数学人教版八年级上册课件12-3角平分线的性质（第2课时） 25页

第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第2课时 1.理解角平分线判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其 解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习目标 导入新课 复习回顾 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相 等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平 分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 讲授新课 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么 结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 几何语言： 猜想: 思考：这个结 论正确吗？ 角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B AD O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 u判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. u应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识总结 典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路 距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建 在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的 距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这 条角平分线上根据要求取点. 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度 尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这 个结论吗？ 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明结论 证明：过点P作PD，PE，PF分 别垂直于AB，BC，CA，垂足 分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点P在∠A的平分线上吗？ 这说明三角形的三条角平分线有什 么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且 这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M M E N A B C PO D 变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平 分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作 OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 解：连接OC 1 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 1 4 32 64 2 ABC AOC BOC AOBS S S S AB OE BC ON AB OM OM AB BC OM                    M E N A B C PO D 变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC， BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 chs 2 1  2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 知识与方法 例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到 △ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数 为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 1 21 2 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是 内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的 度数． 方法总结 归纳总结 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 当堂练习 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、 OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离 相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E， PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离 与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理 由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B CE FD ( ( ( ( 3 4 1 2 P 3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB， 点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN. 证明：∵OD平分线∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， ∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD， ∴△AOD≌△BOD. ∴∠ADO=∠BDO. ∵CM⊥AD，CN⊥BD， ∴CM=CN. 4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　 FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　 FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH，∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D 拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要 建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. l1 l3 l2 P1 P2 P3 P4 l1 l2l3 课堂小结 角平 分线 的判 定定 理 内 容 角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上 作 用 判断一个点是否在角的平分线上 结 论 三角形的角平分线相交于内部一点