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- 2021-11-01 发布
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一次函数解析式的求法
一、求解析式方法
1. 根据图象求解析式,根据图象中点的坐标,代入求值。如图:求这两条直线的解析式?
答案:,。
2. 根据表格信息确定函数解析式,如:小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
x
-2
-1
0
1
y
3
1
0
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看,该空格里原来填的数是多少?
答案:2。
3. 由实际问题列出二元一次方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系,如:
在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量 x(千克)的一次函数。一根弹簧,当不挂物体时,弹簧长14.5厘米;当所挂物体的质量为3千克时,弹簧长16厘米。请写出 y 与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
答案:,当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米。
4. 用待定系数法求函数解析式。
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的示数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程。
二、求函数解析式的一般步骤
第一步(设):
设出函数解析式的一般形式y=kx+b(k≠0);
第二步(列):
根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元一次方程组;
第三步(解):
通过列方程或方程组求出待定系数k、b的值;
9
第四步(写):
把求得的k、b的值代入y=kx+b,写出该函数的解析式。
总结:1. 注意自变量与函数值之间的对应关系,不同增减性可能产生不同函数值。
2. 利用图象求解析式时,要选取恰当的点,从而求出解析式。
3. 解好方程组是求函数关系式的关键。
例题1 已知一次函数y=kx+b(k≠0),当-3≤x≤1时,对应y的值为1≤y≤9。则k•b的值( )
A. 14 B. -6 C. -6或21 D. -6或14
解析:根据图象的增减性得出两种情况:①过点(-3,1)和(1,9);②过点(-3,9)和(1,1)分别代入解析式,求出即可。
答案:解:分为两种情况:设y=kx+b,
①过点(-3,1)和(1,9)代入得:则有,解之得,∴k•b=14;
②过点(-3,9)和(1,1)代入得:则有,解之得,
∴k•b=-6,综上:k•b=14或-6。故选D。
点拨:此类题目需利用y随x的变化规律,确定自变量与函数的对应关系,然后结合题意,利用方程组解决问题。
例题2 如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),B(4,2),在x轴上取一点P,使点P到点A和点B的距离之和最小,则点P的坐标是( )
A. (-2,0)B. (4,0)C. (2,0)D. (0,0)
解析:作点A关于x轴的对称点C,连接AC交x轴于点D,连接BC交x轴于点P,连接AP,此时点P到点A和点B的距离之和最小,求出点C的坐标,设直线CB的解析式是y=kx+b,把点C、B的坐标代入y=kx+b,求出解析式是y=x-2,把y=0代入y=x-2,求出x即可。
9
答案:解:作点A关于x轴的对称点C,连接AC交x轴于点D,连接BC交x轴于点P,连接AP,则此时AP+PB最小,即此时点P到点A和点B的距离之和最小,
∵A(-2,4),∴C(-2,-4),设直线CB的解析式是y=kx+b,把点C、B的坐标代入得:,解得:,∴y=x-2,把y=0代入得:0=x-2,x=2,即P的坐标是(2,0),
故选C。
点拨:解题关键是能画出P的位置
利用图象与坐标轴交点求图形面积
例题 已知:如图,A点坐标为(−,0),B点坐标为(0,3)。
(1)求过A、B两点的直线解析式;
(2)过B点作直线BP与x轴交于点P,且使OP=2OA,求△ABP的面积。
解析:(1)将点A、B的坐标分别代入直线方程y=ax+b(a≠0)列出关于a、b的二元一次方程组,通过解该方程组即可求得a、b的值; (2)根据题意求得点P的坐标,然后由三角形的面积公式求得△ABP的面积。
答案:解:(1)设过A,B两点的直线解析式为y=ax+b(a≠0),
则根据题意,得,解得,,
则过A、B两点的直线解析式为y=2x+3;
(2)设P点坐标为(x,0),依题意得x=±3,
所以P点坐标分别为P1(3,0),P2(-3,0)。
=×(+3)×3=,=×(3-)×3=,
9
所以,△ABP的面积为或。
(答题时间:45分钟)
一、选择题
1. 已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为( )
A. B. ± C. D. ±
2. 如图,四边形OABC是矩形,点O是平面直角坐标系的原点,点A、C分别在x、y轴上,点B的坐标是(3,4),则直线AC的函数表达式是( )
A. y=−x+3 B. y=−x+4 C. y=− x+3 D. y=−x+4
*3. 若一个函数的图象是经过原点的直线,并且这条直线过点(-3,2a)与点(−a,),则这个函数的解析式为( )
A. y=x或y=−x B. y=x或y=-x
C. y=x或y=−x D. y=x或y=−x
