人教版八年级数学上册第十三章13.4课题学习 最短路 32页

第十三章 轴对称 13.4课题学习 最短路 径问题 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点） 学习目标 导入新课 复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ 为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连 接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P lA B C D PC最短，因为垂线段最短 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A l A ′ 讲授新课 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为 最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数 学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址 问题”. A B ① ② ③ P lA B C D 牧人饮马问题 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可 使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？ A l B C 根据是“两点之间，线段 最短”，可知这个交点即 为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. 问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该 如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将 点B“移”到l 的另一侧B′处， 满足直线l 上的任意一点C， 都保持CB 与CB′的长度相等？ A B l 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. 方法揭晓 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． A B l B ′ C 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)， 连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 即　AC +BC 最短． A B l B ′ C C ′ 练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某 处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） P Q lAM P Q lB M P Q l C M P Q l D M D 例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC 中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动 点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 典例精析 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值. B 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对 称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一 线段的长，而再根据已知条件求解. 例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1， 4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点 不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　 　） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′， 交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小， 然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、 AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三 角形即可． B′ C′ E A 方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置. 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ B AA B N M 造桥选址问题 B A● ● ?N M N M N M 折 移 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路 径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化 到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 思维火花 各抒己见 1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连. B A Ｍ Ｎ B A Ｍ Ｎ A' B' 1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了 2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了 B A Ｍ Ｎ 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连. AM+MN+BN 长度有没有改 变呢？ 问题解决 B A A1 M N 如图，平移A到A1，使AA1等于河 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短. 理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. Ｎ１ Ｍ１ 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１， AM１＝A１N１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN. A· B M N E C D 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路 径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN， 所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短. 方法归纳 解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题， 从而作出最短路径的选择. 当堂练习 1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、 B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的 说法正确的是（　　） A．P是m上到A、B距离之和最短的 点，Q是m上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的 点，P是m上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等 的点 A 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP= 10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长 最小，则最小周长是（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 A 3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸 的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮 水再回家，所走的最短距离是 米. A C B D 河 1000 4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上， 点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当 PA+PB的值最小时，在图中画出点P． x y O B A B' P 5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同， 从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计）， 设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架 桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ A D D ′ C C′ E E′ B 解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河 宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD=FD′, 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知， GF最小. A D ′ C C′ E E′ B F G D 6.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F， 使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理 由． （3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点 E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点， 并说明理由． 拓展提升 A B C D P O A B N O A B M 图① 图② 图③图① 图② 图③ P O A B N O A B M A B C D C' P P' P'' E F M' N' E F 图① 图② 图③ 课堂小结 原理 线段公理和垂线段最短 牧马人饮 马 问 题 解题方法 造 桥 选 址 问 题 关键是将固定线段 “桥”平移 最 短 路 径 问 题 轴对称知识+线段公理 解题方法