使平行四边形 ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件 是 ． D C A B 【解析】 AB AD AC BD ， 等； 【答案】 AB AD AC BD ， 【例 8】 如图，在梯形纸片 ABCD 中， / /AD BC ， AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连结 C E .求证：四边形 CDC E 是菱形． C' D C B A E 【解析】省略 【答案】根据题意可知 'CDE C DE   则 ' ' 'CD C D C DE CDE CE C E    ， ， . ∵ / /AD BC ， ∴ C DE CDE   . ∴ CDE CED   ， ∴CD CE . ∴CD C D C E CE    ， ∴四边形 CDC E 为菱形. 板块二、中位线与平行四边形 【例 9】 顺次连结面积为 20 的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一 个 ，其面积为 ． 【解析】理由：由中位线得 1 2EF FG GH HE AD    即可． 【答案】 AD BC ． 【例 10】 如图，在四边形 ABCD 中， AB CD ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BD 、 CD 、 AC 的中 点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由． H G F E D C B A 【解析】理由：由中位线得 1 2EF FG GH HE AD    即可． 【答案】 AD BC ． 【例 11】 如图，四边形 ABCD 中， E F， 分别是边 AB CD， 的中点，则 AD BC， 和 EF 的关系是（ ） A． 2AD BC EF  B． 2AD BC EF ≥ C． 2AD BC EF  D． 2AD BC EF ≤ 【解析】连结 BD ，取 BD 的中点 P ，连结 FP EP， ，由三角形的中位线可知选 B 【答案】B 【例 12】 如图，四边形 ABCD 中， AB CD E F G H ， ， ， ， 分别是 AD BC BD AC， ， ， 的中点，求证： EF GH， 相互垂直平分 【 解 析 】 连 结 EG GF FH HE， ， ， ， 根 据 题 意 ， EG HF， 分 别 是 DAB CAB ， 的 中 位 线 ， 所 以 1 2EG HF AB  ，同理可证： 1 2GF EH CD  ，因为 AB CD ，所以 EG HF GF EH   ， 则四边形 EGFH 是菱形，所以 EF GH， 相互垂直 【答案】见解析 【例 13】 如图，在四边形 ABCD 中， M 、 N 分别为 AD 、 BC 的中点， BD AC ， BD 和 AC 相交于 点 O ， MN 分别与 AC 、 BD 相交于 E 、 F ，求证： OE OF ． F E O N M D C B A 【解析】取 AB 中点 P ，连结 MP 、 NP ． 利用中位线可得 1 1 2 2MP BD NP AC   ∴ PMN PNM   ∵ MP BD∥ ， NP AC∥ ∴ OFE OEF   ∴ OE OF 【答案】见解析 P F E O N M D C B A 板块三、正方形的性质及判定 【例 14】 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，G ，F 分别为 AD ，BC 边上的点，若 1AG  ， 2BF  ， 90GEF   ，则 GF 的长为 ． 【解析】省略 【答案】 3 【例 15】 如图， E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一点，求证： AE CE ． 【解析】省略 【答案】因为四边形 ABCD 是正方形 所以 AB BC ABD CBD   又 BE 是公共边 所以 ABE CBE ≌ 所以 AE CE 【例 16】 如图所示，正方形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于 O ， MN ∥ AB ，且分别与 AO BO、 交于 M N、 ．试探讨 BM 与 CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程． M N C D O B A 【解析】省略 【答案】 BM 与CN 的关系是： BM CN 且 BM CN ∵ ABCD 是正方形，∴OA OB ∵ MN ∥ AB ，∴ OM  ON ，∴ AM BN ∵ 45MAB NBC     ， AB BC ∴ ABM ≌ BCN ，∴ BM CN ， BCN ABM   ∵ ABM CBM    90 ，∴ 90BCN CBM     ∴ BM CN 【例 17】 如图，已知 P 是正方形 ABCD 内的一点，且 ABP 为等边三角形，那么 DCP  【解析】省略 【答案】15 【例 18】 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 CD 边上的一点， F 为 BC 延长线上的一点， CE CF ， 30FDC   ，求 BEF 的度数. B D C A E F 【解析】省略 【答案】∵CE CF ， BC CD ， BC CD ，CF CD ∴ BCE ≌ DCF ∴ BEC DFC   ∵ 30FDC   ∴ 60BEC DFC     ∵CF CD ， CE CF ∴ 45CEF   ∴ 105BEF   【例 19】 如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点，求证： AM AD ． M F E D C B A 【解析】省略 【答案】延长 CE ， DA 交于点 G 可证 AEG BEC△ ≌ △ 及 BCE CDF△ ≌ △ 可得 DM CE ∴ GA BC ∵ BC AD ∴ GA AD ∴ 1 2AM GD 又∵ 1 2AD GD ∴ AD AM G M F E D C B A 【例 20】 如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，E 是 BD 延长线上的点，且 ACE 是等边三角形． ⑴ 求证：四边形 ABCD 是菱形； ⑵ 若 2AED EAD   ，求证：四边形 ABCD 是正方形． O E D C B A 【解析】省略 【答案】⑴ ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AO CO ． 