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  • 2021-10-27 发布

八年级数学上册第2章三角形2-3等腰三角形第1课时等腰(边)三角形的性质教学课件(新版)湘教版

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2.3 等腰三角形 第2章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 等腰(边)三角形的性质 1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质; (重点) 2.能运用等腰(边)三角形的性质进行有关的证明 和计算.(重点、难点) 学习目标 导入新课 情境引入 思考:建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁 上,从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三角 板底边中点,就说房梁是水平的,你知道为什么吗? 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底 边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. A CB 腰腰 底边 顶 角 底角底角 讲授新课 等腰三角形的性质一 剪一剪:把一张长方形的纸按图中的红线对折,并剪去 阴影部分(一个直角三角形),再把得到的直角三角形 展开,得到的三角形ABC有什么特点? 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折:△ABC 是轴对称图形吗?它的对称轴 是什么? A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 找一找:把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出 其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角   A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 等腰三角形是轴对称图形. 由此得到等腰三角形的性质定理: 等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分 线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等(“等边对等角”). 总结归纳 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分 线重合(简称为“三线合一”). 画出任意一个等腰三角 形的底角平分线、这个 底角所对的腰上的中线 和高,看看它们是否重 合? A B C D E F A B C D 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. (X) (X) (X) (X) (√) (√) A B CD ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质定理完成下列填空. 在△ABC中, AB=AC时, (1)∴∠_____ = ∠_____,____= ____. (2) ∵AD是中线, ∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线, ∴____ ⊥____ ,_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BCAD CD 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. X X X X √ √ 判一判 例1 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在 边BC 上,且AD=AE.求证:BD=CE. 证明 : 作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰△ABC和等腰△ADE底 边上的高,也是底边上的中线. ∴ BF=CF, ∴ BF-DF=CF-EF, DF=EF, 即 BD=CE. F 典例精析 方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中,会遇到一 些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边 上的中线是常见的辅助线. (2)设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来. A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例2 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上, 且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解析:(1)观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系, ∠ABC、∠C呢? ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °, ∴x+2x+2x=180 °, A B C D 解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° , 解得 x=36 ° , 在△ABC中, ∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得 到角与角之间的关系,当这种等量关系或和差关系较多时,可 考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x. 【变式题】如图,在△ABC中,AB=AD=DC, ∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数. 解:∵AB=AD=DC, ∴ ∠B= ∠ADB,∠C= ∠DAC. 设 ∠C=x,则 ∠DAC=x, ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x. 在△ABC中, 根据三角形内角和定理得 2x+x+26°+x=180°, 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°, ∠B=2x=77°. 例3 等腰三角形的一个内角是50°,求这个三角形的 底角的度数. 解:当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°; 当50°的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的 内角和定理易得底角是65°. 方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内 角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情 况讨论. 等边三角形的性质二 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系? 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C=60° 内角和为 180° 性质: 等边三角形的三个内角相等,且都等于60°. 已知:AB=AC=BC , 求证:∠A= ∠ B=∠C= 60°. A B C A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边 三角形有几条对称轴? 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平 分线都“三线合一”. 顶角的平分线、 底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 例5 如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC 延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE, 求∠CED的度数. 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∵∠ABE=40°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°. ∵BE=DE, ∴∠D=∠EBC=20°, ∴∠CED=∠ACB-∠D=40°. 方法总结:等边三角形是特殊的三角形,它的三个内角都是 60°,这个性质常应用在求三角形角度的问题上,一般需结 合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质. 当堂练习 2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC, 若∠1=70°,则∠BAC的大小为(  ) A.40° B.30° C.70° D.50° A 1.等腰三角形有一个角是90°,则另两个角的度数分别 是 (  ) A.30°,60° B.45°,45° C.45°,90° D.20°,70° B 3.如图,l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边 BC与直线m所夹锐角为20°,则∠α的度数为(  ) A.60° B.45° C.40° D.30° C 4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ____ __; (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________; (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 . 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°,30° 5.如图,在△ABC中,AB = AC,D是BC边上的中点, ∠B = 30°,求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. A B C D 解:∵AB=AC,D是BC边上的中点, ∴ ∠C= ∠ B=30°, ∠BAD = ∠ DAC,∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°. 1 2 BAD BAC   = 60°. 6. 如图,点P为等边△ABC的边BC上一点,且 ∠APD= 80°,AD=AP,求∠DPC的度数. 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠C=60°. ∵AD=AP, ∴∠APD=∠ADP=80°, ∴∠DPC =∠ADP-∠C=20°. 7.如图,已知△ABC为等腰三角形,AB=AC,BD、CE 为底角的平分线,且∠DBC=∠F,求证:EC∥DF. ∴∠DBC=∠ECB. ∵∠DBC=∠F,∴∠ECB=∠F, ∴EC∥DF. 证明:∵△ABC为等腰三角形,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线, 1 1 2 2 DBC ABC ECB ACB     , , 课堂小结 等腰三角 形的性质 等 边 对 等 角 三 线 合 一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高和中线与底角的平分线不 具有这一性质. 推 论 等边三角形三个内角相等, 且均等于60°