湘教版八年级数学上册第一章 分式 精品教学课件 321页

1.1 分 式 第 1 章 分 式 湘教版八年级数学上册教学课件 第 1 课时 分式的概念 学习目标 1. 了 解分式的概念； 2. 理解分式有意义的条件及分式值为零的条件 ． （重点） 3. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件 ．（难点） 导入新课 情境引入 第十届田径运动会 （1）如果乐乐的速度是 7 米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （2）如果乐乐的速度是 a 米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （3）如果乐乐原来的速度是 a 米/秒，经过训练她的速度每秒增加了 1 米，那么她现在所用的时间是（ ）秒 . 7 100 a 100 a +1 100 填空：乐乐同学参加 百米 赛跑 （4）后勤老师若把体积为 200 cm 3 的水倒入底面积为 33 cm 2 的圆柱形保温桶中，水面高度为 ( )cm ；若把体积为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中，水面高度为 ( ). V S （5）采购秒表8块共8 a 元，一把发射枪 b 元，合计为 元 . （8 a + b ） 讲授新课 分式的概念 一 问题 1 :请将上面问题中得到的式子分分类： 7 100 a 100 a +1 100 单项式： 多项式： 既不是单项式也不是多项式： a 100 a +1 100 8 a + b 8 a +b 整 式 7 100 问题 2 ： 式子 它们有什么相同点和不同点？ 相同点 不同点 （观察分母） 从形式上都具有分数 形式 分母中是否含有字母 7 100 a 100 a+1 100 分子 f 、分母 g 都是整式 知识要点 分式的定义 一个 整 式 f 除以一个非零 整 式 g ( g 中含有字母 ) ，所得的商记作 , 把代数式 叫作 分式 ，其中 f 是分式的分子， g 是分式的分母， g ≠ 0. 思考： 分式与分数有何联系？ ② 分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性 . 整数 整数 整式 整式 ( 分母含有字母） 分数 分式 类比思想 特殊到一般思想 ① 7 100 a +1 100 判一判： 下面的式子哪些是分式？ 分式 : 归纳： 1. 判断时，注意含有 的式子， 是常数 . 2. 式子中含有多项时，若其中有一项分 母含有字母，则该式也为分式，如： . 规则： 从本班选出6名同学到讲台选取自己的名牌 : 1 , a +1 , c -3 , π , 2( b -1) , d 2 再选 1 名学生发号指令，计时3秒钟 6名学生 按要求 自由组合 两两组合后，看哪些得到的是分式 数学运动会 分式有意义的条件 二 问题 3 . 已知分式 . (1) 当 x = 3 时，分式的值是多少 ? (2) 当 x = -2 时，你能算出来吗 ? 不行，当 x =-2 时，分式分母为 0 ，没有意义 . 即当 x______ 时，分式 有 意义 . (3) 当 x 为何值时，分式有意义？ 当 x =3 时，分式值为 一般到特殊思想 类比思想 ≠-2 对于分式 当 _______ 时分式有意义； 当 _______ 时无意义 . g ≠0 g =0 知识要点 分式有意义的条件 例 1 已知分式 有意义，则 x 应满足的 条件是 ( 　　 ) A. x ≠1 B. x ≠2 C. x ≠1 且 x ≠2 D. 以上结果都不对 方法总结 : 分式有意义的条件是分母不为零 . 如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零 . C x ≠ y （ 1 ） 当 x 时，分式 有意义； （ 2 ） 当 x 时，分式 有意义； （ 3 ） 当 b 时，分式 有意义； （ 5 ） 当 x 时，分式 有意义； （ 4 ） 当 时，分式 有意义 . 做一做： 为任意实数 想一想： 分式 的值为零应满足什么条件？ 当 f =0 而 g ≠ 0 时，分式 的值为零 . 注意： 分式值为 零 是分式有意义的一种特殊情况 . 分式值为零的条件及求分式的值 三 解： 当分子等于零而分母不等于零时 , 分式的值为零 . 的值为零 . ∴ 当 x = 1 时分式 ∴ x ≠ -1. 而　 x +1≠0 ， ∴ x = ±1 ， 则　 x 2 - 1=0 ， 例 2 当 x 为何值时，分式 的值为零 ? 变式训练 （ 1 ）当 时，分式 的值为零 . x =2 【 解析 】 要使分式的值为零，只需分子为零且分母不为零， ∴ 解得 x =2. （ 2 ）若 的值为零，则 x ＝ ． 【 解析 】 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零，即 解得 － 3 分式 的值为 ． （ 2 ） 当 x - 2=0， 即 x = 2 时， 解 : （ 1 ）当 2 x -3=0 ，即　　 时， 分式的值不存在； 例 3: 当 x 取什么值时 ， 分式 的值 （1）不存在；（2）等于0？ 有 2 x -3= 1 ≠0 ， 例 4 : 求 下列条件下 分式 的值 ： （1） x = 3 ； （2） x = - 0.4 ． 解 （ 1 ）当 x = 3 时， （ 2 ）当 x = － 0.4 时， 3. 填表： x … - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 … … … 0 1 -2 -1 练一练 填表： 当堂练习 1. 下列代数式中，属于分式的有 （ ） A. B. C. D. C 2. 当 a ＝－ 1 时，分式 的值 ( ) A. 没有意义 B. 等于零 C. 等于 1 D. 等于－ 1 A 3. 当 x 为 任意 实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. A 4. 已知，当 x =5 时，分式 的值等于零，则 k = . -10 5. 在分式 中，当 x 为何值时，分式有意义？分式的值为零？ 解：当 x ≠ 3 时，该分式有意义；当 x =-3 时，该分式的值为零 . 6. 分式 的值能等于 0 吗？说明理由． 解：不能 . 因为 必须 x =-3 ，而 x =-3 时，分母 x 2 - x -12=0 ，分式无意义 . 课堂小结 分式 定义 值为零的条件 有意义的条件 分式 有意义的条件是 g ≠0. 分式 值为零的条件是 f =0 且 g ≠0. 概念：一个整式 f 除以一个非零整式 g （ g 中含字母）所得的商 . 1.1 分 式 第 1 章 分 式 第 2 课时 分式的基本性质 学习目标 1. 理解并掌握分式的基本性质 ．（重点） 2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分 . （难点） 导入新课 复习引入 分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变 . 　 2. 这些分数相等的依据是什么？ 1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个苹果？ 做一做： 填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据 . （ 1 ） （ 2 ） 8 9 9 1 讲授新课 分式的基本性质 一 思考： 下列两式成立吗？为什么？ 想一想： 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 思考： 分式的基本性质： 分式的分子与分母 都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等 . 上述性质可以用式表示为： 知识要点 　　 例 1 　填空：     　　 看 分母 如何变化，想 分子 如何变化 . 　　 看 分子 如何变化，想 分母 如何变化 . 典例精析 想一想： （ 1 ）中为什么不给出 x ≠0, 而（ 2 ）中却给出了 b ≠0? 例 2 　根据分式的基本性质填空： 想一想 : 运用分式的基本性质应注意什么 ? (1)“ 都 ” (2) “ 同一个 ” (3) “ 不为 0 ” a 2 - 1 x 2 x - 3 例 3 　 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数 . ⑴ ⑵ 解： 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号 ⑴ ⑵ ⑶ 解：（ 1 ）原式 = （ 2 ）原式 = （ 3 ）原式 = 练一练 想一想： 联想分数的约分，由例 1 你能想出如何对分式进行约分？ 分式的约分 二 （ ） （ ） 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的 最简公分母 . 　 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的 约分 ． 知识要点 约分的定义 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为 最简分式或整式 . 经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做 最简分式 ．　 在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 一般约分要 彻底 , 使分子、分母没有公因式 . 议一议 例 4 　约分： （ 1 ） ； （ 2 ） . 分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式 . 解： （ 1 ） （ 2 ） 先分解因式，找 出分子与分母的公因 式，再约分 . 　 约分 : 练一练 解 ： 知识要点 约分的基本步骤 （１） 若分子 ﹑ 分母都是 单项式 ，则 约去 系数的最大公约数 ，并约去相同字母的 最低次幂 ； （２） 若分子 ﹑ 分母含有 多项式 ，则先将多项式 分解因式 ，然后约去分子 ﹑ 分母所有的 公因式 ． 