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- 2021-11-01 发布
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2019-2020学年浙江省宁波市鄞州区八年级(下)期末数学试卷
一.选择题(共10小题)
1.根式中,x的取值范围是( )
A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3
2.平面直角坐标系内,点P(2,﹣3)关于原点对称点的坐标是( )
A.(3,﹣2) B.(2,3) C.(2,﹣3) D.(﹣2,3)
3.如图,直线l1∥l2,线段AB的端点A,B分别在直线11和12上,AB=6.点C在直线12上,∠ABC=30°,则这两条直线的距离是( )
A.3 B.6 C.2 D.3
4.如图,大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1:2,即BC:AC=1:2,若坡面AB的水平宽度AC为12米,则斜坡AB的长为( )
A.4米 B.6米 C.6米 D.24米
5.把一元二次方程(x+3)2=x(3x﹣1)化成一般形式,正确的是( )
A.2x2﹣7x﹣9=0 B.2x2﹣5x﹣9=0
C.4x2+7x+9=0 D.2x2﹣6x﹣10=0
6.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,若AD⊥BD,AB=10,BC=6,则对角线AC的长是( )
A.4 B.12 C.2 D.4
7.若反比例函数y=﹣的图象上有3个点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且满足x1<x2<0<x3,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2 C.y1<y2<y3 D.y2<y1<y3
8.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”,应假设( )
A.四边形中所有角都是锐角
B.四边形中至多有一个角是钝角或直角
C.四边形中没有一个角是锐角
D.四边形中所有角都是钝角或直角
9.如图,平行四边形ABCD的一边AB∥y轴,顶点B在x轴上,顶点A,C在双曲线y1=(k1>0,x>0)上,顶点D在双曲线y2=(k2>0,x>0)上,其中点C的坐标为(3,1),当四边形ABCD的面积为时,k2的值是( )
A.7.5 B.9 C.10.5 D.21
10.如图,正方形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,连结GH,取GH的中点P,连结EP,FP,则下列说法正确的是( )
A.PE=GH
B.四边形BEPF的周长是△GDH周长的3倍
C.∠EPF=60°
D.四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍
二.填空题(共6小题)
11.化简:= .
12.一个多边形的内角和为900°,则这个多边形的边数为 .
13.若m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式2m﹣4m2的值为 .
14.某校学生的数学期末总评成绩由平时成绩、期中成绩、期末成绩3个部分组成,各部分比例如图所示.小明这三项的成绩依次是90分,85分,92分,则小明的期末总评成绩是 .
15.如图,等腰△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点D,点P分别在AB,BC上运动,则线段AP和线段DP之和的最小值是 .
16.如图,直线y=mx+n与双曲线y=(k>0,x>0)相交于点A(2,4),与y轴相交于点B(0,2),点C在该反比例函数的图象上运动,当△ABC的面积超过5时,点C的横坐标t的取值范围是 .
三.解答题(共7小题)
17.化简:
(1)3﹣(+)
(2)(﹣)÷.
18.解方程:(1)(x﹣3)2﹣4=0.
(2)x2+5=3(x+2).
19.如图所示的港珠澳大桥是目前桥梁设计中广泛采用的斜拉桥,它用粗大的钢索将桥面拉住,为检测钢索的抗拉强度,桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的厂方各随机选取5根钢索进行抗拉强度的检测,数据统计如下(单位:百吨)
甲、乙两厂钢索抗拉强度检测统计表
钢索
1
2
3
4
5
平均数
中位数
方差
甲厂
10
11
9
10
12
10.4
10
1.04
乙厂
10
8
12
7
13
a
b
c
(1)求乙厂5根钢索抗拉强度的平均数a(百吨)、中位数b(百吨)和方差c(平方百吨).
(2)桥梁建设方决定从抗拉强度的总体水平和稳定性来决定钢索的质量,问哪一家的钢索质量更优?
20.已知反比例函数的图象的一支如图所示,它经过点A(﹣4,2).
