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  • 2021-11-01 发布

八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线教学课件新版北师大版

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教学课件 数学 八 年级 下 册 BS 第一章 三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线 已知:如图,在△ ABC 和△ DEF 中, AP 、 DQ 分别是高,并且 AB = DE , AP = DQ ,∠ BAC =∠ EDF . 求 证:△ ABC ≌ △ DEF. A B C P D E F Q 知识回顾 A B C P D E F Q 变式 1 :若把∠ BAC =∠ EDF , 改为 BC = EF ,△ ABC 与△ DEF 全等吗?请说明思 路 . 变式 2 :若把∠ BAC =∠ EDF , 改为 AC = DF ,△ ABC 与△ DEF 全等吗?请说明思 路 . 变式 3 :请你把例题中的∠ BAC =∠ EDF 改为另一个适当条件,使△ ABC 与△ DEF 仍能全 等,并给出证明 . 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平 分线 上的点到这条线段两个端 点的距 离相等.你能证 明这 一结论吗? 情境引入 定理:线 段垂 直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等 . 已知:如图,直线 MN ⊥ AB ,垂 足为 C ,且 AC = BC , P 是 MN 上任意一点. 求证: PA = PB . A C B P M N 自主预习 A C B P M N 证明:∵ MN ⊥ AB , ∴∠ PCA =∠ PCB =90 ° . 又∵ AC = BC , PC = PC , ∴△ APC ≌△ BPC (SAS ) . ∴ PA = PB . 如果点 P 与点 C 重合, 那么结论显然成 立 . 几何语言描述 A C B P M N 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一 . 如图, ∵ AC = BC , MN ⊥ AB , P 是 MN 上任意一点 ( 已知 ), ∴ PA = PB ( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ). 思考:你能写 出定理 “线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距 离相等”的 逆命 题吗? 逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗?如果是 , 请给出证明. 新知探究 已知 : 如图 , PA = PB . 求证 : 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . A B P A C B P 证明: (方法一) 过点 P 作 PC ⊥ AB ,垂足为 C . ∵ PC ⊥ AB , ∴ △ APC 和△ BPC 都是直角三角形 . ∵ PC = PC , PA = PB , ∴ Rt△ APC ≌Rt△ BPC (HL ), ∴ AC = BC (全等三角形的对应边相等 ), ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . A C B P . (方法二) 把线段 AB 的中点记为 C , 连接 PC . ∵ C 为 AB 的中 点, ∴ AC = BC . 又∵ PA = PB , PC = PC , ∴△ APC ≌△ BPC (SSS ), ∴∠ PCA =∠ PCB =90 °, ∴ PC ⊥ AB , 即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . 逆定 理:到 一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 . 几何语言描述: 如图, ∵ PA = PB (已知), ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). 提示 : 这个结论是经常用来证明点在直线上 ( 或直线经过某一点 ) 的根据之一 . A B P 例 1 已 知:如图 , 在 △ ABC 中, AB = AC , O 是 △ ABC 内一点,且 OB = OC . 求证:直线 AO 垂直平分线段 BC . 证明:∵ AB = AC , ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上( 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上), 同理,点 O 在线段 BC 的垂直平分线上 , ∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线). 1 . 如图,已知 AB 是线段 CD 的 垂直平分线, E 是 AB 上的一 点,如果 EC =7 cm ,那么 ED = cm;如果∠ ECD =60 ° , 那 么∠ ED C= ° . E D A B C 7 60 随堂练习 2.如图,在△ ABC 中,已知 AC =27, AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ,交 AC 于点 E ,△ BCE 的周长等于50,求 BC 的长. B A E D C 解:∵ DE 为 AB 的垂直平分 线, ∴ AE = BE . ∵△ BCE 的周长等于 50, ∴ BE + EC + BC =50,即 AE + EC + BC =50 . ∴ AC + BC =50 . ∵ AC =27,∴ BC =23 . 比一比:你的写作过程完整吗? 3.已知:如图 , AB = AC , BD = CD , P 是 AD 上一 点 . 求证: PB = PC . P B D C A 证明 :∵ AB = AC , ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线 上 . ∵ BD = CD , ∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线 上, ∴ AD 所在的直线是 线段 BC 的垂直平分 线 . ∵ P 是 AD 上一 点, ∴ PB = PC . 3.已知:如图 , AB = AC , BD = CD , P 是 AD 上一点 求证: PB = PC . 深入探索:你还有其他的证明方法吗? P B D C A 1 . 线段垂直平分线的定理及证明 2 . 线段垂直平分线的逆定理及证明 3 . 两个定理之间的区别与联系 知识梳理