**4. 如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为(6,4)。若直线l经过点(1,0),且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是( )
A. y=x+1 B. y=x+1 C. y=3x-3 D. y=x-1
**5. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,则一次函数的解析式为( )
A. y=x+2 B. y=-x+2 C. y=x+2或y=-x+2 D. y=-x+2或y=x-2
二、填空题
*6. 一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5,则k的值为 。
**7. 如图,已知矩形ABCD,AB在y轴上,AB=2,BC=
9
3,点A的坐标为(0,1),在AD边上有一点E(2,1),过点E的直线与BC交于点F。若EF平分矩形ABCD的面积,则直线EF的解析式为 。
**8. 如图,点A,B分别在一次函数y=x,y=8x的图象上,其横坐标分别为a、b(a>0,b>0)。设直线AB的解析式为y=kx+m,若整数时,k也是整数,满足条件的k值共有__________个。
三、解答题
*9. 已知函数y=kx+b的图象经过A(-2,-1)、B(1,3)两点,分别交x、y轴于点C、D。(1)求该函数的解析式;(2)求△AOB的面积。
**10. 已知直线y=kx+b经过点M(3,)、N(0,)。(1)求直线MN的解析式;(2)当y>0时,求x的取值范围;(3)我们将横坐标、纵坐标均为整数的点称为整数点。直接写出此直线与两坐标轴围成的三角形的内部(不包含边界)的整数点的坐标。
**11. 如图,已知一次函数y=-x+b的图象经过点A(2,3),AB⊥x轴,垂足为B,连接OA。(1)求此一次函数的解析式;(2)设点P为直线y=-x+b上的一点,且在第一象限内,经过P作x轴的垂线,垂足为Q。若S△POQ=S△AOB,求点P的坐标。
9
9
1. B 解析:∵直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),∴将(k,3)和(1,k),代入解析式y=kx+b得:,解得:,则k的值为:±。故选B。
2. B 解析:∵点B的坐标是(3,4),∴可得A(3,0),C(0,4),设AC的函数表达式是y=kx+b,则,解得,∴函数关系式为:y=-x+4。故选B。
3. D 解析:∵一个函数的图象是经过原点的直线,∴设一次函数的解析式是y=kx,把点(-3,2a)与点(−a,)代入得:,由①得:a=-k③,把③代入②得:=-×(-k)k,k2=,k=±,∴y=x或y=-x,故选D。
4. D 解:设D(1,0),∵直线l经过点D(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,∴OD=BE=1,∵顶点B的坐标为(6,4),∴E(5,4)。设直线l的函数解析式是y=kx+b,∵图象过D(1,0),E(5,4),∴,解得:,∴直线l的函数解析式是y=x-1。故选D。
5. C 解析:∵一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(0,2),∴b=2,令y=0,则x=-,∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2,∴×2×|-|=2,即||=2,解得:k=±1,则一次函数的解析式是y=x+2或y=-x+2。故选C。
6. 或− 解析:在y=kx+3中令x=0,得y=3,则函数与y轴的交点坐标是:(0,3);设函数与x轴的交点坐标是(a,0),根据勾股定理得到a2+32=25,解得a=±4;当a=4时,把(4,0)代入y=kx+3,得k=-;当a=-4时,把(-4,0)代入y=kx+3,得k=。故k的值为或−。
7. y=2x-3 解析:∵AB=2,点A的坐标为(0,1),∴OB=1,∴点B坐标为(0,-1),∵四边形ABCD是矩形,∴AD=CB=3,∵点E(2,1),∴AE=2,ED=AD-AE=1,∵EF平分矩形ABCD的面积,∴BF=DE,∴点F的坐标为(1,-1),设直线EF的解析式为y=kx+b,则,解得,所以直线EF的解析式为y=2x-3。故答案为y=2x-3。
9
8. 2 解析:当x=a时,y=a;当x=b时,y=8b;∴A、B两点的坐标为A(a,a)、B(b,8b),∴直线AB的解析式为y=kx+m,∴,解得k==+1=+1,∵是整数,k也是整数,∴1-=或,解得b=2a,或b=8a,此时k=15或k=9。所以k值共有15或9两个。故应填2。
9. 解:(1)由题意得,,解得:;所以函数的解析式为:y=x+;(2)由(1)知y=x+,∴当x=0时,y=;当y=0时,x=-,∴OD=,OC=,∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=×(1×+×+×1)=2.5。
10. 解:(1)∵已知直线y=kx+b经过点M(3,)、N(0,),
∴,解得,∴直线MN的解析式为y=x+。(2)∵直线y=x+与x轴的交点坐标为(-,0),且k>0,∴当y>0时,x>;(3)此直线与两坐标轴围成的三角形的内部(不包含边界)的整数点的坐标为(-1,+1),(-2,+1)。
11. 解:(1)∵一次函数y=-x+b的图象经过点A(2,3),∴3=(-
9
)×2+b,解得b=4,故此一次函数的解析式为:y=-x+4;(2)设P(p,d),p>0,∵点P在直线y=-x+4的图象上,∴d=-p+4①,∵S△POQ=S△AOB=××2×3,∴pd=②,①②联立得,,解得,或,∴P点坐标为:(3,)或(5,)。
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