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)补画这个反比例函数图象的另一支;
(3)经过点A的直线y=﹣2x+m与双曲线的另一个交点为B,连结OA,OB,求△AOB的面积.
21.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别与AD、BC相交于点M、N,与BD相交于点O,连结BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若MD=2AM,BD=8,求矩形ABCD的周长.
22.某一农家计划用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子ABCD,其中AD边利用已有的一堵墙,其余三边用篱笆围起来.现已知墙的长为7.9m,可以选用的篱笆总长为11m.
(1)若取矩形园子的边长都是整数米,问一共有哪些围法?
(2)当矩形园子的边AB和BC分别是多长时,11m长的篱笆恰好用完?
23.如图1,凸四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD,若顶点B,C,D中存在某点到对角线的距离等于该对角线的一半,则称这个四边形为“距离和谐四边形”,这条对角线称为和谐对角线.如点C到对角线BD的距离是BD的一半,则四边形ABCD是距离和谐四边形,BD称为和谐对角线.显然,正方形ABCD属于距离和谐四边形,它的两条对角线都是和谐对角线.
(1)如图2,在4×4的网格中,点A,B,D都是网格的格点,请你确定所有格点C,使得四边形ABCD是以BD为和谐对角线的距离和谐四边形;
(2)如图1,距离和谐四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD=3,
①若BD为和谐对角线,求线段AC的取值范围;
②若AC为和谐对角线,记AC的长度值为x,四边形ABCD的面积值为s,当s=2x时,求x的值.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.根式中,x的取值范围是( )
A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3
【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.
【解答】解:根据题意得:x﹣3≥0,
解得:x≥3.
故选:B.
2.平面直角坐标系内,点P(2,﹣3)关于原点对称点的坐标是( )
A.(3,﹣2) B.(2,3) C.(2,﹣3) D.(﹣2,3)
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数”解答.
【解答】解:根据关于原点对称的点的坐标的特点,
∴点A(2,﹣3)关于原点对称的点的坐标是(﹣2,3).
故选:D.
3.如图,直线l1∥l2,线段AB的端点A,B分别在直线11和12上,AB=6.点C在直线12上,∠ABC=30°,则这两条直线的距离是( )
A.3 B.6 C.2 D.3
【分析】如图,过点A作AH⊥BC于H.解直角三角形求出AH即可.
【解答】解:如图,过点A作AH⊥BC于H.
在Rt△ABH中,∵∠AHB=90°,AB=6,∠ABH=30°,
∴AH=AB=3,
故选:A.
4.如图,大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1:2,即BC:AC=1:2,若坡面AB的水平宽度AC为12米,则斜坡AB的长为( )
A.4米 B.6米 C.6米 D.24米
【分析】根据坡面AB的坡比以及AC的值,求出BC,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长.
【解答】解:∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1:2,AC=12米,
∴,
∴BC=6,
∴AB===6(米).
故选:C.
5.把一元二次方程(x+3)2=x(3x﹣1)化成一般形式,正确的是( )
A.2x2﹣7x﹣9=0 B.2x2﹣5x﹣9=0
C.4x2+7x+9=0 D.2x2﹣6x﹣10=0
【分析】方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开,右边按照整式乘法展开,然后通过合并同类项将原方程化为一般形式.
【解答】解:由原方程,得
x2+6x+9=3x2﹣x,
即2x2﹣7x﹣9=0,
故选:A.
6.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,若AD⊥BD,AB=10,BC=6,则对角线AC的长是( )
A.4 B.12 C.2 D.4
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC=6,利用勾股定理得出BD=8,进而利用勾股定理解答即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=6,
∵AD⊥BD,AB=10,
∴BD=,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=4,
∴OA=,
∴AC=2OA=4,
故选:D.
7.若反比例函数y=﹣的图象上有3个点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且满足x1<x2<0<x3,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y3<y2<y1 B.y3<y1<y2 C.y1<y2<y3 D.y2<y1<y3
【分析】先根据反比例函数y=﹣的系数﹣3<0判断出函数图象在二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,再根据x1<x2<0<x3,判断出y1、y2、y3的大小.
