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- 2021-10-27 发布
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16.1 二根次式
第十六章 二次根式
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
八年级数学下(RJ)
教学课件
第2课时 二次根式的性质
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程,体验归纳、猜想
的思想方法.(重点)
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.(难点)
导入新课
情景引入
问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅?
1
4
算术平方根之门 平方之门
0 -4 -1
a 2( )aa
a≥0
1
1
2
1
4
我们都是
非负数哟
问题2 若下列数字想从客厅出来,谁能顺利通过
两扇门出来呢?
算术平方根之门 平方之门
1
40 -4 -1 1
16 4 1
1 1
4
2a 2aa
a为任意数
我们都是非负数,
可出来之前我们有
正数,零和负数.
思考 你发现了什么?
正方形的边长为 ,
用边长表示正方形的面积为 ,
又∵面积为a,
即 .
(a≥0)的性质一 2( )a
讲授新课
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾,面积
为a,求它的边长,并用所求得的边长表示出面积,
你发现了什么?
a
2
a a
2
a
这个式子是不是对所有
的二次根式都成立呢?
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性,下面
根据算术平方根及平方的意义填空,你又发现了什么?
...
算术平
方根
平方
运算
0
2
4
...
0 0
4 2
1
3
a(a≥0) a
2)( a
02 = 0
...
1
3
2
1 1
3 3
观察两者有什么关系?
2
22 = 4
2
2 2
2
________
1 .
3
2
2 _____;
2
4 _______;
2
0 _____;
4
1
3
20
根据活动2直接写出结果,然后根据活动2的探究
过程说明理由:
是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,
是一个平方等于2的非负数.因此 .
同理, 分别是0,4, 的算术平方根,即
得上面的等式.
2
2 2
2 2
10 , 4 ,
3
1
3
归纳总结
的性质:2( ) ( 0)a a
一般地, =a (a ≥0).2( )a
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意:不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根
式 有意义的前提条件.a
典例精析
例1 计算:
2(1) ( 1.5) ; 2(2) (2 5) ;
解: 2(1) ( 1.5) 1.5.
2 2 2(2) (2 5) 2 ( 5) 4 5 20.
(2)可以用到幂
的哪条基本性
质呢?
积的乘方:
(ab)2=a2b2
例2 在实数范围内分解因式:
4 2(2) 4 4.y y
解:
2224 2 2 2
2 2
(2) 4 4 2 2
2 2 .
y y y y
y y
2(1) 3;x
2(1) 3 3 3 .x x x
本题逆用了 在实数范围内分解因式.
在实数范围内分解因式时,原来在有理数范围内分解
因式的方法和公式仍然适用.
归纳 2( ) 0a a a ≥
练一练
计算:
2 2(1) ( 5) (2) (2 2) . ;
解: 2(1) ( 5 ) 5 .
2 2 2( 2 ) ( 2 2 ) = 2 ( 2 ) = 4 2 =8 .
...
平方
运算
算术平
方根
2
0.1
0
...
4
4
9
a(a≥0) 2a 2a
2
...
2
3
观察两者有什么关系?
0.01 0.1
0
2
3
0
的性质二 2a
填一填: =a (a≥0).2a
...
平方
运算
算术平
方根
-2
-0.1
...
4
4
9
2a 2a
2
...
2
3
观察两者有什么关系?
0.01 0.1
2
3
a(a<0)
思考:当a<0时, =2a ?-a
归纳总结
a (a≥0)
2a a
-a (a<0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的
绝对值.
的性质:2 ( 0)a a
例3 化简:
(1) 16; 2(2) ( 5) ;
解: 2(1) 16 4 4.
2 2(2) ( 5) 5 5.
2(3) 10 ; 2(4) (3.14 ) .π
22 1 1 1(3) 10 = 10 = 10 =10 .
2(4) (3.14 ) = 3.14 = 3.14. π π π
,而3.14<π,要注意a的正负性.注意 2a a
计算:
2
2(1) ( -2) (2) ( -1.2) . ;
练一练
解: 22 1 (-2) = 2 =2 ( ) .
2 2 2 (-1.2) = 1.2 = 1.2 ( ) .
辨一辨:请同学们快速分辨下列各题的对错.
( )
( )
( )
( )
×
×
√
√
2
2
2
2
(1) 2 2
(2) 2 2
(3) 2 2
(4) 2 2
议一议:如何区别 与 ?2a2( )a
2( )a 2a
从运算
顺序看
从取值
范围看
从运算
结果看
先开方,后平方 先平方,后开方
a≥0 a取任何实数
a |a|
意义
表示一个非负
数a的算术平
方根的平方
表示一个实数
a的平方的算
术平方根
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示,
请你化简: 22 2 .a b a b
解:由数轴可知a<0,b>0,a-b<0,
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-(a-b)
=-2a.
a b
【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所
示,化简: .2 24 4a ab b a b
解:根据数轴可知b<a<0,
∴a+2b<0,a-b>0,
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b.
2 24 4a ab b a b
利用数轴和二次根式的性质进行化简,关键是要
要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
注意
例5 已知a、b、c是△ABC的三边长,化简:
2 2 2 .a b c b c a c b a
解:∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴a+b+c>0,b+c>a,b+a>c,
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-(b+c-a)+(b+a-c)
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c.
分析:
利用三角形
三边关系
三边长均为正数,a+b+c>0
两边之和大于第三边,b+c-a
>0,c-b-a<0
用基本运算符号(包括加、减、乘、除、乘方
和开方)把 或 连接起来的
式子,我们称这样的式子为代数式.
概念学习
数 表示数的字母
想一想 到现在为止,初中阶段所学的代数式主要有
哪几类?
代数式
整式
分式
二次根式
代数式的定义 三
(1)一条河的水流速度是2.5 km/h,船在静水中
的速度是 v km/h,用代数式表示船在这条河中顺水
行驶和逆水行驶时的速度;
例6
解:(1)船在这条河中顺水行驶的
速度是 km/h,逆水行驶的速度
是 km/h.
( 2.5)v
( 2.5)v
(2)如图,小语要制作一个长与宽之比为5:3的
长方形贺卡,若面积为S,用代数式表示出它的长.
(2)设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S,
所以 所以它的长为,
15
Sx 5 .
15
S
列代数式的要点:
①要抓住关键词语,明确它们的意义以及它们之
间的关系,如和、差、积、商及大、小、多、少、
倍、分、倒数、相反数等;
②理清语句层次明确运算顺序;
③牢记一些概念和公式.
归纳总结
1.在下列各式中,不是代数式的是( )
A.7 B.3>2 C. D.2
x
2 22
3
x y
B
练一练
2.如图是一圆形挂钟,正面面积
为S,用代数式表示出钟的半径
为__________.
S
π
方法总结:单个的数字或字母也是代数式,代数式
中不能含有“=”“>”或“<”等.
当堂练习
1.化简 得( )
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
16 C
2. 当1
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