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- 2021-11-01 发布
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导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
22.6 正方形
第二十二章 四边形
学习目标
1.探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别;(重点、难点)
2.探索并证明正方形的判定,并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别;(重点、难点)
3.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证
和计算 . (难点)
导入新课
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形,
在生活中无处不在.
情景引入
你还能举
出其他的
例子吗?
讲授新课
矩 形
〃
〃
问题1:矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么
发现?
问题引入
正方形的性质一
正方形
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么
发现?
正方形
邻边相等矩形
〃
〃 正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角 正方形
∟
正方形定义:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边
形叫正方形.
归纳总结
已知:如图,四边形ABCD是正方形.
求证:正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B C
D
证明:∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC (正方形的定义).
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形(矩形的定义),
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
证一证
已知:如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD
相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B C
D
O
证明:∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
矩形 菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是
特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:
性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
归纳总结
正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的
对称中心.
正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线,
以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形,又是矩形,因此:
知识要点
A
B C
D
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四
个全等的等腰直角三角形.
A D
CB
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
典例精析
D
A
B
C
E
例2 如图,在正方形ABCD中, ΔBEC是等边三角形,
求证: ∠EAD=∠EDA=15° .
证明:∵ ΔBEC是等边三角形,
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°,
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°,
∴△ABE,△DCE是等腰三角形,
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°,
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
【变式题1】四边形ABCD是正方形,以正方形
ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小.
解:当等边△ADE在正方形ABCD外部时,如图①,
AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°.
∴∠AEB=15°.
同理可得∠DEC=15°.
∴∠BEC=60°-15°-15°=30°;
当等边△ADE在正方形ABCD内部时,如图②,
AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°,
∴∠AEB=75°.
同理可得∠DEC=75°.
∴∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°.
综上所述,∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒:因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共
边,所以边相等.本题分两种情况:等边△ADE在正
方形的外部或在正方形的内部.
【变式题2】 如图,在正方形ABCD内有一点P满足
AP=AB,PB=PC,连接AC、PD.
(1)求证:△APB≌△DPC;
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB.
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,
即∠ABP=∠DCP.
又∵AB=DC,PB=PC,
∴△APB≌△DPC.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵△APB≌△DPC,
∴AP=DP.
又∵AP=AB=AD,
∴DP=AP=AD.
∴△APD是等边三角形.
∴∠DAP=60°.
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°.
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°.
∴∠BAP=2∠PAC.
(2)求证:∠BAP=2∠PAC.
例3 如图,在正方形ABCD中,P为BD上一点,
PE⊥BC于E, PF⊥DC于F.试说明:AP=EF.
A
B C
D
P
E
F
解: 连接PC,AC.
又∵PE⊥BC , PF⊥DC,∠DCB=90°
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, BD垂直平分AC,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
在正方形的条件下证明两条线段相等:通常连接
对角线构造垂直平分的模型,利用垂直平分线性质,
角平分线性质,等腰三角形等来说明.
归纳
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质( )
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
B
D
练一练
2.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD
相交于点O,AO=2,求正方形的周长与面积.
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OD=2.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得
∴正方形的周长为4AD= ,
面积为AD2=8.
2 2 2 2,AD AO OD
8 2
正方形的判定二
活动1 准备一张矩形的纸片,按照下图折叠,然后展
开,折叠部分得到一个正方形,可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形?
矩形 正方
形
一组邻边相等
对角线互相垂直
已知:如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ,∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A B
CD
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观
察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形?
正方
形
一个角是直角
对角线相等
已知:如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形,
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A B
CD
O
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径:
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角,
一组邻边相等,
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四
边形
正方形一组邻边相等
一内角是直角
在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判
定这个四边形是正方形的是( )
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠DAB=∠BCD
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
练一练
C
A B
CD
O
例4 在正方形ABCD中,点E、F、M、N分别在各边
上,且AE=BF=CM=DN.四边形EFMN是正方形吗?
为什么?
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN,
∴AN=BE=CF=DM.