【解答】解:∵反比例函数y=﹣中,k=﹣3<0,
∴此函数的图象在二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大,
∵x1<x2<0<x3,
∴y1<y2>0、y3<0,
∴y3<y1<y2,
故选:B.
8.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”,应假设( )
A.四边形中所有角都是锐角
B.四边形中至多有一个角是钝角或直角
C.四边形中没有一个角是锐角
D.四边形中所有角都是钝角或直角
【分析】反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立.
【解答】解:用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设:四边形中每个角都是锐角.
故选:A.
9.如图,平行四边形ABCD的一边AB∥y轴,顶点B在x轴上,顶点A,C在双曲线y1=(k1>0,x>0)上,顶点D在双曲线y2=(k2>0,x>0)上,其中点C的坐标为(3,1),当四边形ABCD的面积为时,k2的值是( )
A.7.5 B.9 C.10.5 D.21
【分析】根据待定系数法求得y1=,设A(m,),根据题意得(3﹣m)•=,解得A的坐标,根据平行四边形的性质得出D的坐标,代入y2=(k2>0,x>0)即可求得k2的值.
【解答】解:∵C(3,1)在双曲线y1=(k1>0,x>0)上,
∴k1=3×1=3,
∴y1=,
设A(m,),
∵平行四边形ABCD的面积为,
∴(3﹣m)•=,
解得m=,
∴A(,),
∵平行四边形ABCD的一边AB∥y轴,顶点B在x轴上,
∴D(3,),
∵点D在双曲线y2=(k2>0,x>0)上,
∴k2=3×=10.5,
故选:C.
10.如图,正方形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,连结GH,取GH的中点P,连结EP,FP,则下列说法正确的是( )
A.PE=GH
B.四边形BEPF的周长是△GDH周长的3倍
C.∠EPF=60°
D.四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍
【分析】连接AC,BD,EH,EF,FG,根据三角形中位线定理得到EF∥AC,EF=AC,HG∥AC,HG=AC,推出四边形EFGH是正方形,得到HP=HG=EH,设EH=HG=EF=FG=2x,根据勾股定理得到PE=PF=x,求得PE=GH,故A错误;得到AE=BE=x,求得四边形BEPF的周长=(2+2)x,△GDH周长=(2+2)x,故B错误;根据三角函数的定义得到∠EPB≠30°,求得∠EPF≠60°,故C错误;推出PB=3PD,求得四边形BEPF的面积=EF•PB=EF•PD,△GDH面积=EF•PD,于是得到结论.
【解答】解:连接AC,BD,EH,EF,FG,
∵点E,F,G,H分别是各边的中点,
∴EF,HG是△ABC和△ADC的中位线,
∴EF∥AC,EF=AC,HG∥AC,HG=AC,
∴EF∥HG,EF=HG,
同理,EH=FG,
∵正方形ABCD中,AC=BD,AC⊥BD,
∴四边形EFGH是正方形,
∵点P是GH的中点,
∴HP=HG=EH,
∴设EH=HG=EF=FG=2x,
∴HP=PG=x,
∴PE=PF=x,
∴PE=GH,故A错误;
∵AE=BE=AH,∠BAD=90°,
∴AE=BE=x,
∴四边形BEPF的周长=(2+2)x,△GDH周长=(2+2)x,
∵3×(2+2)x≠(2+2)x,故B错误;
∵sin∠EPB==,
∴∠EPB≠30°,
∴∠EPF≠60°,故C错误;
∵OB=OD,
∵HG∥AC,AH=DH,
∴PD=PO,
∴PB=3PD,
∴四边形BEPF的面积=EF•PB=EF•PD,△GDH面积=EF•PD,
∴四边形BEPF的面积是△GDH面积的3倍,故D正确.
故选:D.
二.填空题(共6小题)
11.化简:= 2 .
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:=2,
故答案为:2.
12.一个多边形的内角和为900°,则这个多边形的边数为 7 .
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°,列出方程,解出即可.
