八年级数学上册第十二章全等三角形小结与复习教学课件新版 人教版 31页

小结与复习 第十二章 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等 图形 ，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 . 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 对应顶点， 重合的角叫做 对应角 . 重合的边叫做 对应边 ， 要点梳理 一、全等三角形的性质 B C E F 其中点 A 和 ，点 B 和 ，点 C 和 _ _ 是对应顶点 . AB 和 ， BC 和 ， AC 和 是对应边 . ∠ A 和 ， ∠ B 和 ， ∠ C 和 是对应角 . A D 点 D 点 E 点 F DE EF DF ∠ D ∠ E ∠ F A B C D E F 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等 . 如图： ∵△ ABC ≌ △ DEF ， ∴ AB = DE ， BC = EF ， AC = DF （ ）， ∠ A =∠ D ，∠ B =∠ E ，∠ C =∠ F （ ） . 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式： 用符号语言表达为： 在△ ABC 与 △ DEF 中 ∴△ ABC ≌ △ DEF . （ SAS ） 1. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ( 可以简写成“边角边”或 “ SAS ” ). F E D C B A AC = DF ， ∠ C =∠ F ， BC = EF ， 二、三角形全等的判定方法 ∠ A =∠ D ，（已知 ） AB = DE ，（已知 ） ∠ B =∠ E ，（已知 ） 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴ △ ABC ≌ △ DEF . （ ASA ） 2. 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等 ( 可以简写成“角边角”或“ ASA ” ） . 用符号语言表达为： F E D C B A 3. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“ SSS ” ） . A B C D E F 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴ △ ABC ≌ △ DEF . （ SSS ） AB = DE ， BC = EF ， CA = FD ， 用符号语言表达为： 4. 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 ( 可以简写成“角角边”或“ AAS ” ） . 5. 斜边 和 一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等 . 简写成“ 斜边、直角边 ”或“ HL ”. A B C D E F 注意：① 对应 相等 . ②“ HL” 仅适用直角三角形 , ③书写格式应为 : ∵ 在 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 中， AB = DE ， AC = DF ， ∴ Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF (HL) 角的平分线的 性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠ AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD=PE OP 平分∠ AOB PD=PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的 判定 三、 角平分线的性质与判定 考点一 全等三角形的性质 考点讲练 例 1 如图，已知△ACE ≌ △DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2． （1）求AC的长度； （2）试说明CE∥BF． 解：（1）∵△ACE ≌ △DBF， ∴AC=BD，则AB=DC， ∵BC=2，∴2AB+2=8， ∴ AB=3， ∴ AC=3+2=5； （2）∵△ACE ≌ △DBF， ∴∠ECA=∠FBD， ∴CE∥BF． 两个全等三角形的 长边 与 长边 ， 短边 与 短边 分别是对应边， 大角 与 大角 ， 小角 与 小角 分别是对应角 . 有对顶角的，两个 对顶角 一定为一对对应角 . 有公共边的， 公共边 一定是对应边 . 有公共角的， 公共角 一定是对应角 . 方法总结 1. 如图所示，△ABD ≌ △ACD，∠BAC=90°． （1）求∠B； （2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由． 针对训练 解：（1）∵△ABD ≌ △ACD， ∴∠B=∠C， 又∵∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45°； （2）AD⊥BC． 理由：∵△ABD ≌ △ACD， ∴∠BDA=∠CDA， ∵∠BDA+∠CDA=180°， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AD⊥BC． 例 2 已知， ∠ ABC ＝∠ DCB ，∠ ACB ＝ ∠ DBC ， 求证： △ ABC ≌ △ DCB ． ∠ ABC ＝∠ DCB ( 已知）， BC ＝ CB （公共边）， ∠ ACB ＝∠ DBC （已知）， 证明： 在 △ ABC 和 △ DCB 中 ， ∴△ ABC ≌ △ DCB （ ASA ） . B C A D 【 分析 】 运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定． 考点二 全等三角形的判定 2. 已知△ ABC 和△ DEF , 下列条件中 , 不能保证△ ABC 和△ DEF 全等的是 ( ) A .AB = DE , AC = DF , BC = EF B. ∠ A = ∠ D , ∠ B = ∠ E , AC = DF C. AB = DE , AC = DF , ∠ A = ∠ D D. AB = DE , BC = EF , ∠ C = ∠ F D 针对训练 3. 如图所示， AB 与 CD 相交于点 O , ∠ A =∠ B ， OA = OB 添加条件 ， 所以 △ AO C ≌ △ BOD 理由是 . A O D C B ∠ C =∠ D 或∠ AOC =∠ BOD AAS 或 ASA 考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用 例 3 如图，在 △ ABC 中， AD 平分 ∠ BAC,CE ⊥ AD 于点 G , 交 AB 于点 E , EF ∥ BC 交 AC 于点 F , 求证： ∠ DEC =∠ FEC . A B C D F E G 【 分析 】 欲证 ∠ DEC =∠ FEC 由平行线的性质转化为证明 ∠ DEC =∠ DCE 只需要证明 △ DEG ≌ △ DCG . A B C D F E G 证明： ∵ CE ⊥ AD , ∴ ∠ AGE =∠ AGC =90 °. 