2020人教版数学八年级上册第1、2章知识点梳理归纳总结 （第一次月考） 15页

八年级上册数学月考复习提纲(人教版) 第十一章 三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫 做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公 共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的 顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 (2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三 角形的中线。 (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的 线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定 性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东 西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： (1)三角形有三条线段 (2)三条线段不在同一直线上,三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接 三角形用符号“  ”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作 “  ABC”，读作“三角形 ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形(有一个角为直角的三角形) 三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 斜三角形 钝角三角形(有一个角为钝角的三角形) 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角 三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 (2)三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大 边；大边对大角。 8、三角形的面积= 2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组 成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 多边形 分类 1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形 叫做正多边形。 分类 2： 非正多边形： 1、n 边形的内角和等于 180°(n-2)。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于 360°。 3、n 边形的对角线条数等于 1/2·n(n-3) 知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成 的图形叫做多边形. (1)多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个 n 边形 有 n 个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 外角。 (2)在定义中应注意： ①一些线段(多边形的边数是大于等于 3 的正整数)； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了 排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一 条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则 此多边形为凸多边形，反之为凹多边形(见图 1).本章所讲的多 边形都是指凸多边形. 凸多边形 凹多边形 图 1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边 形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的 多边形． 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三 角形、正方形、正五边形等。 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四 边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相 等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做 多边形的对角线. 如图 2，BD 为四边形 ABCD 的一条对角线。 要点诠释： (1)从 n 边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将 多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n 边形共有 条对角线。 证明： 过一个顶点有 n－3 条对角线(n≥3 的正整数)，又 ∵共有 n 个顶 点，∴共有 n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸 n 边形，共有 条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：n 边形的内角和为 . 2.公式的证明： 证法 1：在 边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来， 共构成 个三角形，这 n 个三角形的内角和为 n·180o，再减去 一个周角，即得到 n 边形的内角和为(n-2)·180o. 证法 2：从 n 边形一个顶点作对角线，可以作(n-3)条对角线， 并且 n 边形被分成(n-2).个三角形，这(n-2).个三角形内角和恰 好是 n 边形的内角和，等于(n-2)·180o.. 证法 3：在 n 边形的一边上取一点与各个顶点相连，得 个 三角形，n 边形内角和等于这 个三角形的内角和减去所 取的一点处的一个平角的度数， 即 . 要点诠释 (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形 问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于 360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的 外角都是邻补角，所以 n 边形的内角和加外角和为 ，外 角和等于 . 注意：n 边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： ①n 边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多 边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180°。 ②多边形的外角和等于 360°，与边数的多少无关。 知识点六：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆 盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这 里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一 个顶点处各正多边形的内角之和为 360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图 形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特 点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好 组成一个周角 360°时，就能铺成一个平面图形。 事实上，正 n 边形的每一个内角为 ，要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样 360°＝ ，由此导出 k＝ ＝2＋ ，而 k 是正整数，所 以 n 只能取 3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只 有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于 360°。所以用一批形状、 大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地 板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键 是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。 例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形 与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下 图： 又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一 起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个 周角 360°。 规律方法指导 1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少， 内角和减少. 每增加一条边，内角的和就增加 180°(反过来也 成立)，且多边形的内角和必须是 180°的整数倍. 2．多边形外角和等于 360°，与边数的多少无关. 3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角(如矩形)； 多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角. 4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方 程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法. 5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关 的角来解决. 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基 础，同时注意转化思想在数学中的应用. 考查形式 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 类型二：多边形对角线公式的运用 类型三：可转化为多边形内角和问题 类型四：实际应用题 类型五：镶嵌问题 第十二章 全等三角形 一、全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形 经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形有哪些性质 (1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2)全等三角形的周长相等、面积相等。 (3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别 相等。 3、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写 成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简 写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等(可简写成“HL”) 二、角的平分线： 1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题： (1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同 含义； (2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应 的位置上； (3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相 等”的两个三角形不一定全等； (4)时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对 顶角” 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三 角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫 做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对 应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形 中有公共端点的两边所成的角。 2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读 作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： (1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等(可简写成“边角边”或“SAS”) (2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成 “边边边”或“SSS”)。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理(斜 边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等 变换。 全等变换包括一下三种： (1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变 换。 (2)对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这种变换叫做对称 变换。 (3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置， 这种变换叫做旋转变换。