2020年秋人教版八年级数学上册第13章 轴对称 测试卷（3） 43页

第 1页（共 43页） 2020 年秋人教版八年级数学上册第 13 章 轴对称 测试卷（3） 一、选择题 1．如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5．若点 M、N 分别是线段 AC，AB 上的 两个动点，则 BM+MN 的最小值为（ ） A．10 B．8 C．5 D．6 2．如图，四边形 ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点， 当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，直线 l 外不重合的两点 A、B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC 的 长度最短，作法为：①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；②连接 AB′与直线 l 相交 于点 C，则点 C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 （ ） A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 4．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和 射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是（ ） 第 2页（共 43页） A．25° B．30° C．35° D．40° 5．如图，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（ ） A． B．2 C．2 D． 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 是 AB 上的动点，E 是 BC 上 的动点，则 AE+DE 的最小值为（ ） A．3+2 B．10 C． D． 7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧 MB 的 中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN=1，则△PMN 周长的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点 B 为 劣弧 AN 的中点．P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ） 第 3页（共 43页） A． B．1 C．2 D．2 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 二、填空题 10．如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别 是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四 边形 AEPQ 的面积是 ． 11．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE+DE 的最小值为 ． 第 4页（共 43页） 12．如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、 Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 ． 13．在每个小正方形的边长为 1 的网格中．点 A，B，C，D 均在格点上，点 E、F 分别为线段 BC、DB 上的动点，且 BE=DF． （Ⅰ）如图①，当 BE= 时，计算 AE+AF 的值等于 （Ⅱ）当 AE+AF 取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画 出线段 AE，AF，并简要说明点 E 和点 F 的位置如何找到的（不要求证明） ． 14．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，BE=1，F 为 AB 上一点， AF=2，P 为 AC 上一点，则 PF+PE 的最小值为 ． 15．如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分∠AOB， 且 OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 ． 第 5页（共 43页） 16．在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8cm， = = ，M 是 AB 上一动点，CM+DM 的最小值是 cm． 17．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为边 BC 的中点，点 P 在对角线 BD 上 移动，则 PE+PC 的最小值是 ． 18．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠DAB=60°，E 为 BC 的中点，在对角线 AC 上存在一点 P，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 ． 19．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为 ． 20．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，M、N 分别是 BC、CD 的中点， 第 6页（共 43页） P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是 ． 21．在如图所示的平面直角坐标系中，点 P 是直线 y=x 上的动点，A（1，0），B （2，0）是 x 轴上的两点，则 PA+PB 的最小值为 ． 22．菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC=60°，E 是 AD 边中点，点 P 是对角线 BD 上 的动点，当 AP+PE 的值最小时，PC 的长是 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），点 B（﹣2，1），在 x 轴上 存在点 P 到 A，B 两点的距离之和最小，则 P 点的坐标是 ． 三、解答题 第 7页（共 43页） 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，3），B（2，4），C（4，0），D （2，﹣3），E（0，﹣4）．写出 D，C，B 关于 y 轴对称点 F，G，H 的坐标，并画 出 F，G，H 点．顺次而平滑地连接 A，B，C，D，E，F，G，H，A 各点．观察你 画出的图形说明它具有怎样的性质，它象我们熟知的什么图形？ 25．如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸中，有线段 AB 和 直线 MN，点 A，B，M，N 均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画四边形 ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使 四边形 ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形，点 A 的对称点为点 D，点 B 的对称点为点 C； （2）请直接写出四边形 ABCD 的周长． 26．在图示的方格纸中 （1）作出△ABC 关于 MN 对称的图形△A1B1C1； （2）说明△A2B2C2 是由△A1B1C1 经过怎样的平移得到的？ 第 8页（共 43页） 27．