【解答】解:设这个多边形的边数为n,则有
(n﹣2)×180°=900°,
解得:n=7,
∴这个多边形的边数为7.
故答案为:7.
13.若m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根,则代数式2m﹣4m2的值为 ﹣2 .
【分析】把x=m代入方程2x2﹣x﹣1=0求出2m2﹣m=1把2m﹣4m2化成﹣2(2m2﹣m),代入求出即可.
【解答】解:∵m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根,
∴把x=m代入方程2x2﹣x﹣1=0得:2m2﹣m﹣1=0,
∴2m2﹣m=1,
∴2m﹣4m2=﹣2(2m2﹣m)=﹣2×1=﹣2,
故答案为:﹣2.
14.某校学生的数学期末总评成绩由平时成绩、期中成绩、期末成绩3个部分组成,各部分比例如图所示.小明这三项的成绩依次是90分,85分,92分,则小明的期末总评成绩是 89.3分 .
【分析】根据加权平均数的定义计算可得.
【解答】解:小明的期末总评成绩是90×30%+85×30%+92×40%=89.3(分),
故答案为:89.3分.
15.如图,等腰△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点D,点P分别在AB,BC
上运动,则线段AP和线段DP之和的最小值是 3 .
【分析】作点A关于直线BC的对称点E,连接AE交BC于点H,过E作ED⊥AB于D交BC于P,则此时,线段AP和线段DP之和的值最小,根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:作点A关于直线BC的对称点E,连接AE交BC于点H,过E作ED⊥AB于D交BC于P,
则此时,线段AP和线段DP之和的值最小,
∵AB=AC=6,∠BAC=120°,AE⊥BC,
∴∠B=30°,∠BAE=60°,
∴AH=AB=3,
∴AE=2AH=6,
∴DE=AE=3,
∴线段AP和线段DP之和的最小值是3,
故答案为:3.
16.如图,直线y=mx+n与双曲线y=(k>0,x>0)相交于点A(2,4),与y轴相交于点B(0,2),点C在该反比例函数的图象上运动,当△ABC的面积超过5时,点C的横坐标t的取值范围是 t>或0<t<1 .
【分析】过C作CD∥y轴,交直线AB于点D.把A(2,4)代入y=,求出k=8,得到反比例函数的解析式,再把A(2,4),B(0,2)代入y=mx+n,求出直线AB的解析式为y=x+2.设C(t,),则D(t,t+2).由三角形的面积公式可得S△ABC=CD×2=CD=|t+2﹣|,根据△ABC的面积超过5列出不等式|t+2﹣|>5,解不等式即可.
【解答】解:如图,过C作CD∥y轴,交直线AB于点D.
∵双曲线y=(k>0,x>0)过点A(2,4),
∴k=2×4=8,
∴y=.
∵直线y=mx+n过点A(2,4),B(0,2),
∴,解得,
∴直线AB的解析式为y=x+2.
设C(t,),则D(t,t+2),CD=|t+2﹣|.
∵S△ABC=CD×2=CD=|t+2﹣|,
∴当△ABC的面积超过5时,|t+2﹣|>5,
∴t+2﹣>5或t+2﹣<﹣5.
①如果t+2﹣>5,那么>0,
∵t>0,
∴t2﹣3t﹣8>0,
∴t>或t<(舍去);
②如果t+2﹣<﹣5,那么<0,
∵t>0,
∴t2+7t﹣8<0,
∴﹣8<t<1,
∴0<t<1.
综上所述,当△ABC的面积超过5时,点C的横坐标t的取值范围是t>或0<t<1.
故答案为:t>或0<t<1.
三.解答题(共7小题)
17.化简:
(1)3﹣(+)
(2)(﹣)÷.
【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;
(2)根据二次根式的除法法则运算.
【解答】解:(1)原式=3﹣2﹣
=;
(2)原式=﹣
=﹣2.
18.解方程:(1)(x﹣3)2﹣4=0.
(2)x2+5=3(x+2).
【分析】(1)利用直接开平方法求解可得;
(2)整理为一般式,再利用公式法求解可得.