注意事项： （ 1 ）约分前后分式的值要相等 . （ 2 ）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式 . （ 3 ）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 . 例 5 　 先约分，再求值 ： ， 其中 x = 5， y = 3. 当 x =5 ， y =3 时， 【方法总结】 约分一般是将一个分式化成最简分式 . 约分可以使求分式的值比较简便 . 当堂练习 2. 下列各式中是最简分式的（ ） B 1. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. D 3. 若把分式 　 　 A ． 扩大两倍　 B ． 不变　　 C ． 缩小两倍 　 D ． 缩小四倍 的 x 和 y 都扩大两倍 , 则分式 的值 ( ) B 4. 若把分式 中的 和 都扩大 3 倍 , 那么分式 的值 ( ) 　　 A ．扩大 3 倍　 B ．扩大 9 倍 　　 C ．扩大 4 倍 　 D ．不变 A 解： 　 5. 约分 6. 先约分，再求值： , 其中 x =2 ， y = 3. 当 x =2 ， y =3 时， y - x = 3 - 2 =1 . 课堂小结 分式的基本性质 分式的约分求值 先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分 . 1.2 分式的乘法和除法 第 1 章 分 式 第 1 课时 分式的乘除 学习目标 1. 掌握分式的乘除运算法则 . （重点） 2. 能够进行 分子 、分母为多项式的分式乘除法运算 ．（难点） 导入新课 情境引入 问题 1 : 一个长方体容器的容积为 V , 底面的长为 a , 宽为 b , 当容器内的水占容积的 时 , 水高多少 ? 长方体容器的高为 , 水高为 问题 2 大拖拉机 m 天耕地 a 公顷 , 小拖拉机 n 天耕地 b 公顷 , 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍 ? 大拖拉机的工作效率是 ( ) 公顷 / 天 , 小拖拉机的工作效率是 ( ) 公顷 / 天 , 大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 ( ) 倍 . 想一想： 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？ 讲授新课 分式的乘除 一 填空： 类比探究 类似于分数，分式有： 乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 . 　　 除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 　 上述法则用式子表示为： 归纳法则 例 1 计算： （ 1 ） 解 :( 1 ) 原式 （ 2 ） 典例精析 注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式. ( 2 ) 原式 先把除法转化为乘法 . 解：（ 1 ）原式 （ 2 ）原式 （ 1 ） （ 2 ） 做一做 方法归纳 方法总结： 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为： (1) 符号运算； (2) 按分式的乘法法则运算． 例 2 计算： 解：原式 = 分子、分母是多项式时，先分解因式，便于约分 . 约分 解：原式 = 约分 先把除法转化为乘法 . 注意：按照法则进行分式乘除运算， 若 分式的分子、分母可以因式分解，则先因式分解再进行运算 . 例 3 计算： 解：原式 = 分子、分母是多项式时，先分解因式 便于约分 . 约分 解： 原式 = 先把除法转化为乘法 . 整式与分式 运算时，可以把整式看成分母是 1 的分式． 负号怎么得来的？ (1) 解：原式 做一做 解：原式 (2) 1. 分式的分子、分母都是几个因式的积的形式， 可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算 . 2. 分子或分母是多项式的按以下方法进行： ①将原分式中含同一字母的各多项式按 降幂 ( 或升幂 ) 排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为 1 ，分子为这个整式的分式； ②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式； ③应用分式乘除法法则进行运算； ( 注意 : 结果为最简分式或整式． ) 要点归纳 分式乘除法的解题步骤 当 x =2017 ， y = － 2018 时，得 例4 若 x ＝201 7 ， y ＝－201 8 ，你能求出分式 的值吗? 解：原式 = 由题意得 ( x -1)( x +1)≠0 ， x -1≠0 ， x ( x +1)≠0 ，即 x ≠0 ，± 1. 当 x =2 时，原式 =0.5. 做一做 方法总结：根据分式乘除法法则将代数式 先 进行计算 化简 ， 再 代入 求值 . 同时注意字母的取值要使分数 有意义 ！即分母和除式不为 0 . 先化简： 再选取一个你喜欢的值代入 x 求值 . 例 5 “丰收 1 号 ” 小麦的试验田是边长为 a 米的正方形减去一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2 号 ” 小麦的试验田是边长为 （ a －1） 米的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 千克 . （1） 哪种小麦的单位面 积产量高？ （2） 高的单位面积产量 是低的单位面积产量的 多少倍？ 1m a m （ a -1 ） m 解： （1） “ 丰收 1 号 ” 小麦的试验田面积是（ a 2 -1 ） m 2 ，单位面积产量是 kg/m 2 ； “ 丰收 2 号 ” 小麦的试验田面积是 （ a－ 1） 2 m 2 ，单位面积产量是 kg/m 2 . （2） 所以 “丰收 2 号 ” 小麦的单位面积产量是 “丰收1号 ” 小麦的单位面积产量的 倍 . 一条船往返于水路相距 100 km 的 A,B 两地之间，已知水流的速度是每小时 2 km ，船在静水中的速度是每小时 x km （ x >2 ），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是 ______. 【 解析 】 顺流速度为（ x +2 ） km/h ，逆流速度为 （ x -2 ） km/h ，由题意得 做一做 当堂练习 1. 计算 等于（ ） A. B. C. D. C 2. 化简 的结果是（ ） B 3. 下列计算对吗？若不对，要怎样改正？ 对 解： （ 1 ）原式 （ 1 ） （ 2 ） 4. 计算： （ 2 ） 原式 解析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值． 5. 先化简，再求值： 解析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值． 其中 x =3. 解：原式 = 当 x =3 时，原式 =3-1=2. 6. 老王家种植两块正方形土地，边长分别为 a 米和 b 米( a ≠ b )，老李家种植一块长方形土地，长为2 a 米，宽为 b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？ 解：设花生的总产量是 1 ，则 课堂小结 分式乘除运算 乘除法运算 注意 (1) 分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式 除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算 (2) 分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行 (3) 运用法则时要注意符号的变化 1.2 分式的乘法和除法 第 1 章 分 式 第 2 课时 分式的乘方 学习目标 1. 了解分式的乘方的意义及其运算法则并根据分式乘方的运算 法则 正确熟练地进行分式的乘方运算 . （重点） 2. 能应用分式的乘除法法则进行混合运算 ．（难点） 导入新课 复习引入 1. 如何进行分式的乘除法运算？ 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 . 　　 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . 　 2. 如何进行有理数的乘除混合运算？ 3. 乘方的意义 ？ a n = ( n 为正整数 ) , a · a · a · · · · ·· a n 个 a 分式的乘方 一 算一算： 根据乘方的意义计算下列各式： 讲授新课 类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？ 10 个 想一想： 一般地，当 n 是正整数时， n 个 n 个 n 个 这就是说， 分式乘方要把分子、分母分别乘方 . 要点归纳 分式的乘方法则 理解要点： （ 1 ）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把 写成 . × √ （ 2 ） 含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除 . 例 1 计算： 解： ( 1) 原式 = （ 2 ）原式 = 典例精析 判断下列各式是否成立，并改正 . 练一练 注意： 做乘方运算要先确定符号 . 例 2 计算： 解 : (1) 原式 = 分式的乘除、乘方混合运算 二 (2) 原式 = 混合运算顺序： 先算乘方,再算乘除. 例 3 计算： 解析：先算乘方，然后约分化简，注意符号； 解析：先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简． 