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  • 2021-10-27 发布

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)14

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14.3.2 公式法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 运用完全平方公式因式分解 学习目标 1. 理解并掌握 用 完全平方公式分解因式 . (重点) 2. 灵活应用各种方法分解因式,并能利用因式分解 进行计算.(难点) 导入新课 复习引入 1. 因式分解: 把一个多项式转化为几个整式的积的形式 . 2. 我们已经学过哪些 因 式分解的方法? 1. 提公因式法 2. 平方差公式 a 2 - b 2 =( a+b )( a-b ) 讲授新课 用完全平方公式分解因式 一 你能把下面 4 个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗? 同学们拼出图形为: a a b b a b a b ab a ² b ² ab 这个大正方形的面积可以怎么求? a 2 +2 ab + b 2 ( a + b ) 2 = a b a b a ² ab ab b ² ( a + b ) 2 a 2 +2 ab + b 2 = 将上面的等式倒过来看,能得到: a 2 + 2 ab+b 2 a 2 - 2 ab+b 2 我们把 a²+ 2 ab+b² 和 a²- 2 ab+b² 这样的式子叫作 完全平方式 . 观察这两个式子: ( 1 )每个多项式有几项? ( 3 )中间项和第一项,第三项有什么关系? ( 2 )每个多项式的第一项和第三项有什么特征? 三项 这两项都是数或式的平方,并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的 ± 2 倍 完全平方式的特点: 1. 必须是 三项式 (或可以看成三项的); 2. 有两个 同号 的数或式的平方; 3. 中间有两底数之积的 ±2 倍 . 完全平方式 : 简记口诀: 首平方,尾平方,首尾两倍在中央 . 凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解 . 2 a b + b 2 ± = ( a ± b )² a 2 首 2 + 尾 2 ± 2 ×首×尾 ( 首± 尾 ) 2 两个数的平方和加上 ( 或减去 ) 这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和 ( 或差 ) 的平方 . 3. a ²+4 ab +4 b² =( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2. m ²-6 m +9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x ²+4 x +4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2 b a + 2 b 2 b 对照 a ²± 2ab + b ²=( a ± b )² ,填空: m m - 3 3 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式? ( 1 ) a 2 - 4 a +4; ( 2 ) 1+4 a ²; ( 3 ) 4 b 2 +4 b -1; ( 4 ) a 2 + ab + b 2 ; ( 5 ) x 2 + x +0.25. 是 ( 2 )因为它只有两项; 不是 ( 3 ) 4 b ² 与 -1 的符号不统一; 不是 分析: 不是 是 ( 4 )因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍 . 例 1 如果 x 2 -6 x + N 是一个完全平方式 , 那么 N 是 ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析:根据完全平方式的特征,中间项 -6 x =2 x × (-3), 故可知 N =(-3) 2 =9. 变式训练 如果 x 2 - mx +16 是一个完全平方式 , 那么 m 的值为 ________. 解析: ∵16= ( ± 4 ) 2 ,故 - m =2 × ( ± 4 ) , m = ± 8. ± 8 典例精析 方法总结: 本题要 熟练掌握完全平方公式的结构特征, 根据参数所在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值 . 计算过程中,要 注意积的2倍的符号,避免漏解. 例 2 分解因式: ( 1 ) 16 x 2 + 24 x+ 9 ; ( 2 ) - x 2 +4 xy - 4 y 2 . 分析 : (1) 中, 16 x 2 =(4 x ) 2 , 9=3², 24 x =2·4 x ·3, 所以 16 x 2 +24 x +9 是一个完全平方式,即 16 x 2 + 24 x +9= (4 x ) 2 + 2·4 x ·3 + (3) 2 . 2 a b + b 2 a 2 (2) 中首项有负号,一般先利用添括号法则,将其变形为 - ( x 2 - 4 xy +4 y 2 ), 然后再利用公式分解因式 . 解: (1) 16 x 2 + 24 x +9 = (4 x + 3) 2 ; = (4 x ) 2 + 2·4 x ·3 + (3) 2 (2) - x 2 + 4 xy - 4 y 2 = - ( x 2 - 4 x y+4 y 2 ) = - ( x - 2 y ) 2 . 例 3 把下列各式分解因式: ( 1 ) 3 ax 2 +6 axy +3 ay 2 ; (2)( a + b ) 2 -12( a + b )+36. 