分析:由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM,得四边形EFMN
是菱形,再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中,
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形,
∠NEF=180°-(∠AEN+∠BEF)
=180°-(∠AEN+∠ANE)
=180°-90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
证明:∵ DE⊥AC,DF⊥AB ,
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °,
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB,垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC,DG⊥AB,
∴ DE=DG.
同理得DG=DF,
∴ED=DF,
∴四边形ADFC是正方形.
例5 如图,在直角三角形中,∠C=90°,∠A、∠B
的平分线交于点D.DE⊥AC,DF⊥AB.求证:四边形
CEDF为正方形.
A B
C
D
E F
G
例6 如图,EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,
且EG⊥FH.求证:四边形EFGH是正方形.
证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证:OE=OF=OG,
B
A
C
D
OE
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
OE
H
G
F
例7 如图,正方形ABCD,动点E在AC上,AF⊥AC,
垂足为A,AF=AE.
(1)求证:BF=DE;
(2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变),
问四边形AFBE是什么特殊四边形?说明理由.
(1)证明:∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵AF⊥AC,∴∠EAF=90°,
∴∠BAF=∠EAD,
在△ADE和△ABF中,
AD=AB ,∠DAE=∠BAF ,AE=AF ,
∴△ADE≌△ABF(SAS),∴BF=DE.
(2)解:当点E运动到AC的中点时四边
形AFBE是正方形,
理由:∵点E运动到AC的中点,AB=BC,
∴BE⊥AC,BE=AE= AC,
∵AF=AE,
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC,∠FAE=∠BEC=90°,
∴BE∥AF,
∵BE=AF,
∴得平行四边形AFBE,
∵∠FAE=90°,AF=AE,
∴四边形AFBE是正方形.
1
2
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形
各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各
边中点能得到菱形,那么顺次连接正方形各边中点能
得到怎样的特殊平行四边形?
A
B C
D
A
B C
D A
B C
D
矩形 正方形任意四边形
平行四边形 菱形 正方形E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
2.一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是
( )
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直且相等
A
当堂练习
3.在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= ,
∠BOC= .
4.在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,
则∠EBC的度数是 .
A D
B C
O
A D
B C
O
E
45°
90°
22.5°
第1题图 第2题图
45°
5.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°,请添加一个条件____________________,
可得出该四边形是正方形.
AB=BC(答案不唯一)
A B
CD
O
6.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,
②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,
选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,
其中错误的是_________________(只填写序号).②③或①④
7.如图,正方形ABCD的边长为1cm,AC为对角线,
AE平分∠BAC,EF⊥AC,求BE的长.
解:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=90°,∠ACB=45°,AB=BC=1cm.
∵EF⊥AC,∴∠EFA=∠EFC=90°.
又∵∠ECF=45°,
∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=FC.
∵∠BAE=∠FAE,∠B=∠EFA=90°,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE,
∴AB=AF=1cm,BE=EF.
∴FC=BE.
在Rt△ABC中,
∴FC=AC-AF=( -1)cm,
∴BE=( -1)cm.
2 2 2cm,AC AB BC
2
2
8.如图,在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分
ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂
足分别为M、N.
(1) 求证:ADB=CDB;
(2) 若ADC=90,求证:四边形MPND是正方形.
C
A
B DP M
N
证明:(1)∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (AAS).
∴∠ADB=∠CDB.
12
C
A
B DP M
N
(2)∵∠ADC=90°,
又∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
9.如图,△ABC中,D是BC上任意一点,DE∥AC,
DF∥AB.
①试说明四边形AEDF的形状,并说明理由.
②连接AD,当AD满足什么条件时,四边形AEDF
为菱形,为什么?
解:①∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF为平行四边形.
②∵四边形AEDF为菱形,
∴AD平分∠BAC,
则AD平分∠BAC时,四边形AEDF为菱形.
③在②的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边
形AEDF为正方形,不说明理由.
解:由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可.
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
的性质
性质
定义
有一组邻相等,并且有一个角是
直角的平行四边形叫做正方形.
课堂小结
5种判
定方法
三个角是直角
四条边相等
一
个
角
是
直
角
或
对
角
线
相
等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
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