解： 进行分式的乘除、乘方混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后结果应化成最简分式或整式，通常情况下，计算得到的最后结果要使分子和分母第一项的符号为正号．对于含负号的分式，奇次方为负，偶次方为正． 方法总结 做一做 计算： 解： 马小虎学习了分式的混合运算后，做了一道下面的家庭作业，李老师想请你帮他批改一下 . 请问下面的运算过程对吗？然后请你给他提出恰当的建议！ 议一议 解：不正确 . 正确的解法： 分式的化简求值 三 例 4 解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可． 例 5 化简求值： 其中 例 6 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是 d ，已知球的体积公式为 V ＝ 4/3 π R 3 ( 其中 R 为球的半径 ) . (1) 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ (2) 西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？ 实际应用 解此关键：能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比． 当堂练习 1. 计算： 的结果为（ ） . A. b B. a C. 1 D. B 2. 3. 计算： 解 ： (1) 原式 （ 2 ）原式 4 . 化简求值： 5. 先化简 ， 你喜欢的数作为 a 的值 代入计算 . 解：原式 当 a =2 时，原式 =0. 然后选取一个 思考： a 可以取任何实数吗？ a 不可以取 0 ， ± 1 ， -2. 课堂小结 分式乘除混合运算 乘方运算 注意 (1) 乘除运算属于同级运算，应按照先出现的先算的原则，不能交换运算顺序； 乘方法则 (2) 当除写成乘的形式时，灵活的应用乘法交换律和结合律可起到简化运算的作用 混合运算 乘除法运算及乘方法则 先算乘方，再做乘除 1.3 整数指数幂 第 1 章 分 式 1.3.1 同底数幂的除法 1. 经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则 ; 2. 会用同底数幂的除法法则进行计算 . （重点、难点） 学习目标 问题 : 幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？ 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 即 a m a n = a m ＋ n （ m ， n 都是正整数） 导入新课 回顾与思考 a n 底数 幂 指数 情境导入 一种液体每升含有 10 12 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 10 9 个此种细菌 . 要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？ 10 12 ÷10 9 （ 2 ）观察这个算式，它有何特点？ 我们观察可以发现， 10 12 和 10 9 这两个幂的 底数相同 ， 是同底的幂的形式 . 所以我们把 10 12 ÷ 10 9 这种运算叫作 同底数幂的除法 . （ 1 ） 怎样列式？ 根据同底数幂的乘法法则进行计算： 2 8 ×2 7 ＝ 5 2 ×5 3 ＝ a 2 × a 5 ＝ 　 3 m － n × 3 n ＝ 2 15 5 5 a 7 3 m （　）× 2 7 ＝2 15 （　）×5 3 ＝ 5 5 （　）× a 5 ＝ a 7 　　 （　　）× 3 n ＝ 2 8 a 2 5 2 乘法与除法互为逆运算 2 15 ÷2 7 =( ) =2 15 － 7 5 5 ÷5 3 =( ) =5 5-3 a 7 ÷ a 5 =( ) = a 7-5 3 m ÷ 3 m － n =( ) = 3 m － ( m － n ) 2 8 5 2 a 2 3 n 填一填： 上述运算你发现了什么规律吗？ 讲授新课 同底数幂的除法 一 自主探究 　 3 m － n 3 m 猜想 : a m ÷ a n = a m － n ( m ＞ n ) 验证 : a m ÷ a n = m 个 a n 个 a = a·a· ··· ·a m － n 个 a = a m － n 总结归纳 ( a ≠ 0 ， m ， n 是正整数，且 m ＞ n ) . a m ÷ a n = a m － n 即 : 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 例1 计算： 典例精析 解： 例2 计算： 解： （ 1 ） （ 2 ） 例 3 已知： a m =3, a n =5. 求： （ 1 ） a m-n 的值； (2) a 3 m -3 n 的值 . 解 :(1) a m - n = a m ÷ a n = 3 ÷5 = 0.6 ； (2) a 3 m -3 n = a 3 m ÷ a 3 n = ( a m ) 3 ÷( a n ) 3 =3 3 ÷5 3 =27 ÷125 = 同底数幂的除法可以逆用： a m - n = a m ÷ a n 这种思维叫做逆向思维 (逆用运算性质 ） . 例 4 如果地球的体积大约是 1×10 12 千米 3 太阳的体积大约为 1.5×10 18 千米 3 . 请问太阳的体积是地球体积的多少倍？ 18 个 10 12 个 10 6 个 10 同底数幂的除法的实际应用 二 1. 计算： 当堂练习 2. 下面的计算对不对？如果不对，请改正. 3.已知 3 m =2, 9 n =10, 求3 3 m -2 n 的值 . 解： 3 3 m -2 n =3 3 m ÷3 2 n =(3 m ) 3 ÷(3 2 ) n =(3 m ) 3 ÷9 n =2 3 ÷10 =8÷10 =0.8 4. 地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地震的强度是 10 的若干次幂 . 例如，用里克特震级表示地震是 8 级，说明地震的强度是 10 7 . 1992 年 4 月，荷兰发生了 5 级地震， 12 天后，加利福尼亚发生了 7 级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？ 解：由题意得 . 答：加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的 100 倍 . 1.同底数幂的除法法则: 同底数幂 相除 , 底数 不变 ， 指数 相减 . ( a ≠0, m、n 为正整数且 m > n ) 3. 理解同底数幂除法法则并注意法则的 逆用 和 推广 . 在进行同底数幂的除法运算时，要特别注意分清底数和指数 , 并结合使用同底数幂的乘法运算性质 ; 课堂小结 1.3 整数指数幂 第 1 章 分 式 1.3.2 零次幂和负整数指数幂 1. 理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算 ; （重点，难点） 2. 会用科学记数法表示绝对值较小的数 . （重点） 学习目标 同底数幂相除 , 底数不变 , 指数相减 . 即 问题 同底数幂的除法法则是什么？ 导入新课 回顾与思考 若 m ≤ n 时同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？ 根据分式的基本性质，如果 a ≠0， m 是正整数，那么 等于多少？ 讲授新课 零次幂 一 问题引导 如果把公式 （ a ≠0， m ， n 都是正整数，且 m>n ）推广到 m=n 的情形，那么就会有 这启发我们规定 即 任何不等于零的数的零次幂都等于1 . 总结归纳 例 1 ： 已知 (3 x － 2) 0 有意义，则 x 应满足的条件是 ________ ． 解析：根据零次幂的意义可知： (3 x － 2) 0 有意义，则 3 x － 2≠0 ， . 方法总结： 零次幂有意义的条件是底数不等于 0 ，所以解决有关零次幂的意义类型的题目时，可列出关于底数不等于 0 的式子求解即可． 典例精析 例 2 ： 若 ( x － 1) x ＋ 1 ＝ 1 ，求 x 的值． 解： ① 当 x ＋ 1 ＝ 0 ，即 x ＝－ 1 时，原式＝ ( － 2) 0 ＝ 1 ； ② 当 x － 1 ＝ 1 ，即 x ＝ 2 时，原式＝ 1 3 ＝ 1 ； ③ x － 1 ＝－ 1 ，即 x ＝ 0 ， 0 ＋ 1 ＝ 1 不是偶数．故舍去． 故 x ＝－ 1 或 2. 方法总结： 乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶次幂等于1 . 即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0；考虑底数等于1或－1. 负整数指数幂 二 问题： 计算： a 3 ÷ a 5 =? ( a ≠0) 解 : 思考： 再假设正整数指数幂的运算性质 a m ÷a n =a m-n ( a ≠0, m,n 是正整数， m > n ) 中的 m > n 这个条件去掉可 行吗？ 上述的问题就变为 a 3 ÷ a 5 = a 3-5 = a -2 . 即 由于 因此 特别地， 总结归纳 如果在公式 中 m =0 ，那么就会有 例 3 计算： 解： 典例精析 例 4 A ． a ＞ b ＝ c B ． a ＞ c ＞ b C ． c ＞ a ＞ b D ． b ＞ c ＞ a B 方法总结： 关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 例 5 把下列各式写成分式的形式： 解 : 用科学计数法表示绝对值小于 1 的数 三 科学记数法 ： 绝对值大于 10 的数记成 a ×10 n 的形式，其中 1≤ a <10 ， n 是正整数 . 忆一忆： 例如， 864000 可以写成 . 怎样把 0.0000864 用科学记数法表示？ 