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- 2021-11-01 发布
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第十一章
三角形
11.2与三角形有关的
角
第3课时
1.理解并掌握三角形的外角的概念.
2.能够在能够复杂图形中找出外角.(难点)
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的内角和.(重点)
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
学习目标
导入新课 复习引入
1.在△ABC中,∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角?其内角和等于多少?
48 °
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角,
它们的和是180 °.
2.如图,在△ABC中, ∠A=70°, ∠B=60°,则
∠ACB= ,∠ACD= .
A
B C D
50 ° 130°
B
D C
AO
● 40
°
70
°
? ●
● ●
问题:发现懒羊羊独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方
式,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村
的去路,红太狼则直接在A处拦截懒羊羊,已知∠BAC=40° ,
∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处?
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD,你会吗?
思考:像∠BCD这样的角有什么特征吗?猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D C
AO
● 40 ° 70 °
? ●
● ●
由三角形内角和易得∠BCA=180°-∠A-∠CBA=70°,
所以∠BCD=180°-∠BCA=110°.
讲授新课
u定义
如图,把△ABC的一边BC延长,得到∠ACD,像这
样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫
做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
三角形的外角的概念
问题1 如图,延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角?
∠DCE是不是△ABC的一个外角?
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角,∠ACD =∠BCE;
CB
A
D
∠BCE是△ABC的一个
外角,∠DCE不是
△ABC的一个外角.
问题2 如图,∠ACD与∠BCE有什么关系?在三角形的每个顶
点处有多少个外角?
A
B C
画一画 画出△ABC的所有外角,共有几个呢?
每一个三角
形都有6个外
角.
每一个顶点
相对应的外角
都有2个,且这
2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件:
①角的顶点是三角形的顶点;
②角的一边是三角形的一边;
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
CB
A
D
每一个三角形都有6个外角.
总结归纳
F
A
B C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角?∠AEC是哪个三
角形的外角?∠EFD是哪个三角形的外角?
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF
的外角.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图,△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系?
∠BCD与∠ACB互补.
三角形的外角的性质
问题2 如图,△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角
(∠A,∠B)有什么关系?
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠BCD+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的
方法证明此结论吗?
D
证明:过C作CE平行于AB,
A
B C
12
∴∠1= ∠B,
(两直线平行,同位角相等)
∠2= ∠A ,
(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知:如图,△ABC,求证:∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
u三角形内角和定理的推论
A
B C D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
u应用格式:
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
练一练:说出下列图形中∠1和∠2的度数:
A
B C D
(
(
(
80 °
60 ° ( 21
(1)
A
B C
(
(
( (
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 °
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角,
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE,
∵∠A=42° ,∠ACE=18°,
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角,
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF,
∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°,
∴ ∠BFC=88°.
解:
F
A
C
D
E
B
典例精析
例2 如图,P为△ABC内一点,∠BPC=150°,
∠ABP=20°,∠ACP=30°,求∠A的度
数.
解析:延长BP交AC于E或连接AP并延长,构造三角
形的外角,再利用外角的性质即可求出∠A的度数.
E
解:延长BP交AC于点E,
则∠BPC,∠PEC分别为△PCE,△ABE的外角,
∴∠BPC=∠PEC+∠PCE,
∠PEC=∠ABE+∠A,
∴∠PEC=∠BPC-∠PCE
=150°-30°=120°.
∴∠A=∠PEC-∠ABE=120°-20°=100°.
【变式题】 (一题多解)如图,∠A=51°,∠B=20°,
∠C=30°,求∠BDC的度数.
A
B C
D
(
(
(
51 °
20 ° 30
°
思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为
三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20 ° 30 °
解法一:连接AD并延长于点E.
在△ABD中,∠1+∠ABD=∠3,
在△ACD中,∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4,
∠BAC=∠1+∠2,
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1 2
)
3
)
4
你发现了什
么结论?
A
B C
D
(
(
(
51 °
20 ° 30 °
E
)
1
解法二:延长BD交AC于点E.
在△ABE中,∠1=∠ABE+∠BAE,
在△ECD中,∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角的
性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图 ,试比较∠2 、∠1的大小;
如图 ,试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图 图
解:∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2>∠1.
解:∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3>∠2>∠1.
拓展探究
三角形的
外角大于
与它不相
邻的内角.
例3 如图, ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角,它们
的和是多少?
解:由三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和,得
∠BAE= ∠2+ ∠3,
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °,
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他
解法吗?
三角形的外角和
解法二:如图,∠BAE+∠1=180 ° ① ,
∠CBF +∠2=180 ° ②,
∠ACD +∠3=180 ° ③,
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °,
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °,
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三:过A作AM平行于BC,
∠3= ∠4
B
C
1
2
3
4A
∠2= ∠BAM,
所以 ∠1+ ∠2+ ∠3=
∠1+ ∠4+ ∠BAM=360°
M
∠2+ ∠ 3= ∠ 4+∠BAM,
结论:三角形的外角和等于360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗?
D
E
F
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. ( )
(2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍. ( )
(3)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( )
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( )
(5)三角形的一个外角大于任何一个内角. ( )
(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( )
2.如图,AB//CD,∠A=37°, ∠C=63°,那么∠F
等于 ( )
F
A BE
C D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
3.(1)如图,∠BDC是________
的外角,也是 的外角;
(2)若∠B=45 °, ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B C
D E△ADE
△ADC
解:根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
解:因为∠ADC是△ABD的外角.
4 .如图,D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
∠ADC=80°,∠BAC=70°,求:
(1)∠B 的度数;(2)∠C的度数.
在△ABC中,
∠B+∠BAC+∠C=180°,
∠C=180º-40º-70º=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD,
A
B180 40 ,2B 所以 CD
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解:∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+
∠E= 180º.
5.如图,求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
能力提升:
1
2
3
B A
C P
N
M
D E
F
6.如图,试求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
=________.360°
课堂小结
三
角
形
的
外
角
定 义 角一边必须是三角形的一边,另一
边必须是三角形另一边的延长线
性 质 三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和
三 角 形
的 外 角
和
三角形的外角和等于360 °
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