人教版八年级下册数学试题课件-9第十八章18正方形（一） 26页

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AB=AD， ∠BAP=∠DAP, AP=AP， ∴△ABP≌△ADP（SAS）. ∴BP＝DP. （2）∵AB＝AP， ∴∠ABP＝∠APB. 又∵∠BAP＝45°， ∴∠ABP＝67.5°. 8. 如图18-2-71，在正方形ABCD的外侧作等边三 角形ADE，连接BE，CE. （1）求证：BE=CE； （2）求∠BEC的度数. 【B组】 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°. ∵△ADE为等边三角形， ∴ AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°. ∴∠BAE=∠CDE=150°. ∴△BAE≌△CDE（SAS）. ∴BE=CE. （2）解：∵AB=AD,AD=AE,∴AB=AE. ∴∠ABE=∠AEB. 又∵∠BAE=150°,∴∠ABE=∠AEB=15°. 同理可得∠CED=15°. ∴∠BEC=60°－15°×2=30°. 9. （2019天门）如图18-2-72，E，F分别是正 方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF， 过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点 G，连接GF. 求证： （1）AE⊥BF； （2）四边形BEGF是平行四边形. 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°. ∴∠ABE＝∠BCF＝90°. 在△ABE和△BCF中， AB=BC， ∠ABE=∠BCF， BE=CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）. ∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF. ∵EG∥BF， ∴∠CBF＝∠CEG. ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CEG+∠BEA＝90°. ∴AE⊥EG. ∴AE⊥BF. （2）如答图18-2-13，延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP， 则AP＝CE，∠EBP＝90°， ∴∠P＝45°. ∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°. ∴∠P＝∠ECG. 由（1）得∠BAE＝∠CEG， 在△APE和△ECG中， ∠P=∠ECG， AP=CE， ∠BAE=∠CEG， ∴△APE≌△ECG（ASA）. ∴AE＝EG. ∵AE＝BF， ∴EG＝BF. ∵EG∥BF， ∴四边形BEGF是平行四边形. 10. 如图18-2-73①，在正方形ABCD中，P是对角线 BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交 CD于点F. （1）求证：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图18-2-73②， 把正方形ABCD改为菱形 ABCD，其他条件不变， 当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE 的数量关系，并说明理由. 【C组】 （1）证明：在正方形ABCD中， AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°. 又∵BP=BP,∴△ABP≌△CBP（SAS）. ∴PA=PC. ∵PA=PE，∴PC=PE. （2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP. ∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E. ∴∠DCP=∠E. ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E， 即∠CPE=∠EDF=90°. （3）解：AP=CE. 理由如下. 在菱形ABCD中，AB=CB，∠ABP=∠CBP=60°. 又∵BP=BP,∴△ABP≌△CBP（SAS）. ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP. ∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE，∴∠DAP=∠AEP. ∴∠DCP=∠AEP. ∵∠CFP=∠EFD， ∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP， 即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°. ∵PA=PC,PA=PE,∴PC=PE. ∴△EPC是等边三角形. ∴PC=CE.∴AP=CE.