8.64×10 5 想一想： 探一探： 因为 所以， 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10 -5 . 类似地，我们可以利用 10 的 负整数次幂 ，用科学记数法表示一些绝对值 较小 的数，即将它们表示成 a ×10 - n 的形式，其中 n 是正整数， 1≤∣ a ∣ ＜ 10. 算一算： 10 － 2 = ___________; 10 － 4 = ___________; 10 － 8 = ___________. 议一议： 指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 一般地， 10 的 - n 次幂，在 1 前面有 _________ 个 0 . 想一想 ： 10 － 21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？ 0.01 0.0001 0.00000001 通过上面的探索，你发现了什么？ n 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 即利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表示成 a ×10 - n 的形式，其中 n 是正整数， 1 ≤ | a | <10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数 . （特别注意：包括小数点前面这个零） 知识要点 例 6 2010 年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，它的长度只有 0.000 000 04m ，请用科学记数法表示它的长度，并在计算器上把它表示出来． 解： 0.000 000 04 =4×0.000 000 04 =4×10 － 8 ． 计算器屏幕显示如图所示． 例 7 用小数表示下列各数： (1)2×10 － 7 ； (2)3.6×10 － 3 ； (3)7.08×10 － 3 ； (4)2.17×10 － 1 . 解析：小数点向左移动相应的位数即可． 解： (1)2×10 － 7 ＝ 0.0000002 ； (2)3.6×10 － 3 ＝ 0.0036 ； (3)7.08×10 － 3 ＝ 0.00708 ； (4)2.17×10 － 1 ＝ 0.217. 1 . 用科学记数法表示： （ 1 ） 0.000 03 ； （ 2 ） -0.000 006 4 ； （ 3 ） 0.000 0314 ； 2 . 用科学记数法填空： （ 1 ） 1 s 是 1 μ s 的 1 000 000 倍，则 1 μ s ＝ ______ s ； （ 2 ） 1 mg ＝ ______ kg ；（ 3 ） 1 μ m ＝ ______ m ；　　　　　 （ 4 ） 1 nm ＝ ______ μ m ；（ 5 ） 1 cm 2 ＝ ______ m 2 ； （ 6 ） 1 ml ＝ ______ m 3 . 练一练 3. 中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项，已知显微镜下某种疟原虫平均长度为 0.0000015 米，该长度用科学记数法表示为 __________. 1.5×10 -6 1.计算： 1 1 64 当堂练习 2.把下列各式写成分式的形式： 3.用小数表示5.6×10 -4 . 解 : 原式=5.6 ×0.0001=0.00056. 4. 比较大小： （ 1 ） 3.01×10 － 4 _______9.5×10 － 3 （ 2 ） 3.01×10 － 4 ________3.10×10 － 4 < < 5. 用科学记数法把 0.000 009 405 表示成 9.405×10 n ，那么 n = . -6 6 . 计算： － 2 2 ＋ ( － ) － 2 ＋ (2016 － π ) 0 . 解： － 2 2 ＋ ( － ) － 2 ＋ (2016 － π ) 0 ＝－ 4 ＋ 4 ＋ 1 ＝ 1. 课堂小结 整数指数幂运算 整数 指数幂 1. 零指数幂： 当 a ≠0 时， a 0 =1. 2. 负整数指数幂： 当 n 是正整数时， a -n = 科学记数法 0.00 … 01 n 个0 1.3 整数指数幂 第 1 章 分 式 1.3.3 整数指数幂的运算法则 1. 理解整数指数幂的运算法则；（重点） 2. 会用整数指数幂的运算法则进行计算 . （重点、难点） 学习目标 问题 正整数指数幂的运算法则有哪些？ a m · a n = a m + n ( m ， n 都是正整数 ) ； ( a m ) n = a mn ( m ， n 都是正整数 ) ； ( ab ) n = a n b n ( n 是正整数 ) . ( a ≠0 ， m ， n 都是正整数，且 m ＞ n ) ； ( b ≠0 ， n 是正整数 ). 导入新课 回顾与思考 思考 : 之前 我们已经 学习了零指数幂和负指数幂的运算，那么 a m · a n = a m + n ( m ， n 都是正整数 ) 这条性质能否扩大到 m ， n 都是任意整数的情形 ? 计算 ： (1) a 3 · a -5 ； （ 2 ） a -3 · a -5 ；（ 3 ） a 0 · a -5 . a m · a n = a m + n ( a ≠ 0 ， m ， n 都是整数 ) 由此可以得出： 讲授新课 整数指数幂的运算 一 ① ③ ② 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到 全体整数 . 也就说前面提到的运算性质也推广到 整数指数幂 . 实际上，对于 a ≠0 ， m ， n 都是整数，有 因此，同底数幂相除和运算法则被包含在公式 ① 中. 而对于 a ≠0 ， b ≠0 ， n 是整数，有 因此，分式的乘方的运算法则被包含在公式 ③ 中. 例 1 设 a ≠ 0 ， b ≠ 0 ，计算下列各式 ： （ 1 ） a 7 · a -3 ；　 （ 2 ） ( a -3 ) -2 ； （ 3 ） a 3 b ( a -1 b ) -2 . 解：（ 1 ） a 7 · a -3 （ 2 ） ( a -3 ) -2 = a 7+(-3) = a (-3)×(-2) = a 4 ； = a 6 ； （ 3 ） a 3 b ( a - 1 b ) - 2 = a 3 b · a 2 b - 2 = a 3+2 b 1+ ( - 2 ) = a 5 b - 1 = 注意：最后结果一般不保留负指数，应写成分式形式 . 典例精析 计算： 解： 做一做 解： 例 2 计算下列各式： 计算： (1)( x 3 y － 2 ) 2 ； (2) x 2 y － 2 ·( x － 2 y ) 3 ； 例 3 解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂． 解： (1) 原式＝ x 6 y － 4 (2) 原式＝ x 2 y － 2 · x － 6 y 3 ＝ x － 4 y 提示： 计算结果一般需化为 正整数幂 的形式 . 计算： (3)(3 x 2 y － 2 ) 2 ÷( x － 2 y ) 3 ； (4)(3×10 － 5 ) 3 ÷(3×10 － 6 ) 2 . 例 3 (4) 原式＝ (27×10 － 15 )÷(9×10 － 12 ) ＝ 3×10 － 3 解 ： (3) 原式＝ 9 x 4 y － 4 ÷ x － 6 y 3 ＝ 9 x 4 y － 4 · x 6 y － 3 ＝ 9 x 10 y － 7 例 4 已知 a － m ＝ 3 ， b n ＝ 2 ，则 ( a － m b － 2 n ) － 2 ＝ ____ ． 解析： ( a － m b － 2 n ) － 2 ＝ ( a － m ) － 2 · b 4 n ＝ ( a － m ) － 2 ( b n ) 4 ＝ 3 － 2 ×2 4 ＝ 方法总结： 把要求的代数式逆用幂的运算法则，用已知的式子来表示是解题的关键． 整数指数幂运算的实际应用 二 例 5 某房间空气中每立方米含 3×10 6 个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现 1 毫升杀菌剂可以杀死 2×10 5 个这种病菌，问要将长 10m ，宽 8m ，高 3m 的房间内的病菌全部都杀死，需要多少杀菌剂？ 解：（ 10×8×3 ） × （ 3×10 6 ） ÷ （ 2×10 5 ） = （ 720×10 6 ） ÷ （ 2×10 5 ） =360×10=3.6×10 3 （毫升） . （ 2 ） 1. 设 a ≠0 ， b ≠0 ，计算下列各式： （ 4 ） a - 5 ( a 2 b - 1 ) 3 =_________ ； （ 1 ） （ 3 ） 当堂练习 2. 计算下列各式： a m · a n = a m + n ( a ≠ 0 ， m ， n 都是整数 ) ， ( a m ) n = a mn ( a ≠ 0 ， m ， n 都是整数 ) ， ( ab ) n = a n b n ( a ≠ 0 ， b ≠ 0 ， n 是整数 ) . 整数指数幂的运算公式： 1. 在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数 . 2. 注意对于负指数和零指数时， a ≠ 0 ， b ≠ 0 的条件 . 注意 : 课堂小结 1.4 分式的加法和减法 第 1 章 分 式 第 1 课时 同分母分式的加减 1. 理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算；（重点） 2. 会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算 . （难点） 学习目标 　 1. 同分母分数的加减法则是什么吗？ 2. 计算 ： 1 2 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减 . 导入新课 回顾与思考 思考： 类比前面同分母分数的加减，想想下面式子怎么计算？ a 1 a 2 + 猜一猜： 同分母的分式应该如何加减？ 