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，四边形 ABCD 的四个顶点都在 小正方形的顶点上，点 E 在 BC 边上，且点 E 在小正方形的顶点上，连接 AE． （1）在图中画出△AEF，使△AEF 与△AEB 关于直线 AE 对称，点 F 与点 B 是对 称点； （2）请直接写出△AEF 与四边形 ABCD 重叠部分的面积． 28．如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4），抛物线与 y 轴交于点 B（0，3），与 x 轴交于 C、D 两点，点 P 是 x 轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标． 29．作图题：（不要求写作法）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，其中，点 A、 B、C 的坐标分别为 A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． 第 9页（共 43页） （1）作△ABC 关于直线 l：x=﹣1 对称的△A1B1C1，其中，点 A、B、C 的对应点 分别为 A1、B1、C1； （2）写出点 A1、B1、C1 的坐标． 30．如图，在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中（我们把组成网格的小 正方形的顶点称为格点），四边形 ABCD 在直线 l 的左侧，其四个顶点 A、B、C、 D 分别在网格的格点上． （1）请你在所给的网格中画出四边形 A′B′C′D′，使四边形 A′B′C′D′和四边形 ABCD 关于直线 l 对称，其中点 A′、B′、C′、D′分别是点 A、B、C、D 的对称点； （2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段 A′B′的长度． 第 10页（共 43页） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5．若点 M、N 分别是线段 AC，AB 上的 两个动点，则 BM+MN 的最小值为（ ） A．10 B．8 C．5 D．6 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】过 B 点作 AC 的垂线，使 AC 两边的线段相等，到 E 点，过 E 作 EF 垂直 AB 交 AB 于 F 点，EF 就是所求的线段． 【解答】解：过 B 点作 AC 的垂线，使 AC 两边的线段相等，到 E 点，过 E 作 EF 垂直 AB 交 AB 于 F 点， AC=5 ， AC 边上的高为 2 ，所以 BE=4 ． ∵△ABC∽△EFB， ∴ = ，即 = EF=8． 故选 B． 【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和 相似三角形的性质求得解． 第 11页（共 43页） 2．如图，四边形 ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点， 当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题． 【分析】据要使△AEF 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直 线上，作出 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°， 进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案． 【解答】解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 E，交 CD 于 F，则 A′A″即为△AEF 的周长最小值．作 DA 延长线 AH， ∵∠C=50°， ∴∠DAB=130°， ∴∠HAA′=50°， ∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°， ∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF=50°， ∴∠EAF=130°﹣50°=80°， 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法 以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出 E，F 的位 置是解题关键． 第 12页（共 43页） 3．如图，直线 l 外不重合的两点 A、B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC 的 长度最短，作法为：①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；②连接 AB′与直线 l 相交 于点 C，则点 C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 （ ） A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可即可． 【解答】解：∵点 B 和点 B′关于直线 l 对称，且点 C 在 l 上， ∴CB=CB′， 又∵AB′交 l 与 C，且两条直线相交只有一个交点， ∴CB′+CA 最短， 即 CA+CB 的值最小， 将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思 想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边． 故选 D． 【点评】此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般 要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于 某直线的对称点． 4．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和 射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是（ ） 第 13页（共 43页） A．25° B．30° C．35° D．40° 【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题． 【分析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于 点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出 PM=DM，OP=OC， ∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△ OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果． 【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD， 分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对称点为 C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD， ∵△PMN 周长的最小值是 5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即 CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD 是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质； 第 14页（共 43页） 熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 5．