八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线教学课件新版北师大版 20页

教学课件 数学 八 年级 下 册 BS 第一章 三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线 已知：如图，在△ ABC 和△ DEF 中, AP 、 DQ 分别是高,并且 AB = DE , AP = DQ ,∠ BAC =∠ EDF . 求 证：△ ABC ≌ △ DEF. A B C P D E F Q 知识回顾 A B C P D E F Q 变式 1 ：若把∠ BAC ＝∠ EDF , 改为 BC ＝ EF ，△ ABC 与△ DEF 全等吗？请说明思 路 . 变式 2 ：若把∠ BAC ＝∠ EDF , 改为 AC = DF ，△ ABC 与△ DEF 全等吗？请说明思 路 . 变式 3 ：请你把例题中的∠ BAC ＝∠ EDF 改为另一个适当条件，使△ ABC 与△ DEF 仍能全 等，并给出证明 . 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平 分线 上的点到这条线段两个端 点的距 离相等.你能证 明这 一结论吗? 情境引入 定理：线 段垂 直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等 . 已知:如图,直线 MN ⊥ AB ,垂 足为 C ，且 AC = BC , P 是 MN 上任意一点. 求证: PA = PB . A C B P M N 自主预习 A C B P M N 证明：∵ MN ⊥ AB ， ∴∠ PCA =∠ PCB =90 ° . 又∵ AC = BC , PC = PC ， ∴△ APC ≌△ BPC (SAS ) . ∴ PA = PB . 如果点 P 与点 C 重合， 那么结论显然成 立 . 几何语言描述 A C B P M N 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一 . 如图， ∵ AC = BC , MN ⊥ AB , P 是 MN 上任意一点 ( 已知 ), ∴ PA = PB ( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ). 思考：你能写 出定理 “线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距 离相等”的 逆命 题吗? 逆命题： 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗?如果是 , 请给出证明. 新知探究 已知 : 如图 , PA = PB . 求证 : 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . A B P A C B P 证明： （方法一） 过点 P 作 PC ⊥ AB ,垂足为 C . ∵ PC ⊥ AB ， ∴ △ APC 和△ BPC 都是直角三角形 . ∵ PC = PC , PA = PB ， ∴ Rt△ APC ≌Rt△ BPC (HL )， ∴ AC = BC (全等三角形的对应边相等 )， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . A C B P . （方法二） 把线段 AB 的中点记为 C , 连接 PC . ∵ C 为 AB 的中 点， ∴ AC = BC . 又∵ PA = PB , PC = PC ， ∴△ APC ≌△ BPC (SSS )， ∴∠ PCA =∠ PCB =90 °， ∴ PC ⊥ AB ， 即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . 逆定 理：到 一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 . 几何语言描述： 如图, ∵ PA = PB (已知), ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). 提示 : 这个结论是经常用来证明点在直线上 ( 或直线经过某一点 ) 的根据之一 . A B P 例 1 已 知：如图 ， 在 △ ABC 中， AB = AC ， O 是 △ ABC 内一点，且 OB = OC . 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC ． 证明：∵ AB = AC ， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（ 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上）， 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上 , ∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）． 1 . 如图,已知 AB 是线段 CD 的 垂直平分线, E 是 AB 上的一 点,如果 EC =7 cm ,那么 ED = cm;如果∠ ECD =60 ° , 那 么∠ ED C= ° . E D A B C 7 60 随堂练习 2.如图,在△ ABC 中,已知 AC =27, AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ,交 AC 于点 E ,△ BCE 的周长等于50,求 BC 的长. B A E D C 解：∵ DE 为 AB 的垂直平分 线， ∴ AE = BE . ∵△ BCE 的周长等于 50， ∴ BE + EC + BC =50，即 AE + EC + BC =50 . ∴ AC + BC =50 . ∵ AC =27，∴ BC =23 . 比一比：你的写作过程完整吗？ 3.已知：如图 ， AB = AC ， BD = CD ， P 是 AD 上一 点 . 求证： PB = PC . P B D C A 证明 ：∵ AB = AC ， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线 上 . ∵ BD = CD ， ∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线 上， ∴ AD 所在的直线是 线段 BC 的垂直平分 线 . ∵ P 是 AD 上一 点， ∴ PB = PC . 3.已知：如图 ， AB = AC ， BD = CD ， P 是 AD 上一点 求证： PB = PC . 深入探索：你还有其他的证明方法吗？ P B D C A 1 . 线段垂直平分线的定理及证明 2 . 线段垂直平分线的逆定理及证明 3 . 两个定理之间的区别与联系 知识梳理