讲授新课 同分母分式的加减 一 类比探究 观察下列分数加减运算的式子 , 你想到了什么？ 请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减 ? 知识要点 同分母分式的加减法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 上述法则可用式子表示为 例1 计算 ： 解： (2) 原式 典例精析 (1) 原式 解： 注意 : 把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分式． (4) 原式 典例精析 (3) 原式 例 2 计算： 解 : 原式 = 分母不变 分子相加减 合并整理 能约分的要约分 注意： 把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来 解：原式 = = = 注意：结果要化为最简分式！ = 例 3 计算： 解：原式 = = = 注意：结果要化为最简分式！ = 把分子看作一个整体，先用括号括起来！ （去括号） （合并同类项） 注意：当分子是 多项式时要加括号！ 注意：结果要化为最简形式！ 做一做 思考： 下列等式是否成立？为什么？ 分式的符号法则 二 例 4 计算 : 解： 典例精析 两个分式的分母是 互为相反数 时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算． 方法总结 1. 计算： 当堂练习 2. 计算： 3. 计算： 4.先化简，再求值： 其中 x =3. 因为 x =3, 所以原式 = 课堂小结 分式加减运算 同分母加减法则 符号法则 1.4 分式的加法和减法 第 1 章 分 式 第 2 课时 分式的通分 1. 会确定几个分式的最简公分母；（重点） 2. 会根据分式的基本性质把分式进行通分 . （重点、难点） 学习目标 1.分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以）一个 ________________, 分式的值_______. 不变 不为 0 的整式 2.什么叫约分？ 把一个分式的分子和分母的 公因式 约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的 约分 . 导入新课 回顾与思考 分式的通分 一 问题 1 ： 通分： 最小公倍数： 24 分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的 通分 . 通分的关键是确定几个分母的 最小公倍数 讲授新课 想一想： 联想分数的通分，由问题 1 你能想出如何对分式进行通分？ （ b ≠0） 问题 2 ： 填空 知识要点 分式的通分的定义 与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、分母同乘 适当的整式（即最简公分母）， 把 分母不相同 的分式变成 分母相同 的分式，这种变形叫 分式的通分 .如分式 与 分母分别是 ab,a 2 ,通分后分母都变成了 a 2 b . 例1 找出下面各组分式最简公分母： 最小公倍数 最简公分母 最高次幂 单独字母 典例精析 不同的因式 提醒： 最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有分母和式子的最高次幂 . 找最简公分母 : x ( x -5) （ x +5 ） ( x + y ) 2 ( x - y ) 练一练 解： 最简公分母是 例 2 通分 : 解： 最简公分母是 确定几个分式的最简公分母的方法： （ 1 ） 因式分解 （ 2 ） 系数： 各分式分母系数的最小公倍数； （ 3 ） 字母： 各分母的所有字母 的最高次幂 （ 4 ） 多项式： 各分母所有多项式因式的最高次幂 （ 5 ） 积 方法归纳 解： 最简公分母是 例 4 通分 : 解： 最简公分母是 ① 确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母； ② 在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商． 方法归纳 想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 约分 通分 分数 分式 依据 找分子与分母的 最大公约数 找分子与分母的公因式 找所有分母的 最小公倍数 找所有分母的 最简公分母 分数或分式的基本性质 的最简公分母是（ ） 3. 三个分式 的最简公分母是 . 2. 分式 的最简公分母是 ______________. C 1. 三个分式 B. C. D. A. 4 xy 3 y 2 12 xy 2 12 x 2 y 2 2 x ( x -1)( x +1) x ( x -1)( x +1) 当堂练习 4 . 通分 解：（ 1 ）最简公分母是 4 b 2 d , （ 2 ）最简公分母是（ x + y ) 2 ( x - y ), 解： (3) 最简公分母是 3( a -3)( a +3), (4) 最简公分母是 2 x (2- x )( x +1)( x -1), 2 .确定最简公分母的一般 步骤： （ 1 ） 找系数 ； （ 2 ） 找字母 ； （ 3 ） 找指数 ； （ 4 ） 当分母是多项式时 ，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母； （ 5 ） 分母的系数若是负数时 ，应利用符号法则，把负号提取到分式前面 . 1. 把各分式化成相同分母的分式叫做分式的 通分 . 课堂小结 1.4 分式的加法和减法 第 1 章 分 式 第 3 课时 异分母分式的加减 1. 掌握异分母分式的加减法；（重点） 2. 理解分式的混合运算的顺序，并会熟练进行分式的混合运算 . （难点） 学习目标 导入新课 情境引入 (2) 小明在上坡和下坡上用的时间哪个更短？（只列式不计算） 小明从家（甲地）到学校（乙地）的距离是 3km. 其中有 1km 的上坡路 , 2km 的下坡路 . 小明在上坡路上的骑车速度为 v km/h, 在下坡路上的骑车速度为 3 v km/h, 那么 : (1) 从甲地到乙地总共需要的时 间为（ ） h. 3 v v 1km 2km 甲 乙 上坡时间： 下坡时间： 帮帮小明算算时间 异分母分式的加减 一 问题： 请计算 ( ) ， ( ). 异分母分数相加减 分数的通分 依据：分数的基本性质 转化 同分母分数相加减 异分母分数相加减，先通分， 变为同分母的分数，再加减 . 讲授新课 请计算 ( ) ， ( ); 依据 : 分数基本性质 分数的通分 同分母分数相加减 异分母分数相加减 转化 异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减 . 异分母分式相加减 分式的通分 依据 : 分式基本性质 转化 同分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 . 请思考 b d b d 类比： 异分母的分式应该如何加减 ? 知识要点 异分母分式的加减法则 异分母分式相加减，先通分，变同分母的分式，再加减 . 上述法则可用式子表示为 解： (1) 原式 = 例 1 计算： (2) 原式 = 先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减 . 解：原式 先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减 . 注意：分母是多项式先分解因式 解： 原式 = = = 注意：分母是多项式先分解因式 先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减 . = = 知识要点 分式的加减法的思路 通分 转化为 异分母相加减 同分母 相加减 分子（整式）相加减 分母不变 转化为 例 2. 计算： 法一： 原式 = 法二： 原式 = 把整式看成分母为 “1” 的分式 例 2. 计算： 分析： 把前面的整式“ x +1 ”看成整体，并把分母看做“ 1” ． 阅读下面题目的计算过程 . ① = 　　　　　　　　　　　　　　　　　② = ③ = ④ （ 1 ）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号 _______ ； （ 2 ）错误原因 ___________ ； （ 3 ）本题的正确结果为： . ② 漏掉了分母 做一做 例 3 计算： 解：原式 从 1 、 -3 、 3 中任选一个你喜欢的 m 值代入求值 当 m =1 时，原式 先化简，再求值： , 其中 ． 解： 　 做一做 分式的混合运算 二 问题： 如何计算 ？ 　 　请 先 思考这道题包含的运算，确定运算顺序， 再 独立完成 . 　 　　 解： 先乘方，再乘除，最后加减 分式的混合运算顺序 先算 乘方， 再算 乘除， 最后算 加减， 有括号的 先算括号里面的 . 要点归纳 计算结果要化为 最简 分式或整式． 例 4 计算： 解：原式 典例精析 先算括号里的加法，再算括号外的乘法 注： 当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“ 1” 或 解：原式 注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体 . 做一做 解：原式 计算： 解：原式 方法总结：观察题目的结构特点， 灵活运用运算律，适当运用计算技巧 ，可简化运算，提高速度 . 例 5 计算： 利用乘法分配率简化运算 用两种方法计算： = 解：（按运算顺序） 原式 = 做一做 解：（利用乘法分配律） 原式 解：原式 巧用公式 例 6 ： 计算 分析：把 和 看成整体，题目的实 质是平方差公式的应用 . 例 7. 繁分式 的化简： 解法 1: 原式 把繁分式写成 分子除以分母 的形式，利用除法法则化简 拓展提升 解法 2 ： 利用 分式的基本性质 化简 例 8. 若 ，求 A 、 B 的值 . 解： ∴ 解得 解析：先将等式两边化成同分母分式，然后对照两边的分子，可得到关于 A 、 B 的方程组 . 