如图，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（ ） A． B．2 C．2 D． 【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以 BE 与 AC 的交点即为 P 点．此时 PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边△ABE 的边，BE=AB，由正方形 ABCD 的面积为 12，可求出 AB 的长，从而得出结果． 【解答】解：由题意，可得 BE 与 AC 交于点 P． ∵点 B 与 D 关于 AC 对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE 最小． ∵正方形 ABCD 的面积为 12， ∴AB=2 ． 又∵△ABE 是等边三角形， ∴BE=AB=2 ． 故所求最小值为 2 ． 故选 B． 【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性 质，找到点 P 的位置是解决问题的关键． 第 15页（共 43页） 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 是 AB 上的动点，E 是 BC 上 的动点，则 AE+DE 的最小值为（ ） A．3+2 B．10 C． D． 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】作点 A 关于 BC 的对称点 A′，过点 A′作 A′D⊥AB 交 BC、AB 分别于点 E、 D，根据轴对称确定最短路线问题，A′D 的长度即为 AE+DE 的最小值，利用勾股 定理列式求出 AB，再利用∠ABC 的正弦列式计算即可得解． 【解答】解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A′，过点 A′作 A′D⊥AB 交 BC、AB 分别于点 E、D， 则 A′D 的长度即为 AE+DE 的最小值，AA′=2AC=2×6=12， ∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6， ∴AB= = =10， ∴sin∠BAC= = = ， ∴A′D=AA′•sin∠BAC=12× = ， 即 AE+DE 的最小值是 ． 故选 D． 第 16页（共 43页） 【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了勾股定理，垂线 段最短，锐角三角函数的定义，难点在于确定出点 D、E 的位置． 7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧 MB 的 中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN=1，则△PMN 周长的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理． 【专题】压轴题． 【分析】作 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线 段最短可知 MN′与 AB 的交点 P′即为△PMN 周长的最小时的点，根据 N 是弧 MB 的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三 角形，由此可得出结论． 【解答】解：作 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 MN′，NN′，ON′，ON． ∵N 关于 AB 的对称点 N′， ∴MN′与 AB 的交点 P′即为△PMN 周长的最小时的点， ∵N 是弧 MB 的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°， ∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4， ∴△PMN 周长的最小值为 4+1=5． 故选：B． 第 17页（共 43页） 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般 要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于 某直线的对称点． 8．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点 B 为 劣弧 AN 的中点．P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．2 【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理． 【分析】作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确 定最短路线问题可得 AB′与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，根据在同圆或 等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍求出∠AON=60°，然后求出∠ BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判 断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得 AB′= OA， 即为 PA+PB 的最小值． 【解答】解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 OA、OB、OB′、AB′， 则 AB′与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值=AB′， ∵∠AMN=30°， ∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°， ∵点 B 为劣弧 AN 的中点， ∴∠BON= ∠AON= ×60°=30°， 第 18页（共 43页） 由对称性，∠B′ON=∠BON=30°， ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′= OA= ×1= ， 即 PA+PB 的最小值= ． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆 心角等于圆周角的 2 倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题 的关键． 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，由 AD 是∠BAC 的平分线．得出 PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长 度，运用勾股定理求出 AB，再运用 S△ABC= AB•CM= AC•BC，得出 CM 的值，即 PC+PQ 的最小值． 【解答】解：如图，过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q， 第 19页（共 43页） ∵AD 是∠BAC 的平分线． ∴PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB= = =10． ∵S△ABC= AB•CM= AC•BC， ∴CM= = = ， 即 PC+PQ 的最小值为 ． 故选：C． 【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足 PC+PQ 有最小值 时点 P 和 Q 的位置． 二、填空题 10．