【解答】解:(1)∵(x﹣3)2﹣4=0,
∴(x﹣3)2=4,
则x﹣3=2或x﹣3=﹣2,
解得x1=5,x2=1;
(2)将方程整理为一般式,得:x2﹣3x﹣1=0,
∵a=1,b=﹣3,c=﹣1,
∴△=(﹣3)2﹣4×1×(﹣1)=13>0,
则x=,
即x1=,x2=.
19.如图所示的港珠澳大桥是目前桥梁设计中广泛采用的斜拉桥,它用粗大的钢索将桥面拉住,为检测钢索的抗拉强度,桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的厂方各随机选取5根钢索进行抗拉强度的检测,数据统计如下(单位:百吨)
甲、乙两厂钢索抗拉强度检测统计表
钢索
1
2
3
4
5
平均数
中位数
方差
甲厂
10
11
9
10
12
10.4
10
1.04
乙厂
10
8
12
7
13
a
b
c
(1)求乙厂5根钢索抗拉强度的平均数a(百吨)、中位数b(百吨)和方差c(平方百吨).
(2)桥梁建设方决定从抗拉强度的总体水平和稳定性来决定钢索的质量,问哪一家的钢索质量更优?
【分析】(1)根据平均数、中位数和方差的计算公式分别进行解答即可;
(2)从平均数、中位数和方差的意义分别进行分析,即可得出甲厂的钢索质量更优.
【解答】解:(1)a=(10+8+12+7+13)÷5=10(百吨);
把这些数从小到大排列为:7,8,10,12,13,最中间的数是10,则中位数b=10百吨;
c=[(10﹣10)2+(8﹣10)2+(12﹣10)2+(7﹣10)2+(13﹣10)2]=5.2(平方百吨);
(2)甲厂的钢索质量更优,
从平均数来看,甲厂的平均数是10.4百吨,而乙厂的平均数是10百吨,所以甲厂高于乙厂;
从中位数来看甲厂和乙厂一样;
从方差来看,甲厂的方差是1.04平方百吨,而乙厂的方差是5.2平方百吨,所以甲厂的方差小于乙厂的方差,所以甲厂更稳定;
所以从总体来看甲厂的钢索质量更优.
20.已知反比例函数的图象的一支如图所示,它经过点A(﹣4,2).
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)补画这个反比例函数图象的另一支;
(3)经过点A的直线y=﹣2x+m与双曲线的另一个交点为B,连结OA,OB,求△AOB的面积.
【分析】(1)把A点的坐标代入解析式,即可求出答案;
(2)根据反比例函数的对称性画出另一支即可;
(3)待定系数法求得直线解析式,即可求得与y轴的交点,然后根据三角形面积公式求得即可.
【解答】解:(1)设反比例函数的解析式为y=,
∵反比例函数的图象经过点A(﹣4,2),
∴2=,
解得:k=﹣8.
∴这个反比例函数的解析式为y=﹣;
(2)补画这个反比例函数图象如图:
(3)∵直线y=﹣2x+m经过A(﹣4,2),
∴2=8+m,
解得m=﹣6,
∴直线为y=﹣2x﹣6,
解得或,
∴直线y=﹣2x+m与双曲线的另一个交点B(1,﹣8),
由直线为y=﹣2x﹣6可知直线交y轴于(0,﹣6),
∴S△AOB=×(4+1)=15.
21.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别与AD、BC相交于点M、N,与BD相交于点O,连结BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若MD=2AM,BD=8,求矩形ABCD的周长.
【分析】(1)由“ASA”可证△DMO≌△BNO,可得OM=ON,由菱形的判定可证平行四边形BMDN是菱形;
(2)设AM长为x,则MB=DM=2x,AD=3x,由勾股定理可求AB=x,由勾股定理可求x的值,即可求解.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC,∠A=90°,
∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,
∵在△DMO和△BNO中
,
∴△DMO≌△BNO(ASA),
∴OM=ON,
∵OB=OD,
∴四边形BMDN是平行四边形,
∵MN⊥BD,
∴平行四边形BMDN是菱形;
(2)∵四边形BMDN是菱形,
∴MB=MD,
设AM长为x,则MB=DM=2x,AD=3x,
在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2,
即AB=x,
∵BD2=AB2+AD2,
∴64=3x2+9x2,
∴x=,
∴AD=3x=4,AB=x=4,
∴矩形ABCD的周长=2×(4+4)=8+8,
答:矩形ABCD的周长为8+8.