分式的混合运算 （ 1 ）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减； （ 2 ）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算 . 混合运算的特点： 是 整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强 . 总结归纳 1. 计算 ： 当堂练习 2. 计算 : 解： (1) 原式 = (2) 原式 = 解一： 原式 = 解二： 原式 = 3. 化简： 当 时，原式 4. 当 时，求 的值 . 5. 先化简，再求值：： ，其中 x ＝ 2016. 课堂小结 分式加减运算 加减法运算 注意 (1) 减式的分式是多项式时，在进行运算时要适时添加括号 异分母分式相加减先转化为同分母分式的加减运算 (2) 整式和分式之间进行加减运算时，则要把整式看成分母是 1 的分式，以便通分 (3) 异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母 1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第 1 章 分 式 第 1 课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法 1. 理解分式方程的概念； 2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；（重点） 3. 理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法 . （难点） 学习目标 导入新课 问题引入 一艘轮船在 静水 中的最大航速为 30 千米 / 时，它沿江以最大航速 顺流 航行 90 千米所用时间，与以最大航速 逆流 航行 60 千米所用时间相等 . 设江水的流 速为 x 千米 / 时，根据题意可列方程 . 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与 一元一次 方程有什么区别？ 讲授新课 分式方程的概念 一 定义： 此方程的分母中含有未知数 x ，像这样 分母中含未知数的方程 叫做 分式方程 . 知识要点 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结 : 判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数 ( 注意： π 不是未知数 ) ． 你能试着解这个分式方程吗？ （2） 怎样 去分母 ？ （3） 在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去 ？ （4） 这样做的 依据 是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1） 如何把它 转化 为整式方程呢？ “去分母” 分式方程的解法 二 方程各分母最简公分母是 ： （ 3 0+ x ）( 3 0- x ) 解： 方程①两边同乘 ( 30+ x )(30- x ) ， 得 检验： 将 x = 6 代入原分式方程中，左边= =右边， 因此 x = 6 是原分式方程的解 . 90 （ 30- x )=60(30+ x ) ， 解得 x =6. x =6 是原分式方程的 解吗？ 解分式方程的基本思路：是将 分式方程 化为 整式方程 再求解，具体做法是“ 去分母 ”， 即将方程两边同乘 最简公分母 . 这也是解分式方程的一般方法 . 归纳 下面我们再讨论一个分式方程： 解： 方程两边同乘 ( x +5)( x -5) ，得 x +5=10 ， 解得 x =5. x =5 是原分式方程的 解吗？ 检验： 将 x = 5 代入原方程中，分母 x -5 和 x 2 -25 的值都为 0 ，相应的分式无意义 . 因此 x =5 虽是整式方程 x +5=10 的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解 . 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就 是 原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却 不是 原分式方程的解呢？ 真相揭秘： 分式两边同乘了不为 0 的式子 , 所得整式方程的解与分式方程的解相同 . 我们再来观察去分母的过程 : 90(30- x )=60(30+ x ) 两边同乘 (30+ x )(30- x ) 当 x =6 时 ,(30+ x )(30- x )≠0 真相揭秘： 分式两边同乘了等于 0 的式子 , 所得整式方程的解使分母为 0 , 这个整式方程的解就不是原分式方程的解 . x +5=10 两边同乘 ( x +5)( x -5) 当 x =5 时 , ( x +5)( x -5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0 ，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式的解呢？ 分式方程解的检验 ------ 必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 . 1. 在方程的两边都乘以 最简公分母 ，约去分母，化成整式方程 . 2. 解这个整式方程 . 3. 把整式方程的解代入 最简公分母 ，如果最简公分母的值 不为 0 ，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4. 写出原方程的根 . 简记为：“ 一化二解三检验 ” . 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 例 1 解方程： 解 ：方程两边都乘最简公分母 x ( x － 2) ，得 解这个一元一次方程，得 x = － 3. 检验：把 x = － 3 代入原方程的左边和右边，得 因此 x = － 3 是原方程的解． 典例精析 解：两边都乘以最简公分母 ( x +2)( x - 2) ， 得 x + 2= 4. 解得 x = 2. 检验：把 x = 2 代入原方程，两边分母为0，分式无意义 . 因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原方程无解 . 提醒： 在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现 使最简公分母（或分母）为零的根是 增根 . 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 x = a 不是分式 方程的解 x = a 最简公分母是 否为零？ 否 是 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 例 2 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根． 解：方程两边都乘以 ( x ＋ 2)( x － 2), 得 2( x ＋ 2) ＋ mx ＝ 3( x － 2) ，即 ( m － 1) x ＝－ 10. ① 当 m － 1 ＝ 0 时，此方程无解，此时 m ＝ 1 ； ② 方程有增根，则 x ＝ 2 或 x ＝－ 2 ， 当 x ＝ 2 时，代入 ( m － 1) x ＝－ 10 得 ( m － 1)×2 ＝－ 10 ，解得 m ＝－ 4 ； 当 x ＝－ 2 时，代入 ( m － 1) x ＝－ 10 得 ( m － 1)×( － 2) ＝－ 10 ，解得 m ＝ 6 ， ∴ m 的值是 1 ，－ 4 或 6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 方法总结 当堂练习 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A. 3 y -6 B. 3 y C. 3 (3 y -6) D. 3 y ( y -2) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 ( 　　 ) A. B. C. D. D 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2( x -8)+5 x =16( x -7) B.2( x -8)+5 x =8 C.2( x -8)-5 x =16( x -7) D.2( x -8)-5 x =8 A 4 ． 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( ) A ．－ 1 ， 5 B ． 1 C ．－ 1.5 或 2 D ．－ 0.5 或－ 1.5 D 5. 解方程 : 解： 方程两边乘 x ( x -3) , 得 2 x =3 x -9. 解得 x =9. 检验：当 x =9 时， x ( x -3) ≠0. 所以，原分式方程的解为 x =9. 6. 解方程 解： 方程两边乘 ( x -1)( x +2), 得 x ( x +2)-( x -1)( x +2)=3. 解得 x =1. 检验：当 x =1 时， ( x -1)( x +2) =0, 因此 x =1 不是原分式方程的解 . 所以，原分式方程无解 . 7. 解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入 所以原方程的解为 8. 若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值 . 解：方程两边同乘以 x -2 ， 得 2- x + m =2 x -4, 合并同类项 , 得 3 x =6+ m , ∴ m =3 x -6. ∵ 该分式方程有增根， ∴ x =2 ， ∴ m =0. 