解 : (1) 原式 =3 a ( x 2 +2 xy + y 2 ) =3 a ( x + y ) 2 ; 分析 : (1) 中有公因式 3 a , 应先提出公因式,再进一步分解因式; (2) 中将 a + b 看成一个整体,设 a + b = m , 则原式化为 m 2 -12 m +36. (2) 原式 =( a + b ) 2 -2·( a+b ) ·6+6 2 =( a+b -6) 2 . 利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做 公式法 . 因式分解: (1) - 3 a 2 x 2 + 24 a 2 x - 48 a 2 ; (2)( a 2 + 4) 2 - 16 a 2 . 针对训练 = ( a 2 + 4 + 4 a )( a 2 + 4 - 4 a ) 解: (1) 原式= - 3 a 2 ( x 2 - 8 x + 16) = - 3 a 2 ( x - 4) 2 ; (2) 原式= ( a 2 + 4) 2 - (4 a ) 2 = ( a + 2) 2 ( a - 2) 2 . 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式,看能否继续分解. 例 4 把下列完全平方公式分解因式: (1) 100 2 - 2×100×99+99² ; (2)34 2 + 34×32 + 16 2 . 解: (1) 原式 = ( 100 - 99)² (2) 原式= (34 + 16) 2 本题利用完全平方公式分解因式,可以简化计算, =1. = 2500. 例 5 已知 x 2 - 4 x + y 2 - 10 y + 29 = 0 ,求 x 2 y 2 + 2 xy + 1 的值. = 11 2 = 121. 解: ∵ x 2 - 4 x + y 2 - 10 y + 29 = 0 , ∴ ( x - 2) 2 + ( y - 5) 2 = 0. ∵ ( x - 2) 2 ≥0 , ( y - 5) 2 ≥0 , ∴ x - 2 = 0 , y - 5 = 0 , ∴ x = 2 , y = 5 , ∴ x 2 y 2 + 2 xy + 1 = ( xy + 1) 2 几个非负数的和为 0 ,则这几个非负数都为 0. 方法总结: 此类问题一般情况是 通过配方将原式转化为非负数的和的形式,然后利用非负数性质解答问题. 例 6 已知 a , b , c 分别是 △ ABC 三边的长,且 a 2 + 2 b 2 + c 2 - 2 b ( a + c ) = 0 ,请判断 △ ABC 的形状,并说明理由. ∴ △ ABC 是等边三角形. 解:由 a 2 + 2 b 2 + c 2 - 2 b ( a + c ) = 0 , 得 a 2 - 2 ab + b 2 + b 2 - 2 bc + c 2 = 0 , 即 ( a - b ) 2 + ( b - c ) 2 = 0 , ∴ a - b = 0 , b - c = 0 , ∴ a = b = c , 当堂练习 1. 下列四个多项式中,能因式分解的是 ( ) A . a 2 + 1 B . a 2 - 6 a + 9 C . x 2 + 5 y D . x 2 - 5 y 2. 把多项式 4 x 2 y - 4 x y 2 - x 3 分解因式的结果是 ( ) A . 4 x y ( x - y ) - x 3 B .- x ( x - 2 y ) 2 C . x (4 x y - 4 y 2 - x 2 ) D .- x ( - 4 x y + 4 y 2 + x 2 ) 3. 若 m = 2 n + 1 ,则 m 2 - 4 mn + 4 n 2 的值是 ________ . B B 1 4. 若关于 x 的多项式 x 2 - 8 x + m 2 是完全平方式,则 m 的值为 ___________ . ± 4 5. 把下列多项式因式分解 . ( 1 ) x 2 - 12 x +36; ( 2 ) 4(2 a +b) 2 -4(2 a +b)+1; (3) y 2 +2 y +1 - x 2 ; ( 2 ) 原式 = [ 2 (2 a +b)] ² - 2·2 (2 a +b) ·1+ ( 1 ) ² = (4 a +2b - 1 ) 2 ; 解: (1) 原式 = x 2 - 2· x ·6+ ( 6 ) 2 = ( x - 6 ) 2 ; ( 3 ) 原式 = ( y +1 ) ² - x ² = ( y +1+ x )( y +1 - x ) . (2) 原式 6. 计算: (1)38.9 2 - 2×38.9×48.9 + 48.9 2 . 解: (1) 原式= (38.9 - 48.9) 2 = 100. 7 . 分解因式 :(1)4 x 2 + 4 x + 1 ; (2) 小聪和小明的解答过程如下: 他们做对了吗?若错误,请你帮忙纠正过来. x 2 - 2 x + 3. (2) 原式 = ( x 2 - 6 x + 9) = ( x - 3) 2 解 : (1) 原式 = (2 x ) 2 + 2•2 x •1 + 1 = (2 x +1) 2 小聪 : 小明 : × × 8. (1) 已知 a - b = 3 ,求 a ( a - 2 b ) + b 2 的值; (2) 已知 ab = 2 , a + b = 5 ,求 a 3 b + 2 a 2 b 2 + ab 3 的值. 原式= 2×5 2 = 50. 解: (1) 原式= a 2 - 2 ab + b 2 = ( a - b ) 2 . 当 a - b = 3 时,原式= 3 2 = 9. (2) 原式= ab ( a 2 + 2 ab + b 2 ) = ab ( a + b ) 2 .   当 ab = 2 , a + b = 5 时, 课堂小结 完全平方公式分解因式 公式 a 2 ±2 ab + b 2 =( a±b ) 2 特点 ( 1 ) 要求多项式有 三项 . ( 2 ) 其中 两项同号,且都可以写成某数或式的平方 ,另一项则是 这两数或式的乘积的 2 倍 ,符号可正可负 .