又∵ ACE 是等边三角形，∴ EO AC ，即 DB AC ． ∴平行四边形 ABCD 是菱形． ⑵ ∵ ACE 是等边三角形，∴ 60AEC   ． ∵ EO AC ，∴ 1 302AEO AEC     ． ∵ 2AED EAD   ，∴ 15EAD   ．∴ 45ADO EAD AED       ． 四边形 ABCD 是菱形，∴ 2 90ADC ADO     ∴四边形 ABCD 是正方形． 【例 21】 已知：如图，在 ABC 中， AB AC ， AD BC ，垂足为点 D ， AN 是 ABC 外角 C AM 的 平分线， CE AN ，垂足为点 E ． ⑴ 求证：四边形 ADCE 为矩形； ⑵ 当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明． M E N C D B A 【解析】省略 【答案】⑴ 证明：在 ABC 中， AB AC ， AD BC ∴ BAD DAC   ∵ AN 是 ABC 外角 C AM 的平分线 ∴ MAE CAE   ∴ 1 180 902DAE DAC CAE          又∵ AD BC ， CE AN ∴ 90ADC CEA     ∴四边形 ADCE 为矩形． ⑵ 例如，当 1 2AD BC 时，四边形 ADCE 是正方形 证明：∵ AB AC ， AD BC 于 D ∴ 1 2DC BC 又 1 2AD BC ， DC AD 由⑴四边形 ADCE 为矩形 ∴矩形 ADCE 是正方形． 【例 22】 如图， A 在线段 BG 上， ABCD 和 DEFG 都是正方形，面积分别为 27cm 和 211cm ，则 CDE 的面积为 【解析】过 E 作 EH CD 交 CD 延长线于 H ， CDE ADGDEH DAG EH AG S S    ≌ ， ， 【答案】 7 课后作业 【习题 1】如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 16cmAB BC  ，则 1  度． 图2 1 C B A 【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形 【答案】120 【习题 2】菱形的周长为 20cm ，两邻角度数之比为 2 :1 ，则菱形较短的对角线的长度为 【解析】省略 【答案】 5 【习题 3】如图，在 ABC 中， AB AC ， D 是 BC 的中点，连结 AD ，在 AD 的延长线上取一点 E ，连结 BE ， CE ．当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由． E D C B A 【解析】当 2AE AD （或 AD DE 或 1 2DE AE ）时，四边形 ABEC 是菱形 理由如下： ∵ 2AE AD ，∴ AD DE 又点 D 为 BC 中点，∴ BD CD ∴四边形 ABEC 为平行四形边 ∵ AB AC ∴四边形 ABEC 为菱形 【答案】见解析 【习题 4】如图， ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， CE AD 于 E ， M 为 BC 的中点， 14cmAB  ， 10cmAC  ，则 ME 的长为 ． E N M D C B A 【解析】延长 CE 交 AB 于点 N ．利用中位线的性质和直角三角形斜边中线可得  14 10 2 cm2   ． 【答案】 2 【例 23】 若正方形 ABCD 的边长为 4 ， E 为 BC 边上一点， 3BE  ， M 为线段 AE 上一点，射线 BM 交正方形的一边于点 F ，且 BF AE ，则 BM 的长为 ． 图2 图1 A B M E C F D E F M D C B A 【解析】省略 【答案】 12 5 （如图 1）或 5 2 （如图 2）． 【习题 5】已知如图所示， E 、 F 、 G 、 H 分别是四边形 ABCD 的四边的中点，求证：四边形 EFGH 是 平行四边形． H G F E D C B A H G F E D C B A 【解析】连接 AC ． ∵ H 、 G 分别为 AD 、 DC 中点 ∴ 1 2HG AC ， HG ∥ AC 又∵ E 、 F 分别为 AB 、 BC 中点 ∴ 1 2EF AC ， EF ∥ AC ，∴ HG EF ， HG ∥ EF ∴四边形 EFGH 为平行四边形 【答案】见解析 【习题 6】已知正方形 BDEF 的边长是正方形 ABCD 的对角线，则 :BDEF ABCDS S 正方形 正方形 【解析】省略 【答案】 2 :1 【习题 7】如果点 E 、 F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上两点，且 BE DF ，你能判断四边形 AECF 的形 状吗？并阐明理由． E C D F B A 【解析】省略 【答案】连接 AC ，交 BD 于 O ． ∵四边形 ABCD 为正方形，∴ AC BD ， AO OC ， BO OD ∵ BE DF ，∴ EO FO ∴四边形 AECF 为平行四边形 ∵ AC EF ，∴四边形 AECF 为菱形 O E C D F B A