课堂小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验 1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第 1 章 分 式 第 2 课时 分式方程的应用 学习目标 1. 理解数量关系正确列出分式方程 . （难点） 2. 在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题 . （重点） 导入新课 问题引入 1. 解分式方程的基本思路是什么？ 2. 解分式方程有哪几个步骤？ 3. 验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 去分母 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程 . 通常使用第一种方法 . 4. 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有 4 种： （ 1 ） 行程问题： 路程 = 速度 × 时间以及它的两个变式； （ 2 ） 数字 问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （ 3 ）工程 问题： 工作量 = 工时 × 工效以及它的两个变式； （ 4 ） 利润 问题： 批发成本 = 批发数量×批发价；批发数量 = 批发成本÷批发价；打折销售价 = 定价×折数；销售利润 = 销售收入一批发成本；每本销售利润 = 定价一批发价；每本打折销售利润 = 打折销售价一批发价，利润率 = 利润÷进价 。 讲授新课 列分式方程解决工程问题 一 例 1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成 . 哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（ 1 ） 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 = “ 1 ” 设乙单独完成这项工程需要 x 天 . 解： 设乙单独 完成这项工程需要 x 个月 . 记工作总量为 1 ，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以 6 x , 得 解得 x =1. 检验：当 x =1 时， 6 x ≠ 0 . 所以，原分式方程的解为 x =1 . 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快 . 想一想： 本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量 = “ 1 ” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 工作时间（月） 工作效率 工作总量 （ 1 ） 甲单独 两队合作 设乙单独 完成这项工程需要 x 天 . 则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 . 此时方程是： 1 表格为 “ 3 行 4 列 ” 知识要点 工程问题 1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2. 通常间接设元，如 × × 单独完成需 x （单位时间），则可表示出其工作效率； 4. 解题方法：可概括为“ 321 ”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量； 2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”； 1 指该问题中的一个等量关系 . 如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量 . 3. 弄清基本的数量关系 . 如本题中的“合作的工效 = 甲乙两队工作效率的和” . 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 ( x ＋ 3) 小时，根据等量关系“甲工效 ×2 ＋乙工效 × 甲队单独完成需要时间＝ 1” 列方程． 做一做 解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 ( x ＋ 3) 小时． 由题意得 . 解得 x ＝ 6. 经检验 x ＝ 6 是方程的解． ∴ x ＋ 3 ＝ 9. 答：甲单独完成全部工程需 6 小时，乙单独完成全部工程需 9 小时． 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1 ，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 例 2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少？ 0 180 200 列分式方程解决行程问题 二 路程 速度 时间 面包车 小轿车 200 180 x +10 x 分析： 设小轿车的速度为 x 千米 / 小时 面包车的时间 = 小轿车的时间 等量关系： 列表格如下： 解： 设小轿 车的速度为 x 千米 / 小时， 则面包 车速度为 x +10 千米 / 小时，依题意得 解得 x ＝ 9 0 经检验， x ＝ 9 0 是原方程的解， 且 x = 9 0 ， x +10 = 10 0 ，符合题意 . 答：面包车的速度为 10 0 千米 / 小时， 小轿车的速度为 9 0 千米 / 小时 . 注意两次检验 : (1) 是否是所列方程的解 ; (2) 是否满足实际意义 . 做一做 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少？ 0 180 200 300 解： 设小轿车 提速为 x 千米 / 小时，依题意得 解得 x ＝ 3 0 经检验 ， x ＝ 3 0 是原方程的解，且 x = 3 0 ， 符合题意 . 答：小轿车提速为 3 0 千米 / 小时 . 列分式方程解应用题的一般步骤 1. 审 : 清题意，并设未知数； 2. 找 : 相等关系； 3. 列 : 出方程； 4. 解 : 这个分式方程； 5. 验 : 根（包括两方面 :(1) 是否是分式方程的根； (2) 是否符合题意）； 6. 写 : 答案 . 例 3 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴 200 元，若同样用 11 万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多 10% ，则该款空调补贴前的售价为多少元 ？ 分析：本题涉及的等量关系为 补贴前 11 万元购买的台数 ×(1+10%) = 补贴后 11 万元购买的台数 . 解 ： 设该款空调补贴前的售价为每台 x 元， 由上述等量关系可得如下方程： 即 方程两边同乘最简公分母 x ( x - 200 ) ， 解得 x = 2200 . 得 1.1 ( x - 200 ) = x . 检验：把 x = 2200 代入 x ( x - 200 ) 中，它的值不等于 0 ， 因此 x = 2200 是原方程的根，且符合题意 . 答：该款空调补贴前的售价为每台 2200 元 . 当堂练习 1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 ( 　　 ) A 2. 一轮船往返于 A 、 B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达 . 已知 A 、 B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米 / 小时，求轮船在静水中的速度 . x = － 18 （不合题意，舍去）， 解：设船在静水中的速度为 x 千米 / 小时 , 根据题意得 解得 x =±18. 检验得： x =18. 答：船在静水中的速度为 18 千米 / 小时 . 方程两边同乘 （ x -2)( x +2) 得 80 x +160 － 80 x +160= x 2 － 4. 3. 农机厂到距工厂 15 千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度 . 解：设自行车的速度为 x 千米 / 时，那么汽车的速度是 3 x 千米 / 时，依题意得： 解得 x=15. 经检验， x = 15 是原方程的根 . 由 x ＝ 15 得 3 x =45. 答：自行车的速度是 15 千米 / 时，汽车的速度是 45 千米 / 时 . 4. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 解：设排球的单价为 x 元，则篮球的单价为 ( x ＋ 60) 元，根据题意，列方程得 解得 x ＝ 100. 经检验， x ＝ 100 是原方程的根，当 x ＝ 100 时， x ＋ 60 ＝ 160. 答：排球的单价为 100 元，篮球的单价为 160 元． 5. 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10% ，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50% 售完剩余的水果． (1) 求第一次水果的进价是每千克多少元？ 解析：根据第二次购买水果数多 20 千克，可得出方程，解出即可得出答案； 解： (1) 设第一次购买的单价为 x 元，则第二次的单价为 1.1 x 元， 根据题意得 ， 解得 x ＝ 6. 经检验， x ＝ 6 是原方程的解． 答：第一次水果的进价为每千克 6 元． (2) 该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析： (2) 先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量 ×( 实际售价－当次进价 ) ，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． (2) 第一次购买水果 1200÷6 ＝ 200( 千克 ) ． 