八年级数学上册第2章三角形2-3等腰三角形第1课时等腰（边）三角形的性质教学课件（新版）湘教版 31页

2.3 等腰三角形 第2章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 等腰（边）三角形的性质 1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质； （重点） 2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明 和计算.（重点、难点） 学习目标 导入新课 情境引入 思考：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁 上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角 板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底 边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A CB 腰腰 底边 顶 角 底角底角 讲授新课 等腰三角形的性质一 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去 阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形 展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出 其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 等腰三角形是轴对称图形. 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分 线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等(“等边对等角”). 总结归纳 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分 线重合(简称为“三线合一”). 画出任意一个等腰三角 形的底角平分线、这个 底角所对的腰上的中线 和高，看看它们是否重 合？ A B C D E F A B C D 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （√） （√） A B CD ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质定理完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， （1）∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BCAD CD 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. X X X X √ √ 判一判 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在 边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE. 证明 ： 作AF⊥BC，垂足为点F， 则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底 边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF=CF， ∴ BF-DF=CF-EF， DF=EF， 即 BD=CE. F 典例精析 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一 些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边 上的中线是常见的辅助线． （2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来. A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例2 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系， ∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °, ∴x+2x+2x=180 °, A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得 x=36 ° ， 在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得 到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可 考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x. 【变式题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC， ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC. 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x. 在△ABC中， 根据三角形内角和定理得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°. 例3 等腰三角形的一个内角是50°，求这个三角形的 底角的度数. 解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°； 当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的 内角和定理易得底角是65°. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内 角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情 况讨论． 等边三角形的性质二 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C=60° 内角和为 180° 性质： 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. 已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. A B C A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边 三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平 分线都“三线合一”. 顶角的平分线、 底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 例5 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC 延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE， 求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结 合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质. 当堂练习 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC， 若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角的度数分别 是 （　　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 3.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边 BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° C 4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ____ __； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 . 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B C D 解：∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30°， ∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°. 1 2 BAD BAC   = 60°. 6. 如图，点P为等边△ABC的边BC上一点，且 ∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC的度数. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°. ∵AD=AP, ∴∠APD=∠ADP=80°， ∴∠DPC =∠ADP-∠C=20°. 7.如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE 为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线， 1 1 2 2 DBC ABC ECB ACB     ， ， 课堂小结 等腰三角 形的性质 等 边 对 等 角 三 线 合 一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高和中线与底角的平分线不 具有这一性质. 推 论 等边三角形三个内角相等， 且均等于60°