如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别 是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四 边形 AEPQ 的面积是 3 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据最短路径的求法，先确定点 E 关于 BC 的对称点 E′，再确定点 A 关 于 DC 的对称点 A′，连接 A′E′即可得出 P，Q 的位置；再根据相似得出相应的线 第 20页（共 43页） 段长从而可求得四边形 AEPQ 的面积． 【解答】解：如图 1 所示 ， 作 E 关于 BC 的对称点 E′，点 A 关于 DC 的对称点 A′，连接 A′E′，四边形 AEPQ 的 周长最小， ∵AD=A′D=3，BE=BE′=1， ∴AA′=6，AE′=4． ∵DQ∥AE′，D 是 AA′的中点， ∴DQ 是△AA′E′的中位线， ∴DQ= AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1， ∵BP∥AA′， ∴△BE′P∽△AE′A′， ∴ = ，即 = ，BP= ，CP=BC﹣BP=3﹣ = ， S 四边形 AEPQ=S 正方形 ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣ AD•DQ﹣ CQ•CP﹣ BE•BP =9﹣ ×3×2﹣ ×1× ﹣ ×1× = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了轴对称，利用轴对称确定 A′、E′，连接 A′E′得出 P、Q 的位 置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要 方法． 11．如图，在边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BE+DE 的最小值为 ． 第 21页（共 43页） 【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质． 【 分 析 】 作 B 关 于 AC 的 对 称 点 B′ ， 连 接 BB′ 、 B′D ， 交 AC 于 E ， 此 时 BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知 B′D 就是 BE+ED 的最小值，故 E 即为所求的点． 【解答】解：作 B 关于 AC 的对称点 B′，连接 BB′、B′D，交 AC 于 E，此时 BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知 B′D 就是 BE+ED 的最小值， ∵B、B′关于 AC 的对称， ∴AC、BB′互相垂直平分， ∴四边形 ABCB′是平行四边形， ∵三角形 ABC 是边长为 2， ∵D 为 BC 的中点， ∴AD⊥BC， ∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD=2 ， 作 B′G⊥BC 的延长线于 G， ∴B′G=AD= ， 在 Rt△B′BG 中， BG= = =3， ∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2， 在 Rt△B′DG 中，B′D= = = ． 故 BE+ED 的最小值为 ． 故答案为： ． 第 22页（共 43页） 【点评】本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三 角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中． 12．如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、 Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 ． 【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题． 【分析】作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′，连接 M′N′，即 为 MP+PQ+QN 的最小值． 【解答】解：作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′， 连接 M′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在 Rt△M′ON′中， M′N′= = ． 故答案为 ． 第 23页（共 43页） 【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的 线段，得到等边三角形是解题的关键． 13．在每个小正方形的边长为 1 的网格中．点 A，B，C，D 均在格点上，点 E、F 分别为线段 BC、DB 上的动点，且 BE=DF． （Ⅰ）如图①，当 BE= 时，计算 AE+AF 的值等于 （Ⅱ）当 AE+AF 取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画 出线段 AE，AF，并简要说明点 E 和点 F 的位置如何找到的（不要求证明） 取 格点 H，K，连接 BH，CK，相交于点 P，连接 AP，与 BC 相交，得点 E，取格点 M，N 连接 DM，CN，相交于点 G，连接 AG，与 BD 相交，得点 F，线段 AE，AF 即为所求． ． 【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理． 【专题】作图题；压轴题． 【分析】（1）根据勾股定理得出 DB=5，进而得出 AF=2.5，由勾股定理得出 AE= ，再解答即可； （2）首先确定 E 点，要使 AE+AF 最小，根据三角形两边之和大于第三边可知， 需要将 AF 移到 AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点 H 使 第 24页（共 43页） ∠ HBC= ∠ ADB ， 其 次 需 要 构 造 长 度 BP 使 BP=AD=4 ， 根 据 勾 股 定 理 可 知 BH= =5 ， 结 合 相 似 三 角 形 选 出 格 点 K ， 根 据 ， 得 BP= BH= =4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到 PE=AF，线段 AP 即为所 求的 AE+AF 的最小值；同理可确定 F 点，因为 AB⊥BC，因此首先确定格点 M 使 DM⊥DB，其次确定格点 G 使 DG=AB=3，此时需要先确定格点 N，同样根据相似 三角形性质得到 ，得 DG= DM= ×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可 得到 AE=GF，故线段 AG 即为所求的 AE+AF 的最小值． 【解答】解：（1）根据勾股定理可得：DB= ， 因为 BE=DF= ， 所以可得 AF= =2.5， 根据勾股定理可得：AE= ，所以 AE+AF= ， 故答案为： ； （2）如图， 首先确定 E 点，要使 AE+AF 最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将 AF 移到 AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点 H 使∠HBC= ∠ADB，其次需要构造长度 BP 使 BP=AD=4，根据勾股定理可知 BH= =5， 结合相似三角形选出格点 K，根据 ，得 BP= BH= =4=DA，易证△ ADF≌△PBE，因此可得到 PE=AF，线段 AP 即为所求的 AE+AF 的最小值；同理可 确定 F 点，因为 AB⊥BC，因此首先确定格点 M 使 DM⊥DB，其次确定格点 G 使 第 25页（共 43页） DG=AB=3，此时需要先确定格点 N，同样根据相似三角形性质得到 ， 得 DG= DM= ×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可得到 AE=GF，故线段 AG 即为 所求的 AE+AF 的最小值． 