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- 2021-11-01 发布
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教学课件
数学
八
年级
下
册
BS
第一章
三角形的证明
1.4
角平分线
第
1
课时
1.
会证明角平分线的性质定理和判定定理
.
2.
能运用角平分线的性质定理解决问题
.
如图
,107
国道
OA
和
320
国道
OB
在某市相交于点
O
,
在∠
AOB
的内部有工厂
C
和
D
.
现要修建一个货站
P
,
使
P
到国道
OA
和
OB
的距离相等
,
且到工厂
C
,
D
的距离也相等
.
如果你是设计师
,
你会怎样解决这个问题呢
?
1.
如图
,
在△
ABC
中
,∠
C
=90°
,
AD
是∠
BAC
的平
分线
,
DE
⊥
AB
于点
E
,
点
F
在
AC
上
,
BD
=
DF
.
求
证
:(1)
CF
=
EB
;
(2)
AB
=
AF
+2
EB
.
证明:(
1
)
∵
AD
是∠
BAC
的平分线,
DE
⊥
AB
,
DC
⊥
AC
,
∴
DE
=
DC
.
在
Rt△
DCF
和
Rt△
DEB
中,
∴
Rt△
DCF
≌
Rt△
DEB
(
HL
)
.
∴
CF
=
EB.
2.
如图
,
在△
ABC
中
,
D
是
BC
的中点
,
DE
⊥
AB
,
DF
⊥
AC
,
垂足
分别
是
E
,
F
,
BE
=
CF
.
求
证
:
AD
是△
ABC
的角平分线
.
证明:
∵
DE
⊥
AB
,
DF
⊥
AC
,
∴△
BDE
和△
CDF
是直角三角形
.
∵
BD
=
DC
,
BE
=
CF
,
∴
Rt
△
BDE
≌
Rt
△
CDF
(
HL
)
.
∴
DE
=
DF
.
又∵
DE
⊥
AB
,
DF
⊥
AC
,
∴
AD
是
△
ABC
的角平分线
.
1.
角平分线的性质定理
:
角平分线上的点到这个
角的
相
等
.
2.
角平分线的判定定理
:
在一个角的内部
,
且
的
点
,
在这个角的平分线上
.
两边的距离
到角的两边距离相等
第
2
课时
1.
会证明三角形三个内角的平分线的性质定理
.
2.
会运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题
.
某市有一块由三条马路围成的三角形绿地
(
如图
),
现准备在其中建一
个亭子供
人
们休憩
,
要使
亭子中
心到三条马路的距离相等
.
你能确
定亭子中
心的位置吗
?
1.
如图
,
在△
ABC
中
,
E
是∠
BAC,
∠
CBD
的平分线的交点
.
求证
:
点
E
在外角∠
BCF
的平分线上
.
证明
:
过点
E
作
EG
⊥
AB
,
EH
⊥
BC
,
EP
⊥
AC
,
垂足分别为
G, H, P
.
∵
AE
平分∠
BAC
,
EG
⊥
AB
,
EP
⊥
AC
,
∴
EG
=
EP
.
∵
BE
平分∠
CBG
,
EG
⊥
AB
,
EH
⊥
BC
,
∴
EG
=
EH
.
∴
EH
=
EP
,
又
∵
EP
⊥
AC
,
EH
⊥
BC
,
∴
点
E
在∠
BCF
的平分线上
.
2.
在△
ABC
中
,
AC
=
BC
,∠
C
=90°,
AD
平分∠
BAC
,
DE
⊥
AB
于点
E
.
(1)
求证
:
BD+DE=AC
;
(2)
已知
AB
=15 cm,
求△
DBE
的周长
;
(3)
已知
AC
=4 cm,
求
CD
的长
.
(2)
解
:∵
CD
=
DE
,
AD
=
AD
,
∠
C
= ∠
AED
=90
°,
∴Rt△
ACD
≌ Rt△
AED
(
HL
)
, ∴
AC
=
AE
.
∵
AC
=
BD
+
DE
,∴
BD
+
DE
=
AE
.
∴
△
BDE
的周长
=
BD
+
DE
+
BE
=
AE
+
BE
=
AB
=15(cm).
(1)
证明
:∵
AD
平分∠
BAC
,
DE
⊥
AB
,∠
C
=90°,
∴
CD
=
DE
.
∵
BC
=
BD
+
CD
,
∴
BC
=
BD
+
DE
.
∵
AC
=
BC
,∴
AC
=
BD
+
DE
.
(3)
解
:∵
AC
=
BC
,
∴
∠
B
= ∠
BAC
.
∵∠
C
=90°,
∴
∠
B
= 90°=45°.
∴
∠
BDE
= 90°-45°=45°
.
∴
BE
=
DE
.
在
△
ABC
中,
AB
= .
∵
AC
=
AE
,
∴
BE
= .
∵
CD
=
DE
,
BE
=
DE
,
∴
CD
= (cm).
1.
三角形三条角平分线的性质定理
:
三角形的三条角平分线
相交
于一点
,
并且这一点到
________
的距离相等
.
2.
三角形三个内角平分线的交点只有一个
,
实际作图时
,
只
需作
出两个角的平分线
,
第三个角的平分线必过这两条角平
分线
的交点
.
3.
利用面积法求距离的方法
:
三角形角平分线的交点与三个
顶点
的连线
,
把原三角形分割成了三个小三角形
,
利用小三
角形
的面积之和等于原三角形的面积
,
是求角平分线交点到
三边
距离的常用方法
.
三条边
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