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  • 2021-11-01 发布

2019秋八年级数学下册第二十二章四边形22-6正方形教学课件(新版)冀教版

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导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 22.6 正方形 第二十二章 四边形 学习目标 1.探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别;(重点、难点) 2.探索并证明正方形的判定,并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别;(重点、难点) 3.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点) 导入新课 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形, 在生活中无处不在. 情景引入 你还能举 出其他的 例子吗? 讲授新课 矩 形 〃 〃 问题1:矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现? 问题引入 正方形的性质一 正方形 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现? 正方形 邻边相等矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义: 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形叫正方形. 归纳总结 已知:如图,四边形ABCD是正方形. 求证:正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明:∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形(矩形的定义), 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 证一证 已知:如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD 相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明:∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系: 性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的 对称中心. 正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线, 以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形,又是矩形,因此: 知识要点 A B C D 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形. A D CB O 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 典例精析 D A B C E 例2 如图,在正方形ABCD中, ΔBEC是等边三角形, 求证: ∠EAD=∠EDA=15° . 证明:∵ ΔBEC是等边三角形, ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°, ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°, ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°, ∴△ABE,△DCE是等腰三角形, ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°, ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 【变式题1】四边形ABCD是正方形,以正方形 ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小. 解:当等边△ADE在正方形ABCD外部时,如图①, AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°. ∴∠AEB=15°. 同理可得∠DEC=15°. ∴∠BEC=60°-15°-15°=30°; 当等边△ADE在正方形ABCD内部时,如图②, AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°, ∴∠AEB=75°. 同理可得∠DEC=75°. ∴∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°. 综上所述,∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒:因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共 边,所以边相等.本题分两种情况:等边△ADE在正 方形的外部或在正方形的内部. 【变式题2】 如图,在正方形ABCD内有一点P满足 AP=AB,PB=PC,连接AC、PD. (1)求证:△APB≌△DPC; 解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=∠DCB=90°. ∵PB=PC, ∴∠PBC=∠PCB. ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB, 即∠ABP=∠DCP. 又∵AB=DC,PB=PC, ∴△APB≌△DPC. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAC=∠DAC=45°. ∵△APB≌△DPC, ∴AP=DP. 又∵AP=AB=AD, ∴DP=AP=AD. ∴△APD是等边三角形. ∴∠DAP=60°. ∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°. ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°. ∴∠BAP=2∠PAC. (2)求证:∠BAP=2∠PAC. 例3 如图,在正方形ABCD中,P为BD上一点, PE⊥BC于E, PF⊥DC于F.试说明:AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC,AC. 又∵PE⊥BC , PF⊥DC,∠DCB=90° ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, BD垂直平分AC, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=PC. ∴AP=EF. 在正方形的条件下证明两条线段相等:通常连接 对角线构造垂直平分的模型,利用垂直平分线性质, 角平分线性质,等腰三角形等来说明. 归纳 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质( ) A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 练一练 2.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD 相交于点O,AO=2,求正方形的周长与面积. 解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,OA=OD=2. 在Rt△AOD中,由勾股定理,得 ∴正方形的周长为4AD= , 面积为AD2=8. 2 2 2 2,AD AO OD   8 2 正方形的判定二 活动1 准备一张矩形的纸片,按照下图折叠,然后展 开,折叠部分得到一个正方形,可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形? 矩形 正方 形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知:如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ,∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B CD O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形? 正方 形 一个角是直角 对角线相等 已知:如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形, ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B CD O 对角线相等的菱形是正方形. 