故答案为：取格点 H，K，连接 BH，CK，相交于点 P，连接 AP，与 BC 相交，得 点 E，取格点 M，N 连接 DM，CN，相交于点 G，连接 AG，与 BD 相交，得点 F， 线段 AE，AF 即为所求． 【点评】此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答． 14．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，BE=1，F 为 AB 上一点， AF=2，P 为 AC 上一点，则 PF+PE 的最小值为 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【专题】压轴题． 【分析】作 E 关于直线 AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为所求，过 F 作 FG ⊥CD 于 G，在 Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出 E′F 的长． 【解答】解：作 E 关于直线 AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为所求， 过 F 作 FG⊥CD 于 G， 在 Rt△E′FG 中， GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4， 所以 E′F= ． 第 26页（共 43页） 故答案为： ． 【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 15．如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分∠AOB， 且 OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 36 ﹣54 ． 【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题． 【分析】设点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D，当点 M、N 在 CD 上时，△PMN 的周长最小，此时△COD 是等边三角形，求得三角形 PMN 和 △COD 的面积，根据四边形 PMON 的面积为： （ S△COD+S△PMN）求得即可． 【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、 OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PC、PD． ∵点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， ∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 D， ∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB， ∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠ AOB=60°， ∴△COD 是等边三角形， ∴CD=OC=OD=6． ∵∠POC=∠POD， ∴OP⊥CD， ∴OQ=6× =3 ， ∴PQ=6﹣3 第 27页（共 43页） 设 MQ=x，则 PM=CM=3﹣x， ∴（3﹣x）2﹣x2=（6﹣3 ）2，解得 x=6 ﹣9， ∵S△PMN= MN×PQ， S△MON= MN×OQ， ∴S 四边形 PMON=S△MON+S△PMN= MN×PQ+ MN×OQ= MN×OP= ×（6 ﹣9）× 6=36 ﹣54． 故答案为 36 ﹣54． 【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答 此题的关键． 16．在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8cm， = = ，M 是 AB 上一动点，CM+DM 的最小值是 8 cm． 【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理． 【分析】作点 C 关于 AB 的对称点 C′，连接 C′D 与 AB 相交于点 M，根据轴对称 确定最短路线问题，点 M 为 CM+DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得 = ，然后求出 C′D 为直径，从而得解． 【解答】解：如图，作点 C 关于 AB 的对称点 C′，连接 C′D 与 AB 相交于点 M， 此时，点 M 为 CM+DM 的最小值时的位置， 第 28页（共 43页） 由垂径定理， = ， ∴ = ， ∵ = = ，AB 为直径， ∴C′D 为直径， ∴CM+DM 的最小值是 8cm． 故答案为：8． 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形， 判断出 CM+DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键． 17．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为边 BC 的中点，点 P 在对角线 BD 上 移动，则 PE+PC 的最小值是 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【专题】计算题． 【分析】要求 PE+PC 的最小值，PE，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 PE，PC 的值，从而找出其最小值求解． 【解答】解：如图，连接 AE， ∵点 C 关于 BD 的对称点为点 A， ∴PE+PC=PE+AP， 根据两点之间线段最短可得 AE 就是 AP+PE 的最小值， ∵正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 边的中点， 第 29页（共 43页） ∴BE=1， ∴AE= = ， 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根 据已知得出两点之间线段最短可得 AE 就是 AP+PE 的最小值是解题关键． 18．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠DAB=60°，E 为 BC 的中点，在对角线 AC 上存在一点 P，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 +1 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 【分析】连接 BD，与 AC 的交点即为使△PBE 的周长最小的点 P；由菱形的性质 得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出 PE=BE，证明△PBE 是等边 三角形，得出 PB=BE=PE=1，即可得出结果． 【解答】解：连结 DE． ∵BE 的长度固定， ∴要使△PBE 的周长最小只需要 PB+PE 的长度最小即可， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 与 BD 互相垂直平分， ∴P′D=P′B， ∴PB+PE 的最小长度为 DE 的长， ∵菱形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，∠DAB=60°， ∴△BCD 是等边三角形， 第 30页（共 43页） 又∵菱形 ABCD 的边长为 2， ∴BD=2，BE=1，DE= ， ∴△PBE 的最小周长=DE+BE= +1， 故答案为： +1． 