人教版初中数学八年级下册课件18.2.1 矩 形 第2课时 矩形的判定 29页

第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 18.2.1 矩 形 第2课时 矩形的判定 学习目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 复习引入 导入新课 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保 图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量 角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决 问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 讲授新课 对角线相等的平行四边形是矩形一 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方 法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的 平行四边形.类似地，那我 们研究矩形的 性质的逆命题 是否成立. 问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”， 反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉 得对吗？ 我猜想：对 角线相等的 平行四边形 是矩形. 不对，等腰 梯形的对角 线也相等. 不对，矩形 是特殊的平 行四边形， 所以它的对 角线不仅相 等且平分. 思考 你能证明这一猜想吗？ 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌ △DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B CD 证一证 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 归纳总结 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B CD 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两 组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量 一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 　 例1 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． 　 A　 B　 C　D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC= AC，1 2 OB=OD= BD.1 2 又∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°. 典例精析 例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点, 且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等)， AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 练一练 1.如图，在▱ ABCD中，AC和BD相交于点O，则下 面条件能判定▱ ABCD是矩形的是 （　　） A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD A 2.如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是 矩形吗？为什么？ A B C D O1 2 解：四边形ABCD是矩形. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO,DO=BO. 又∵ ∠1= ∠2， ∴AO=BO， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形二 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都 是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图,在四边形ABCD中 ,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 证一证 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 归纳总结 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平 行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就 能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例3 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交 于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：在□ ABCD中，AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB、 ∠ABC的平分线, A B D C H E F G ∴四边形EFGH是矩形． 同理可证∠AED=∠EHG=90°, ∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°. ∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°. 1 2 1 2 例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足 为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN， 垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE ＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形． 1 2 1 2 1 2 练一练 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动 课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下 的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 当堂练习 1.下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; × × × × √ √ √ √ （8）一组对角互补的平行四边形是矩形. 2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两 点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M NQ PA B C C 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩 形． 证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ADC=90°. 又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13， 满足132=52+122，即 ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形． A B C D 2 2 2.AB BC AC  4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至 M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高， AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E， 求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE＝∠EAC. ∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD. 又∵DE∥AB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE平行且相等BD. 又∵BD＝DC， ∴AE平行且等于DC， 故四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形． 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方 向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿 着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别 从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时， 另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？ 解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形， 即PD＝CQ， 所以24－x＝3x， 解得x＝6. 即经过6s，四边形PQCD 是平行四边形； 能力提升： (2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？ 解：设经过ys，四边形PQBA为矩形， 即AP＝BQ， ∴y＝26－3y， 解得y＝6.5， 即经过6.5s，四边形PQBA是矩形． 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形 是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的 判定 定义 判定 定理