第二次购买水果 200 ＋ 20 ＝ 220( 千克 ) ． 第一次赚钱为 200×(8 － 6) ＝ 400( 元 ) ， 第二次赚钱为 100×(9 － 6.6) ＋ 120×(9×0.5 － 6.6) ＝ － 12( 元 ) ． 所以两次共赚钱 400 － 12 ＝ 388( 元 ) ． 课堂小结 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二设三找四列五解六验七写 321 法 小结与复习 第 1 章 分式 1. 分式的定义 : 2. 分式 有意义 的条件 : g ≠0 分式 无意义 的条件 : g = 0 分式 值为 0 的条件 : f =0 且 g ≠0 一、分式的概念及基本性质 类似地，一个 整 式 f 除以一个非零 整 式 g （ g 中含有字母） ，所得的商记作 , 把代数式 叫作 分式 ，其中 f 是分式的分子， g 是分式的分母， g ≠ 0. 要点梳理 即对于分式 ，有 分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等 . 3 . 分式的基本性质 分式的符号法则 : 1. 分式的乘除法法则 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 2. 分式的加减 （ 1 ）同分母分式相加减 （ 2 ）异分母分式加减时需通分化为同分母分式加减 . 这个相同的 分母叫公分母 . ( 确定公分母的方法 : 一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为公分母 ) 二、分式的运算 三、整数指数幂 ( a ≠0, m、n 为正整数且 m > n ) （ a ≠0 ， n 为正整数） 2.0 次幂、负整数指数幂： 1. 同底数幂除法： 3. 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数： 0.00 … 01 n 个0 1. 解分式方程的思路： 运用 转化思想 把分式方程去分母转化成整式方程求解 . （ 3 ） 验： 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的 值不为 0 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解，而是其增根，舍去； 2. 解分式方程的一般步骤： （ 1 ） 化： 方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式 方程； （ 2 ） 解： 解这个整式方程； （ 4 ） 写根： 写出原方程的根 . 四、分式方程及其应用 3. 列分式方程解应用题的一般步骤： （ 1 ） 审： 审清题意，弄清楚已知量和未知量的关系； （ 2 ） 找： 找出题目中的等量关系； （ 3 ） 设： 根据题意设出未知数； （ 4 ） 列： 列出分式方程； （ 5 ） 解 ： 解这个分式方程； （ 6 ） 验： 检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程 的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义； （ 7 ） 答： 写出答案 . 考点一 分式的值为 0 ，有、无意义 例 1 如果分式 的值为 0 ，那么 x 的值为 . 【 解析 】 根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0 ，列出关于 x 的方程，求出 x 的值，并检验当 x 的取值时分式的分母的对应值是否为零 . 由题意可得： x 2 -1=0 , 解得 x =±1 . 当 x =-1 时， x +1=0 ; 当 x =1 时， x +1 ≠0. 【 答案 】 1 考点讲练 1 分式有意义的条件是分母不为 0 ；分式无意义的条件是分母的值为 0 ；分式的值为 0 的条件是：分子为 0 而分母不为 0 . 2. 如果分式 的值为零，则 a 的值为 . 4 方法总结 针对训练 1. 若分式 无意义，则 a 的值为 . -3 考点二 分式的有关计算 例 2 已知分式 x =2, y = 1 ， 求 值 . 【 解析 】 本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值 . 把 x = 2 , y =1 代入得 解 : 原式 = 原式 = 对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值 . 但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法 . 方法总结 3 . 已知 x 2 -5 x +1=0 , 求出 的值 . 解： 因为 x 2 -5 x +1=0, 得 即 又因为 针对训练 考点三 分式方程的解法 例 3 解下列分式方程：                      【 解析 】 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可确定出分式方程的解． 解：（ 1 ）去分母得 x +1+ x ﹣1=0 ，解得 x =0 ， 经检验 x =0 是分式方程的解； （ 2 ）去分母得 x ﹣4=2 x +2﹣3 ，解得 x =﹣3 ， 经检验 x =﹣3 是分式方程的解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 方法总结 解：最简公分母为（ x +2 ）（ x ﹣2 ）， 去分母得（ x ﹣2 ） 2 ﹣ （ x +2 ）（ x ﹣2 ） =16 ， 整理得 ﹣4 x +8=16 ，解得 x =﹣2 ， 经检验 x =﹣2 是增根，故原分式方程无解． 针对训练 考点四 分式方程的增根 例 4 若分式方程 有增根 x =2 , 求 a 的值 . 【 解析 】 增根是分式方程化成整式方程的根，是使最简公分母为 0 的未知数的值 . 分式方程 去分母得 a ( x +2)+1+2( x +2)( x -2)=0 ， 若原分式方程有增根 x =2, 即可求出 a . 解：原分式方程去分母，得 a ( x +2)+1+2( x +2)( x -2)=0 ， 把 x =2 代入所得方程，得 4 a +1=0, a = , ∴ 当 a = 时， x =2. 分式方程的增根必须满足两个条件：第一能使原分式方程的最简公分母的值为 0 ；第二是原分式方程去掉分母后得到的整式方程的解 . 5. 关于 x 的方程 有增根，求 m 的值 . 解：若分式方程有增根 , 则增根必须使 2 x -6=0 , 所以增根为 x =3 . 原方程可化为 2 （ x -1)= m 2 , 把 x =3 代入得 m =±2 . 方法总结 针对训练 例 5 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支 . 求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得 解得 x =4. 经检验，故 x =4 原分式方程的解 . 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元 . 考点五 分式方程的实际应用 在实际问题中，列分式方程的方法与列一元一次方程解应用题的方法相同，不同之处在于列方式方程解应用题时，既要检验是不是所列分式方程的解，又要检验是否符合实际的意义 . 方法总结 6. 某市在道路改造过程中，需要甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设 20 米，且甲工程队铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同．问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？ 解：设乙工程队每天能铺设 x 米； 则甲工程队每天能铺设（ x +20 ）米， 依题意，得 ， 解得 x =50 ， 经检验， x =50 是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每天能铺设 70 米，乙工程队每天能铺设 50 米． 针对训练 考点六 本章数学思想和解题方法 主元法 例 6 已知： ，求 的值 . 【 解析 】 由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式，得 ，代入约分即可求值 . 解： ∵ ， ∴ . ∴ 已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值 . 这种方法即是 主元法 ，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元 . 那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用 . 归纳拓展 7. 已知 ，求 的值 . 解： 由 ，得 ， 把 代入可得原式 = 本题还可以由已知条件设 x =2 m , y =3 m . 针对训练 整体代入法 例 7 解方程组 【 解析 】 将 看作一个整体，再由 ① + ② + ③ 可得 的值，再分别用该值减去 ①、 ② 、③ 可求出 x 、 y 、 z 的值 . 解： 由 ① + ② + ③ ，得 ④ ， 由④ - ①， ④ - ②， ④ - ③ 分别得 所以 分式方程组的解法也有一定的灵活性，关键是根据每个问题的特点，选择适当的解答方法，特别提倡“一看，二慢，三通过”的好习惯 . 8 . 若 ab =1 , 求 的值 . 解： ∵ ab =1 , ∴ 原式 = 归纳拓展 针对训练 分式 分式 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二设三列四解五检六写，尤其不要忘了验根 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法及增根求值问题 课堂小结