【点评】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上 的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 19．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为 6 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质． 【专题】计算题． 【分析】连接 BD，DE，根据正方形的性质可知点 B 与点 D 关于直线 AC 对称， 故 DE 的长即为 BQ+QE 的最小值，进而可得出结论． 【解答】解：连接 BD，DE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴点 B 与点 D 关于直线 AC 对称， ∴DE 的长即为 BQ+QE 的最小值， ∵DE=BQ+QE= = =5， ∴△BEQ 周长的最小值=DE+BE=5+1=6． 故答案为：6． 第 31页（共 43页） 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的 关键． 20．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，M、N 分别是 BC、CD 的中点， P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是 5 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质； 菱形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC，求出 CP、PB，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC， 即可得出答案． 【解答】解：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP， 即 Q 在 AB 上， ∵MQ⊥BD， ∴AC∥MQ， ∵M 为 BC 中点， ∴Q 为 AB 中点， ∵N 为 CD 中点，四边形 ABCD 是菱形， 第 32页（共 43页） ∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四边形 BQNC 是平行四边形， ∴NQ=BC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CP= AC=3，BP= BD=4， 在 Rt△BPC 中，由勾股定理得：BC=5， 即 NQ=5， ∴MP+NP=QP+NP=QN=5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的 性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置． 21．在如图所示的平面直角坐标系中，点 P 是直线 y=x 上的动点，A（1，0），B （2，0）是 x 轴上的两点，则 PA+PB 的最小值为 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标性质得出 OA′=1，进而利用勾股定理得出 即可． 【解答】解：如图所示：作 A 点关于直线 y=x 的对称点 A′，连接 A′B，交直线 y=x 于点 P， 第 33页（共 43页） 此时 PA+PB 最小， 由题意可得出：OA′=1，BO=2，PA′=PA， ∴PA+PB=A′B= = ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等 知识，得出 P 点位置是解题关键． 22．菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC=60°，E 是 AD 边中点，点 P 是对角线 BD 上 的动点，当 AP+PE 的值最小时，PC 的长是 ． 【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】作点 E 关于直线 BD 的对称点 E′，连接 AE′，则线段 AE′的长即为 AP+PE 的最小值，再由轴对称的性质可知 DE=DE′=1，故可得出△AE′D 是直角三角形， 由菱形的性质可知∠PDE′= ∠ADC=30°，根据锐角三角函数的定义求出 PE 的长， 进而可得出 PC 的长． 【解答】解：如图所示， 作点 E 关于直线 BD 的对称点 E′，连接 AE′，则线段 AE′的长即为 AP+PE 的最小值， ∵菱形 ABCD 的边长为 2，E 是 AD 边中点， 第 34页（共 43页） ∴DE=DE′= AD=1， ∴△AE′D 是直角三角形， ∵∠ABC=60°， ∴∠PDE′= ∠ADC=30°， ∴PE′=DE′•tan30°= ， ∴PC= = = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数 的定义是解答此题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3），点 B（﹣2，1），在 x 轴上 存在点 P 到 A，B 两点的距离之和最小，则 P 点的坐标是 （﹣1，0） ． 【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质． 【专题】压轴题． 【分析】作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 BC 交 x 轴于 P，则此时 AP+BP 最小， 求出 C 的坐标，设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，把 B、C 的坐标代入求出 k、b， 得出直线 BC 的解析式，求出直线与 x 轴的交点坐标即可． 【解答】解：作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 BC 交 x 轴于 P，则此时 AP+BP 最 第 35页（共 43页） 小， ∵A 点的坐标为（2，3），B 点的坐标为（﹣2，1）， ∴C（2，﹣3）， 设直线 BC 的解析式是：y=kx+b， 把 B、C 的坐标代入得： 解得 ． 即直线 BC 的解析式是 y=﹣x﹣1， 当 y=0 时，﹣x﹣1=0， 解得：x=﹣1， ∴P 点的坐标是（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的 解析式，轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是能找出 P 点，题目具有一定的代 表性，难度适中． 三、解答题 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，3），B（2，4），C（4，0），D （2，﹣3），E（0，﹣4）．写出 D，C，B 关于 y 轴对称点 F，G，H 的坐标，并画 出 F，G，H 点．顺次而平滑地连接 A，B，C，D，E，F，G，H，A 各点．观察你 画出的图形说明它具有怎样的性质，它象我们熟知的什么图形？ 第 36页（共 43页） 【考点】作图-轴对称变换． 【专题】作图题． 【分析】关于 y 轴对称的点的坐标的特点是：纵坐标相等，横坐标互为相反数， 得出 F，G，H 的坐标，顺次连接各点即可． 【解答】解：由题意得，F（﹣2，﹣3），G（﹣4，0），H（﹣2，4）， 这个图形关于 y 轴对称，是我们熟知的轴对称图形． 【点评】本题考查了轴对称作图的知识，解答本题的关键是掌握关于 y 轴对称的 点的坐标的特点，及轴对称图形的特点． 25．