22.某一农家计划用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子ABCD,其中AD边利用已有的一堵墙,其余三边用篱笆围起来.现已知墙的长为7.9m,可以选用的篱笆总长为11m.
(1)若取矩形园子的边长都是整数米,问一共有哪些围法?
(2)当矩形园子的边AB和BC分别是多长时,11m长的篱笆恰好用完?
【分析】(1)设园子的长为ym,宽为xm,根据墙长7.9m,围成矩形的园子面积为12m2,列出方程和不等式,求出x,y的值,即可得出答案;
(2)根据(1)得出的结果,选取宽为4m时,长为3m的篱笆正好使11m长的篱笆恰好用完.
【解答】解:(1)设园子的长为ym,宽为xm,根据题意得:
,
∵园子的长、宽都是整数米,
∴x=6,y=2或x=4,y=3或x=3,y=4,
∴一共有3种围法:
宽为2m时,长为6m,
宽为3m时,长为4m,
宽为4m时,长为3m;
(2)∵要使11m长的篱笆恰好用完,则2x+y=11,
∴x=4,y=3,
∴要使11m长的篱笆恰好用完,应使宽为4m,长为3m.
23.如图1,凸四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD,若顶点B,C,D中存在某点到对角线的距离等于该对角线的一半,则称这个四边形为“距离和谐四边形”,这条对角线称为和谐对角线.如点C到对角线BD的距离是BD的一半,则四边形ABCD是距离和谐四边形,BD称为和谐对角线.显然,正方形ABCD属于距离和谐四边形,它的两条对角线都是和谐对角线.
(1)如图2,在4×4的网格中,点A,B,D都是网格的格点,请你确定所有格点C,使得四边形ABCD是以BD为和谐对角线的距离和谐四边形;
(2)如图1,距离和谐四边形ABCD中,∠A=90°,AB=AD=3,
①若BD为和谐对角线,求线段AC的取值范围;
②若AC为和谐对角线,记AC的长度值为x,四边形ABCD的面积值为s,当s=2x时,求x的值.
【分析】(1)如图2中,根据要求作出点C,满足条件的点C有3个,如图所示.
(2)①如图1中,由题意四边形ABCD是距离和谐四边形,推出点C在直线l上,直线l与直线BD之间的距离为,设AD交直线l于T,过点A作AR⊥CT于R.可得AR=3,AT=6,由此即可得出结论.
②如图3中,不妨假设点D到直线AC的距离等于AC=x,过点D作DT⊥AC于T,过点B作BH⊥AC于H.利用面积关系构建方程求出x即可.
【解答】解:(1)如图2中,满足条件的点C有3个,如图所示.
(2)①如图1中,
如图,∵AB=AD=3,∠DAB=90°,
∴BD=3,
∵BD为和谐对角线,
∴点C到直线BD的距离为,
∵四边形ABCD是距离和谐四边形,
∴点C在直线l上,直线l与直线BD之间的距离为,
设AD交直线l于T,过点A作AR⊥CT于R.
∵AR=3,AT=6,
观察图象可知3≤AC<6.
②如图3中,不妨假设点D到直线AC的距离等于AC=x,过点D作DT⊥AC于T
,过点B作BH⊥AC于H.
∵AB=AD=3,∠ATD=∠AHB=∠DAB=90°,
∴∠DAT+∠BAH=90°,∠BAH+∠ABH=90°,
∴∠DAT=∠ABH,
∴△ATD≌△BHA(AAS),
∴AH=DT=x,BH=AT=,
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=2x,
∴×x×(x+)=2x,
整理得:x2﹣8x+14=0,
解得x=4±.
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