在 △ AGE 和 △ AGC 中， ∠ AGE =∠ AGC ， AG=AG ， ∠ EAG =∠ CAG ， ∴ △ AGE ≌ △ AGC (ASA) ， ∴ GE =GC . ∵ AD 平分 ∠ BAC ,∴ ∠ EAG =∠ CAG ， . A B C D F E G 在 △ DGE 和 △ DGC 中， EG=CG ， ∠ EGD = ∠ CGD =90 ° ， DG=DG . ∴ △ DGE ≌ △ DGC ( SAS ). ∴ ∠ DEG = ∠ DCG . ∵ EF//BC , ∴ ∠ FEC = ∠ ECD ， ∴ ∠ DEG = ∠ FEC . 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线 . 方法总结 4. 如图， OB ⊥ AB , OC ⊥ AC , 垂足为 B , C , OB = OC ， ∠BAO =∠ CAO 吗？为什么？ O C B A 解： ∠ BAO =∠ CAO ， 理由：∵ OB ⊥ AB , OC ⊥ AC ， ∴ ∠ B =∠ C =90° . 在Rt△ ABO 和Rt△ ACO 中 ， OB = OC ， AO = AO ， ∴ Rt△ ABO ≌ Rt△ ACO ， （HL） ∴ ∠ BAO =∠ CAO . 针对训练 考点四 利用全等三角形解决实际问题 例 4 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ A B C D 【 分析 】 将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明 BD=CD . 由已知条件可知 AB = AC ， AD ⊥ BC . A B C D 解：相等，理由如下： ∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ ADB =∠ ADC =90°. 在 Rt △ ADB 和 Rt △ ADC 中， AD=AD ， AB=AC ， ∴ Rt △ ADB ≌ Rt △ ADC (HL). ∴ BD=CD . 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤： （ 1 ） 先明确实际问题； （ 2 ） 根据实际抽象出几何图形； （ 3 ） 经过分析，找出证明途径； （ 4 ） 书写证明过程 . 方法总结 针对训练 5. 如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？ 解：要测量A、B间的距离，可用如下方法： 过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC， 再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上， ∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC， ∴△EDC ≌ △ABC（ASA）． ∴DE=BA． 答：测出DE的长就是A、B之间的距离． C D E 考点五 角平分线的性质与判定 例 5 如图 , ∠ 1=∠2, 点 P 为 BN 上的一点， ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° ， 求证 : PA=PC . 【 分析 】 由角平分线的性质易想到过点 P 向 ∠ ABC 的两边作垂线段 PE 、 PF ， 构造角平分线的基本图形 . B A C N ) ) 1 2 P E F 【 证明 】 过点 P 作 PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E,F . ∵∠1=∠2, PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E , F . ∴ PE=PF , ∠ PEA =∠ PFC =90 °. ∵ ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° , 又 ∠ BAP +∠ EAP =180 °. ∴ ∠ EAP =∠ PCB. 在 △ APE 和 △ CPF 中， ∠ PEA =∠ PFC =90 ° ， ∠ EAP =∠ FC P ， PE=PF ， ∴ △ APE ≌ △ CPF (AAS) ， ∴ AP=CP . B A C N ) ) 1 2 P E F 【 证法 2 思路分析 】 由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形 . 方法是在 BC 上截取 BD=AB , 连接 PD （ 如图 ） . 则有 △ PAB ≌ △ PDB , 再证 △ PDC 是等腰三角形即可获证 . 证明过程请同学们自行完成！ 【 归纳拓展 】 角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法 . 应用时要依托全等三角形发挥作用 . 作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形 . A C N ) ) 1 2 P B D 6. 如图 , ∠ 1=∠2, 点 P 为 BN 上的一点， PA=PC ，求证 : ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° . B A C N ) ) 1 2 P E F 【 证明 】 过点 P 作 PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E,F. ∵∠1=∠2, PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E,F . ∴ PE=PF, ∠ PEA =∠ PFC =90 °. PA=PC ， PE=PF ， 在 Rt △ APE 和 Rt △ CPF 中， ∴ Rt △ PAE ≌ Rt △ PCF (HL). 针对训练 ∴ ∠ EAP = ∠ FCP . ∵ ∠ BAP +∠ EAP =180 ° ， ∴ ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° . 想一想： 本题如果不给图，条件不变，请问 ∠ PCB 与 ∠ PAB 有怎样的数量关系呢？ B A C N ) ) 1 2 P E F 全等 三角形 性质 基本性质和其他重要性质 判定 判定方法基本思路 作用 是证明两条线段相等和角相等的常用方法 寻找现有条件（包括图中隐含条件） 选定判定方法证明准备条件 角的平分线 的性质定理 角的平分线 的判定定理 证明两条线段相等 证明角相等 辅助线 添加方法 课堂小结