如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸中，有线段 AB 和 直线 MN，点 A，B，M，N 均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画四边形 ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使 四边形 ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形，点 A 的对称点为点 D，点 B 的对称点为点 C； （2）请直接写出四边形 ABCD 的周长． 第 37页（共 43页） 【考点】作图-轴对称变换；勾股定理． 【分析】（1）根据四边形 ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形，分别得出 对称点画出即可； （2）根据勾股定理求出四边形 ABCD 的周长即可． 【解答】解；（1）如图所示： （2）四边形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD= +2 + +3 =2 +5 ． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及轴对称图形的作法，根据已知得出 A，B 点关于 MN 的对称点是解题关键． 26．在图示的方格纸中 （1）作出△ABC 关于 MN 对称的图形△A1B1C1； （2）说明△A2B2C2 是由△A1B1C1 经过怎样的平移得到的？ 第 38页（共 43页） 【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换． 【专题】作图题． 【分析】（1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于 MN 的对称点 A1、B1、C1 的位 置，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质结合图形解答． 【解答】解：（1）△A1B1C1 如图所示； （2）向右平移 6 个单位，再向下平移 2 个单位（或向下平移 2 个单位，再向右 平移 6 个单位）． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结 构准确找出对应点的位置以及变化情况是解题的关键． 27．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，四边形 ABCD 的四个顶点都在 小正方形的顶点上，点 E 在 BC 边上，且点 E 在小正方形的顶点上，连接 AE． 第 39页（共 43页） （1）在图中画出△AEF，使△AEF 与△AEB 关于直线 AE 对称，点 F 与点 B 是对 称点； （2）请直接写出△AEF 与四边形 ABCD 重叠部分的面积． 【考点】作图-轴对称变换． 【专题】作图题． 【分析】（1）根据 AE 为网格正方形的对角线，作出点 B 关于 AE 的对称点 F，然 后连接 AF、EF 即可； （2）根据图形，重叠部分为两个直角三角形的面积的差，列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△AEF 如图所示； （2）重叠部分的面积= ×4×4﹣ ×2×2 =8﹣2 =6． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并观察出 AE 为网 格正方形的对角线是解题的关键． 28．如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4），抛物线与 y 轴交于点 B（0，3），与 x 轴交于 C、D 两点，点 P 是 x 轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标． 第 40页（共 43页） 【考点】轴对称-最短路线问题；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】数形结合． 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式 y=a（x﹣1）2+4，然后把点 B 的坐标代入求 出 a 的值，即可得解； （2）先求出点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标，连接 AB′与 x 轴相交，根据轴对称 确定最短路线问题，交点即为所求的点 P，然后利用待定系数法求一次函数解析 式求出直线 AB′的解析式，再求出与 x 轴的交点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为 A（1，4）， ∴设抛物线的解析式 y=a（x﹣1）2+4， 把点 B（0，3）代入得，a+4=3， 解得 a=﹣1， ∴抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣1）2+4； （2）点 B 关于 x 轴的对称点 B′的坐标为（0，﹣3）， 由轴对称确定最短路线问题，连接 AB′与 x 轴的交点即为点 P， 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 则 ， 解得 ， ∴直线 AB′的解析式为 y=7x﹣3， 令 y=0，则 7x﹣3=0， 解得 x= ， 所以，当 PA+PB 的值最小时的点 P 的坐标为（ ，0）． 第 41页（共 43页） 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式， 待定系数法求一次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌 握点 P 的确定方法是解题的关键． 29．作图题：（不要求写作法）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，其中，点 A、 B、C 的坐标分别为 A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）． （1）作△ABC 关于直线 l：x=﹣1 对称的△A1B1C1，其中，点 A、B、C 的对应点 分别为 A1、B1、C1； （2）写出点 A1、B1、C1 的坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【专题】作图题． 【分析】（1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A1、B1、C1 的位 置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出点 A1、B1、C1 的坐标即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1 如图所示； 第 42页（共 43页） （2）A1（0，1），B1（2，5），C1（3，2）． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点 的位置是解题的关键． 30．如图，在边长为 1 的小正方形组成的 10×10 网格中（我们把组成网格的小 正方形的顶点称为格点），四边形 ABCD 在直线 l 的左侧，其四个顶点 A、B、C、 D 分别在网格的格点上． （1）请你在所给的网格中画出四边形 A′B′C′D′，使四边形 A′B′C′D′和四边形 ABCD 关于直线 l 对称，其中点 A′、B′、C′、D′分别是点 A、B、C、D 的对称点； （2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段 A′B′的长度． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）根据轴对称的性质，找到各点的对称点，顺次连接即可； （2）结合图形即可得出线段 A′B′的长度． 第 43页（共 43页） 【解答】解：（1）所作图形如下： ． （2）A'B'= = ． 【点评】本题考查了轴对称变换的知识，要求同学们掌握轴对称的性质，能用格 点三角形求线段的长度．