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- 2021-10-27 发布
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15.1.2
分式的基本性质
第十五章 分 式
学习目标
1.
理解并掌握分式的基本性质
.(重点)
2.
会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分
.(难点)
导入新课
情境引入
分数的 基本性质
分数的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于零的数,分数的值不变
.
2.
这些分数相等的依据是什么?
1.
把
3
个苹果平均分给
6
个同学,每个同学得到几个苹果?
讲授新课
分式的基本性质
一
思考:
下列两式成立吗?为什么?
分数
的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于
0
的数,
分数
的值不变
.
分数的基本性质:
即对于任意一个分数 有:
想一想:
类比分数的基本性质,你能猜想分式有什么性质吗?
思考:
分式的基本性质:
分式的分子与分母乘
以
(或除以)同一个不等于
0
的整式,分式的值不变
.
上述性质可以用式表示为:
其中
A,B,C
是整式
.
知识要点
例
1
填空:
看
分母
如何变化,想
分子
如何变化
.
看
分子
如何变化,想
分母
如何变化
.
典例精析
想一想:
(
1
)中为什么不给出
x
≠0,
而(
2
)中却给出了
b
≠0?
想一想
:
运用分式的基本性质应注意什么
?
(1)“
都
”
(2) “
同一个
”
(3)
“
不为
0
”
例
2
不改变分式的值,把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数
.
⑴ ⑵
解:
不改变分式的值,使下列分子与分母都不含“-”号
⑴ ⑵ ⑶
解:(
1
)原式
=
(
2
)原式
=
(
3
)原式
=
练一练
想一想:
联想分数的约分,由例
1
你能想出如何对分式进行约分?
分式的约分
二
( )
( )
与分数约分类似,关键是要找出分式的分子与分母的
最简公分母
.
像这样,根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的
约分
.
知识要点
约分的定义
分式的约分,一般要约去分子和分母所有的公因式,使所得的结果成为
最简分式或整式
.
经过约分后的分式 ,其分子与分母没有公因.像这样分子与分母没有公因式的式子,叫做
最简分式
.
在化简分式 时,小颖和小明的做法出现了分歧:
小颖:
小明:
你对他们俩的解法有何看法?说说看!
一般约分要
彻底
,
使分子、分母没有公因式
.
议一议
例
3
约分
:
典例精析
分析:
为约分要先找出
分子和分母的
公因式
.
找
公因式
方法
:
(
1
)约去
系数
的
最大公约数
.
(
2
)约去分子分母
相同因式
的
最低次幂
.
解
:
(
公因式是
5
ac
2
)
解
:
分析:
约分时
,
分子或分母若是
多项式
,
能分解则
必须先进行因式分解
.
再找出分子和分母的公因式进行约分
.
知识要点
约分的基本步骤
(1)
若分子
﹑
分母都是
单项式
,则
约去
系数的最大公约数
,并约去相同字母的
最低次幂
;
(2)
若分子
﹑
分母含有
多项式
,则先将多项式
分解因式
,然后约去分子
﹑
分母所有的
公因式
.
注意事项:
(
1
)约分前后分式的值要相等
.
(
2
)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式
.
(
3
)约分是对分子、分母的整体进行的,也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
.
分式的通分
三
问题
1
:
通分:
最小公倍数:
24
分数的通分:把几个异分母的分数化成同分母的分数,而不改变分数的值,叫做分数的通分
.
通分的关键是确定几个分母的
最小公倍数
想一想:
联想分数的通分,由例
1
你能想出如何对分式进行通分?
(
b
≠0)
问题
2
:
填空
知识要点
分式的通分的定义
与分数的通分类似,根据分式的基本性质,使分子、分母同乘
适当的整式(即最简公分母),
把
分母不相同
的分式变成
分母相同
的分式,这种变形叫分式的通分.如分式 与 分母分别是
ab,a
2
,通分后分母都变成了
a
2
b
.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母,一般取各分母的
所有因式
的
最高次幂
的积作公分母,叫做最简公分母
.
注意:
确定最简公母是通分的关键
.
最简公分母
例
4
通分:
解:(1)最简公分母是
2
a
2
b
2
c
(2)最简公分母是
(
x
+5)(
x
-5)
不同的因式
最简公分母
1
·(
x
-5)
(
x
-5)
1
·(
x
+5)
1
(
x
+5)
例
5
通分:
方法归纳:
先将分母因式分解,再将每一个因式看成一个整体,最后确定最简公分母.
(
x
+
y
)(
x
-
y
)
解:最简公分母是
x
(
x
+
y
)(
x
-
y
)
x
(
x
+
y
)
确定几个分式的最简公分母的方法
:
(
1
)因式分解
(
2
)
系数:
各分式分母系数的最小公倍数;
(
3
)
字母:
各分母的所有字母
的最高次幂
(
4
)
多项式:
各分母所有多项式因式的最高次幂
(
5
)积
方法归纳
想一想:
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?这些做法的根据是什么?
约分
通分
分数
分式
依据
找分子与分母的
最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的
最小公倍数
找所有分母的
最简公分母
分数或分式的基本性质
当堂练习
2.
下列各式中是最简分式的( )
B
1.
下列各式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
D
A
.
扩大两倍
B
.
不变
C
.
缩小两倍
D
.
缩小四倍
3.
若把分式
的
x
和
y
都扩大两倍
,
则分式
的值
( )
B
4.
若把分式 中的
X
和
Y
都扩大
3
倍
,
那么分式
的值
( ).
A
.扩大
3
倍
B
.扩大
9
倍
C
.扩大
4
倍
D
.不变
A
解:
5.
约分
6.
通分:
解:最简公分母是
12
a
2
b
3
解:最简公分母是
(2
x
+1)(2
x
-1)
小贴士:
在分式的约分与通分中,通常碰到如下因式符号变形:
(b-a)
2
=(a-b)
2
;b-a=-(a-b).
解:最简公分母是
(
x
+
y
)
2
(
x
-
y
)
课堂小结
分式的
基本性质
内容
作用
分式进行约分
和通分的依据
注意
(1)
分子分母
同时
进行;
(2)
分子分母只能
同乘或同除
,不能进行同加或同减;
(3)
分子分母只能同乘或同除
同一个整式
;
(4)
除式是
不等于零
的整式
进行分式运算的基础
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