正方形判定的几条途径: 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角, 一组邻边相等, 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四 边形 正方形一组邻边相等 一内角是直角 在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判 定这个四边形是正方形的是( ) A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠DAB=∠BCD C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 练一练 C A B CD O 例4 在正方形ABCD中,点E、F、M、N分别在各边 上,且AE=BF=CM=DN.四边形EFMN是正方形吗? 为什么? 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN, ∴AN=BE=CF=DM. 分析:由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM,得四边形EFMN 是菱形,再证有一个角是直角即可. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中, AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形, ∠NEF=180°-(∠AEN+∠BEF) =180°-(∠AEN+∠ANE) =180°-90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .  证明:∵ DE⊥AC,DF⊥AB , ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °, ∴四边形ADFC是矩形. 过点D作DG⊥AB,垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC,DG⊥AB, ∴ DE=DG. 同理得DG=DF, ∴ED=DF, ∴四边形ADFC是正方形. 例5 如图,在直角三角形中,∠C=90°,∠A、∠B 的平分线交于点D.DE⊥AC,DF⊥AB.求证:四边形 CEDF为正方形. A B C D E F G 例6 如图,EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O, 且EG⊥FH.求证:四边形EFGH是正方形. 证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证:OE=OF=OG, B A C D OE H G F ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B OE H G F 例7 如图,正方形ABCD,动点E在AC上,AF⊥AC, 垂足为A,AF=AE. (1)求证:BF=DE; (2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变), 问四边形AFBE是什么特殊四边形?说明理由. (1)证明:∵正方形ABCD, ∴AB=AD,∠BAD=90°, ∵AF⊥AC,∴∠EAF=90°, ∴∠BAF=∠EAD, 在△ADE和△ABF中, AD=AB ,∠DAE=∠BAF ,AE=AF , ∴△ADE≌△ABF(SAS),∴BF=DE. (2)解:当点E运动到AC的中点时四边 形AFBE是正方形, 理由:∵点E运动到AC的中点,AB=BC, ∴BE⊥AC,BE=AE= AC, ∵AF=AE, ∴BE=AF=AE. 又∵BE⊥AC,∠FAE=∠BEC=90°, ∴BE∥AF, ∵BE=AF, ∴得平行四边形AFBE, ∵∠FAE=90°,AF=AE, ∴四边形AFBE是正方形. 1 2 思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形 各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各 边中点能得到菱形,那么顺次连接正方形各边中点能 得到怎样的特殊平行四边形? A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形任意四边形 平行四边形 菱形 正方形E F G H E F G H E F G H 2.一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是 (  ) A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3.在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . 4.在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB, 则∠EBC的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第1题图 第2题图 45° 5.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA =90°,请添加一个条件____________________, 可得出该四边形是正方形. AB=BC(答案不唯一) A B CD O 6.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC, ②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中, 选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形, 其中错误的是_________________(只填写序号).②③或①④ 7.如图,正方形ABCD的边长为1cm,AC为对角线, AE平分∠BAC,EF⊥AC,求BE的长. 解:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠B=90°,∠ACB=45°,AB=BC=1cm. ∵EF⊥AC,∴∠EFA=∠EFC=90°. 又∵∠ECF=45°, ∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=FC. ∵∠BAE=∠FAE,∠B=∠EFA=90°,AE=AE, ∴△ABE≌△AFE, ∴AB=AF=1cm,BE=EF. ∴FC=BE. 在Rt△ABC中, ∴FC=AC-AF=( -1)cm, ∴BE=( -1)cm. 2 2 2cm,AC AB BC   2 2 8.如图,在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂 足分别为M、N. (1) 求证:ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证:四边形MPND是正方形. C A B DP M N 证明:(1)∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (AAS). ∴∠ADB=∠CDB. 12 C A B DP M N (2)∵∠ADC=90°, 又∵PM⊥AD,PN⊥CD, ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB, ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形. 9.如图,△ABC中,D是BC上任意一点,DE∥AC, DF∥AB. ①试说明四边形AEDF的形状,并说明理由. ②连接AD,当AD满足什么条件时,四边形AEDF 为菱形,为什么? 解:①∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF为平行四边形. ②∵四边形AEDF为菱形, ∴AD平分∠BAC, 则AD平分∠BAC时,四边形AEDF为菱形. ③在②的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边 形AEDF为正方形,不说明理由. 解:由四边形AEDF为正方形 ∴∠BAC=90°, ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可. 课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 的性质 性质 定义 有一组邻相等,并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形. 课堂小结 5种判 定方法 三个角是直角 四条边相等 一 个 角 是 直 角 或 对 角 线 相 等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结